Chủ đề này có 36 trả lời

[Yagami Raito]

Thưa các bạn trong thời gian này mình sẽ đăng lên các bài về số chính phương , mong các giải giùm và các bạn cũng có thể đưa các bài liên quan tới số chính phương lên.Chúng ta sẽ cung giải
Friends during this time I will post up the post on the main number, forward the resolution gium and you can also put the number of items related to the len.Chung we will explain.

[Yagami Raito]

Số chính phương là một số bằng bình phương của một số tự nhiên chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9
Bài 1:
Tìm số tự nhiên n 1 sao cho tổng 1!+2!+3!+..+n! là một số chính phương

[Crystal]

Số chính phương là một số bằng bình phương của một số tự nhiên chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9
Bài 1:
Tìm số tự nhiên n 1 sao cho tổng 1!+2!+3!+..+n! là một số chính phương

Em xin mở đầu
Với n=1 thì $1! = 1 = 1^2 $ là số chính phương.
Với n=2 thì $1! + 2! = 3$ không là số chính phương.
Với n=3 thì $1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 3^2 $ là số chính phương.
Với $n \ge 4$ ta có: $1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33$, còn $5!;\;6!;...;n!$ đều tận cùng bởi chữ số 0 do đó $1! + 2! + 3! + ... + n!$ có tận cùng bởi chữ số 3 nên không là số chính phương.
Vậy n=1; n=3 thỏa mãn bài toán.

[Yagami Raito]

đúng rôì
Bài 2
Chứng minh rằng số có dạng $\ a^{6}- a^{4}+2 a^{2}+2 a^{3}$ trong đó a N và n>1 không phải là số chính phương

[Crystal]

đúng rôì
Bài 2
Chứng minh rằng số có dạng $\ a^{6}- a^{4}+2 a^{2}+2 a^{3}$ trong đó a N và n>1 không phải là số chính phương

$a^6 - a^4 + 2a^3 + 2a^2 = a^2 \left( {a^4 - a^2 + 2a + 2} \right) = ... = a^2 \left( {a + 1} \right)^2 \left( {a^2 - 2a + 2} \right)$
Với $a \in N,\,a > 1 \Rightarrow a^2 - 2a + 2 = \left( {a - 1} \right)^2 + 1 > \left( {a - 1} \right)^2 $
và $a^2 - 2a + 2 = a^2 - 2\left( {a - 1} \right) < a^2 $
Vậy $\left( {a - 1} \right)^2 < a^2 - 2a + 2 < a^2 \Rightarrow a^2 - 2a + 2$ không là số chính phương.
Từ đó suy ra đpcm.

[Zaraki]

Xin đưa thêm một bài
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên $p$ để $5^p+12^p$ là số chính phương.

P/s: Nguyentrunghieua tập gõ công thức toán đi!

[Crystal]

Xin đưa thêm một bài
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên $p$ để $5^p+12^p$ là số chính phương.

P/s: Nguyentrunghieua tập gõ công thức toán đi!

Dế thấy p=2 là một đáp số.
$\bullet $Xét p>2. Giả sử p=2k+1 là số lẻ.
Ta có: $5^{2k + 1} + 12^{2k + 1} \equiv 2^{2k + 1} \equiv 2.4^k \equiv 2\left( { - 1} \right)^k \,\left( {\bmod 5} \right)$.
Như thế $5^{2k + 1} + 12^{2k + 1} $ chia 5 sẽ cho số dư là 2 hoặc 3.
Mặt khác một số chính phương chia 5 có số dư là 0,1,4. Suy ra $5^{2k + 1} + 12^{2k + 1} $ không thể là số chính phương.
$\bullet $Xét p=2k là số chẵn lớn hơn 2. Giả sử $5^{2k} + 12^{2k} = m^2 \,\,,\,\,k \ge 2$.
Khi đó: $5^{2k} = m^2 - 12^{2k} = \left( {m - 12^k } \right)\left( {m + 12^k } \right)$.
Ta thấy 5 là ước của VT. Nếu 5 là ước của cả hai thừa số ${m - 12^k }$ và ${m + 12^k }$ thì 5 là ước của $2.12^k $. Điều này mâu thuẫn vì $2.12^k $ không chứa ước là 5. Suy ra phải có $m - 12^k = 1 \Rightarrow m = 12^k + 1$ và như thế $5^{2k} = 2.12^k + 1 \Rightarrow 2^{2k + 1} .3^k = \left( {5^k - 1} \right)\left( {5^k + 1} \right)$.
Nếu k lẻ thì do $5^k + 1 \vdots 3$ và $5^k - 1$ không chia hết cho 3 nên $5^k + 1 = 2.3^k $. Từ đó: $4^k = 5^k -1$. Đẳng thức này không thể đúng với $k \ge 2$.
Tương tự, nếu k chẵn thì $5^k + 1$ không chia hết cho 3 và $5^k - 1 \vdots 3$. Do đó $5^k - 1 = 2.3^k $.
Như thế $4^k = 5^k +1$, đẳng thức này cũng không đúng với $k \ge 2$.
Vậy giá trị duy nhất thỏa mãn là p=2.

[Crystal]

Tặng mọi người 1 bài
Bài 4: Cho $x_1 ,x_2 ,...,x_n $ là các số nguyên thỏa:
$x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 + n^3 \le \left( {2n - 1} \right)\left( {x_1 + x_2 + ... + x_n } \right) + n^2 $.
Chứng minh $S = x_1 + x_2 + ... + x_n + n + 1$ không là số chính phương.

[Yagami Raito]

Bài xusinst ra khó quá mình xin đưa trước một bài để mọi ngươì cùng giải
Bài 5
Cho A la môt số chính phương có 4 chữ số. Nếu thêm vào môĩ chữ số 1 đơn vị thì ta được một số chsinh phương B .Hãy tìm 2 số A và B.
Thêm câu hỏi 1 số có 4 chữ số .Đọc ngược lại thì gía trị ko thay đổi,hỏi:khi chia số đó cho 5 thì số đó có phải là số chính phương không?????,.....
( Nguồn http://diendan.hocma...ad.php?t=165222 )
Bài 6.CMR: M=n(n+1)(n+2)...(n+7) + 7! không biểu điễn được dưới dạng tổng hai số chính phương.
Bài 7.Cho tập hợp {2,5,7,d} với d là một số nguyên dương khác 2,5,13. CMR có thể tìm được trong tập hợp hai số phân biệt a và b sao cho ab - 1 không phải là số chính phương
Bài 8 cho x,y,z thuộc tập hợp N*, đôi một nguyên tố cùng nhau thoả mãn $\dfrac{1}{x}$+$\dfrac{1}{y}$= $\dfrac{1}{z}$Hỏi x+y có là số chính phương hay không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 09-08-2011 - 20:22

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 5
Cho A là môt số chính phương có 4 chữ số. Nếu thêm vào mỗi chữ số 1 đơn vị thì ta được một số chính phương B. Hãy tìm 2 số A và B.
Giải :
Đặt $ A = \overline{abcd} = x^2 $

[Điều kiện: $ ( a, b, c, d, x \in N; 0 \leq b, c, d \leq 8; 9 > a > 0; x \leq \sqrt{8888} < 95)$]

Do $A = \overline{abcd} \Rightarrow B = \overline{( a + 1 )( b + 1 )( c + 1 )( d + 1)} = y^2$ $ ( y > x; y \in N)$

Ta có : $ y^2 - x^2 = B - A = \overline{( a + 1 )( b + 1 )( c + 1 )( d + 1)} - \overline{abcd} $

$ \Leftrightarrow y^2 - x^2 = 1000( a + 1 ) + 100( b + 1) + 10( c + 1 ) + d + 1 - ( 1000a + 100b + 10c + d) $


$ \Rightarrow ( y - x)( y + x) = 1111 = 1111.1 = 101.11$

Do y > x nên y - x > 0. Dễ thấy $ x + y > y - x > 0 $.
Do đó, ta có :

$\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}y - x = 1\\y + x = 1111\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}y - x = 11\\y + x = 101\end{array}\right.\end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x = 555\\y = 556\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x = 45\\y = 56\end{array}\right.\end{array}\right.$

Do x < 95 nên x = 45. Suy ra $ A = 45^2 = 2025 \Rightarrow B = 3136 = 56^2$.
Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy hai số A, B cần tìm là 2025, 3136

[Crystal]

Bài 7.Cho tập hợp {2,5,7,d} với d là một số nguyên dương khác 2,5,13. CMR có thể tìm được trong tập hợp hai số phân biệt a và b sao cho ab - 1 không phải là số chính phương

Trước hết ta nhận xét rằng: $2.5 - 1 = 9 = 3^2 ,\,\,\,\,2.13 - 1 = 25 = 5^2 ,\,\,\,\,\,\,5.13 - 1 = 64 = 8^2 $.
Như vậy hai số a và b phân biệt phải tìm sao cho: $ab - 1 \ne k^2 ,\,k \in Z$ chỉ có thể là một trong các cặp số (2,d), (5,d), (13,d).
Ta chứng minh rằng ít nhất một trong các số 2d - 1, 5d - 1, 13d - 1 không phải đều là số chính phương.
Giả sử ta có: $2d - 1 = k^2 \,\,\,\,(1),\,\,\,5d - 1 = m^2 \,\,\,\,(2),\,\,\,\,13d - 1 = n^2 \,\,\,(3)$ với $k,\,m,\,n \in Z$
Từ $(1) \Rightarrow k$ lẻ $\Rightarrow k = 2p + 1$
Ta có: $(1) \Rightarrow d = 2p\left( {p + 1} \right) + 1 = 4p + 1$
Do đó ta có:
$(2) \Rightarrow 20q + 4 = m^2 \Rightarrow m \vdots 2 \Rightarrow m = 2m'$
$(3) \Rightarrow 52q + 12 = n^2 \Rightarrow n \vdots 2 \Rightarrow n = 2n'$
Suy ra: $5q + 1 = m'^2 ,\,\,\,\,13q + 3 = n'^2 \Rightarrow n'^2 - m'^2 = 8q + 2\,\,\,(4)$
Từ (4) $\Rightarrow n'^2 - m'^2 \vdots 2\,\,\,\,(5),\,\,\,\,\,n'^2 - m'^2 \mathop \vdots \limits^ - 4\,\,\,(6)$
Vì (n' + m') và (n' - m') cùng tính chất chẵn lẻ nên từ (5) ta suy ra n' + m' và n' - m' cùng chẵn.
$\Rightarrow n'^2 - m'^2 \vdots 4$, mâu thuẫn với (6).
Do đó trong 3 số 2d - 1, 5d - 1, 13d - 1 có ít nhất một số không phải là số chính phương. Ta có đpcm.

[Yagami Raito]

Vậy chưa ai làm dc câu 6 à
Bài 9
Cho x,y,z là các số tự nhiên. Chứng minh rằng (xy+1)(yz+1)(zx+1) là số chính phương khi và chỉ khi xy+1;yz+1;zx+1 là các số chính phương.

[Yagami Raito]

sorry mọi người bài 9 mình ghi sai đề rồi nên ko ai giải dc minh xin cho tip
Bài 10
C/M rằng
$\ 2000^{2^{2000}} $ viết dc dưới dạng tổng của 2 số chính phương

[Yagami Raito]

Giải thế này nè
Ta có n/x sau Nếu $n$ là tổng của 2 số chính phương thì $ n^{2} $ cũng là tổng hai số chính phương.
Thật vậy giả sử $ a^{2}+ b^{2}=n $ thì
$ n^{2}=( a^{2}+b^{2} )=(a^{2}-b^{2})^{2} +(2ab)^{2} $
Lại có $2000= 40^{2}+20^{2} $ do đó áp dụng nhận xét thì ta có ĐPCM

[Crystal]

Theo yêu cầu của nguyentrunghieua mình sẽ gợi ý bài 4. Hãy chứng minh $n^2<S<\left({n+1}\right)^2$.
Nếu hết ngày hôm nay không có ai tìm ra lời giải thì mình sẽ post lời giải cho bài này.

[Crystal]

Lời giải cho bài 4.

Ta có:

$\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 + n^3 \le \left( {2n - 1} \right)\sum\limits_{i = 1}^n {x_i } + n^2 \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 } } + n.n^2 - 2n\sum\limits_{i = 1}^n {x_i } \le n.n - \sum\limits_{i = 1}^n {x_i } $

$\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {n - x_i } \right)^2 } \le \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {n - x_i } \right)} \,\,\,(1)$

Mặt khác, ta có:

$n - x_i \in Z\,\,\forall i = \overline {1...n} $ nên $\left( {n - x_i } \right)^2 \ge \left| {n - x_i } \right| \ge n - x_i \,\,\,\forall i = \overline {1...n} $

và

$\left( {n - x_i } \right)^2 = n - x_i \, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n - x_i \, = 0 \\ n - x_i \, = 1 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x_i \, = n \\ x_i \, = n - 1 \\ \end{array} \right.$

$\Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {n - x_i } \right)^2 } \ge \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {n - x_i } \right)} \,\,\,\,(2)$

Từ (1) và (2)

$\Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {n - x_i } \right)^2 } = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {n - x_i } \right)} \Rightarrow x_i \in \left\{ {n;n - 1} \right\},\,\,\forall i = \overline {1...n} $

Ta có:

$n - 1 \le x_i \le n \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) \le \sum\limits_{i = 1}^n {x_i } \le n^2 ,\,\,\forall i = \overline {1...n} $

$\Rightarrow n^2 < n^2 + 1 \le n + 1 + \sum\limits_{i = 1}^n {x_i } \le n^2 + n + 1 < \left( {n + 1} \right)^2 $

$\Rightarrow S = n + 1 + \sum\limits_{i = 1}^n {x_i } $ không phải là số chính phương. (đpcm)

[Yagami Raito]

Bài 11 Tìm $n$ để $n^{2} + 31n+1984$ là số chính phương

[Crystal]

Bài 11 Tìm $n$ để $n^{2} + 31n+1984$ là số chính phương

Đáp án 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728 đúng không. Mình ngại post lời giải

[Zaraki]

Bài 11 Tìm $n$ để $n^{2} + 31n+1984$ là số chính phương

Giả sử $n^3+31n+1984$ là số chính phương thì $4(n^2+31n+1984)$ cũng là số chính phương.
Như vậy $4(n^2+31n+1984)=(2n+31)^2+9.25.31=a^2 \Rightarrow a^2-(2n+31)^2=9.25.31$
Đến đây ta sử dụng tính chất $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.
Ta tìm được nghiệm của $n$ là $12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728$.

[Yagami Raito]

Đáp án thì đúng rồi sao bạn ngại post bài chứ ? ?