Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic các bài toán về số chính phương


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 36 trả lời

#1 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 08-08-2011 - 09:31

Thưa các bạn trong thời gian này mình sẽ đăng lên các bài về số chính phương , mong các giải giùm và các bạn cũng có thể đưa các bài liên quan tới số chính phương lên.Chúng ta sẽ cung giải
Friends during this time I will post up the post on the main number, forward the resolution gium and you can also put the number of items related to the len.Chung we will explain.

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#2 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 08-08-2011 - 09:37

Số chính phương là một số bằng bình phương của một số tự nhiên chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9
Bài 1:
Tìm số tự nhiên n :D 1 sao cho tổng 1!+2!+3!+..+n! là một số chính phương

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#3 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 08-08-2011 - 09:46

Số chính phương là một số bằng bình phương của một số tự nhiên chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9
Bài 1:
Tìm số tự nhiên n :D 1 sao cho tổng 1!+2!+3!+..+n! là một số chính phương

Em xin mở đầu
Với n=1 thì $1! = 1 = 1^2 $ là số chính phương.
Với n=2 thì $1! + 2! = 3$ không là số chính phương.
Với n=3 thì $1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 3^2 $ là số chính phương.
Với $n \ge 4$ ta có: $1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33$, còn $5!;\;6!;...;n!$ đều tận cùng bởi chữ số 0 do đó $1! + 2! + 3! + ... + n!$ có tận cùng bởi chữ số 3 nên không là số chính phương.
Vậy n=1; n=3 thỏa mãn bài toán.

#4 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 08-08-2011 - 09:58

đúng rôì
Bài 2
Chứng minh rằng số có dạng $\ a^{6}- a^{4}+2 a^{2}+2 a^{3}$ trong đó a :D N và n>1 không phải là số chính phương

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#5 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 08-08-2011 - 10:04

đúng rôì
Bài 2
Chứng minh rằng số có dạng $\ a^{6}- a^{4}+2 a^{2}+2 a^{3}$ trong đó a :D N và n>1 không phải là số chính phương

$a^6 - a^4 + 2a^3 + 2a^2 = a^2 \left( {a^4 - a^2 + 2a + 2} \right) = ... = a^2 \left( {a + 1} \right)^2 \left( {a^2 - 2a + 2} \right)$
Với $a \in N,\,a > 1 \Rightarrow a^2 - 2a + 2 = \left( {a - 1} \right)^2 + 1 > \left( {a - 1} \right)^2 $
và $a^2 - 2a + 2 = a^2 - 2\left( {a - 1} \right) < a^2 $
Vậy $\left( {a - 1} \right)^2 < a^2 - 2a + 2 < a^2 \Rightarrow a^2 - 2a + 2$ không là số chính phương.
Từ đó suy ra đpcm.

#6 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 08-08-2011 - 10:09

Xin đưa thêm một bài
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên $p$ để $5^p+12^p$ là số chính phương.

P/s: Nguyentrunghieua tập gõ công thức toán đi!
“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#7 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 08-08-2011 - 10:38

Xin đưa thêm một bài
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên $p$ để $5^p+12^p$ là số chính phương.

P/s: Nguyentrunghieua tập gõ công thức toán đi!

Dế thấy p=2 là một đáp số.
$\bullet $Xét p>2. Giả sử p=2k+1 là số lẻ.
Ta có: $5^{2k + 1} + 12^{2k + 1} \equiv 2^{2k + 1} \equiv 2.4^k \equiv 2\left( { - 1} \right)^k \,\left( {\bmod 5} \right)$.
Như thế $5^{2k + 1} + 12^{2k + 1} $ chia 5 sẽ cho số dư là 2 hoặc 3.
Mặt khác một số chính phương chia 5 có số dư là 0,1,4. Suy ra $5^{2k + 1} + 12^{2k + 1} $ không thể là số chính phương.
$\bullet $Xét p=2k là số chẵn lớn hơn 2. Giả sử $5^{2k} + 12^{2k} = m^2 \,\,,\,\,k \ge 2$.
Khi đó: $5^{2k} = m^2 - 12^{2k} = \left( {m - 12^k } \right)\left( {m + 12^k } \right)$.
Ta thấy 5 là ước của VT. Nếu 5 là ước của cả hai thừa số ${m - 12^k }$ và ${m + 12^k }$ thì 5 là ước của $2.12^k $. Điều này mâu thuẫn vì $2.12^k $ không chứa ước là 5. Suy ra phải có $m - 12^k = 1 \Rightarrow m = 12^k + 1$ và như thế $5^{2k} = 2.12^k + 1 \Rightarrow 2^{2k + 1} .3^k = \left( {5^k - 1} \right)\left( {5^k + 1} \right)$.
Nếu k lẻ thì do $5^k + 1 \vdots 3$ và $5^k - 1$ không chia hết cho 3 nên $5^k + 1 = 2.3^k $. Từ đó: $4^k = 5^k -1$. Đẳng thức này không thể đúng với $k \ge 2$.
Tương tự, nếu k chẵn thì $5^k + 1$ không chia hết cho 3 và $5^k - 1 \vdots 3$. Do đó $5^k - 1 = 2.3^k $.
Như thế $4^k = 5^k +1$, đẳng thức này cũng không đúng với $k \ge 2$.
Vậy giá trị duy nhất thỏa mãn là p=2.

#8 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 08-08-2011 - 12:04

Tặng mọi người 1 bài
Bài 4: Cho $x_1 ,x_2 ,...,x_n $ là các số nguyên thỏa:
$x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 + n^3 \le \left( {2n - 1} \right)\left( {x_1 + x_2 + ... + x_n } \right) + n^2 $.
Chứng minh $S = x_1 + x_2 + ... + x_n + n + 1$ không là số chính phương.

#9 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 08-08-2011 - 21:25

Bài xusinst ra khó quá mình xin đưa trước một bài để mọi ngươì cùng giải
Bài 5
Cho A la môt số chính phương có 4 chữ số. Nếu thêm vào môĩ chữ số 1 đơn vị thì ta được một số chsinh phương B .Hãy tìm 2 số A và B.
Thêm câu hỏi 1 số có 4 chữ số .Đọc ngược lại thì gía trị ko thay đổi,hỏi:khi chia số đó cho 5 thì số đó có phải là số chính phương không?????,.....
( Nguồn http://diendan.hocma...ad.php?t=165222 )
Bài 6.CMR: M=n(n+1)(n+2)...(n+7) + 7! không biểu điễn được dưới dạng tổng hai số chính phương.
Bài 7.Cho tập hợp {2,5,7,d} với d là một số nguyên dương khác 2,5,13. CMR có thể tìm được trong tập hợp hai số phân biệt a và b sao cho ab - 1 không phải là số chính phương
Bài 8 cho x,y,z thuộc tập hợp N*, đôi một nguyên tố cùng nhau thoả mãn $\dfrac{1}{x}$+$\dfrac{1}{y}$= $\dfrac{1}{z}$Hỏi x+y có là số chính phương hay không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 09-08-2011 - 20:22

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#10 Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
  • Sở thích:Grey's Anatomy, Shameless, Game of Thrones

Đã gửi 08-08-2011 - 22:29

Bài 5
Cho A là môt số chính phương có 4 chữ số. Nếu thêm vào mỗi chữ số 1 đơn vị thì ta được một số chính phương B. Hãy tìm 2 số A và B.
Giải :
Đặt $ A = \overline{abcd} = x^2 $

[Điều kiện: $ ( a, b, c, d, x \in N; 0 \leq b, c, d \leq 8; 9 > a > 0; x \leq \sqrt{8888} < 95)$]

Do $A = \overline{abcd} \Rightarrow B = \overline{( a + 1 )( b + 1 )( c + 1 )( d + 1)} = y^2$ $ ( y > x; y \in N)$

Ta có : $ y^2 - x^2 = B - A = \overline{( a + 1 )( b + 1 )( c + 1 )( d + 1)} - \overline{abcd} $

$ \Leftrightarrow y^2 - x^2 = 1000( a + 1 ) + 100( b + 1) + 10( c + 1 ) + d + 1 - ( 1000a + 100b + 10c + d) $


$ \Rightarrow ( y - x)( y + x) = 1111 = 1111.1 = 101.11$

Do y > x nên y - x > 0. Dễ thấy $ x + y > y - x > 0 $.
Do đó, ta có :

$\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}y - x = 1\\y + x = 1111\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}y - x = 11\\y + x = 101\end{array}\right.\end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x = 555\\y = 556\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x = 45\\y = 56\end{array}\right.\end{array}\right.$

Do x < 95 nên x = 45. Suy ra $ A = 45^2 = 2025 \Rightarrow B = 3136 = 56^2$.
Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy hai số A, B cần tìm là 2025, 3136

Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#11 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 09-08-2011 - 16:17

Bài 7.Cho tập hợp {2,5,7,d} với d là một số nguyên dương khác 2,5,13. CMR có thể tìm được trong tập hợp hai số phân biệt a và b sao cho ab - 1 không phải là số chính phương

Trước hết ta nhận xét rằng: $2.5 - 1 = 9 = 3^2 ,\,\,\,\,2.13 - 1 = 25 = 5^2 ,\,\,\,\,\,\,5.13 - 1 = 64 = 8^2 $.
Như vậy hai số a và b phân biệt phải tìm sao cho: $ab - 1 \ne k^2 ,\,k \in Z$ chỉ có thể là một trong các cặp số (2,d), (5,d), (13,d).
Ta chứng minh rằng ít nhất một trong các số 2d - 1, 5d - 1, 13d - 1 không phải đều là số chính phương.
Giả sử ta có: $2d - 1 = k^2 \,\,\,\,(1),\,\,\,5d - 1 = m^2 \,\,\,\,(2),\,\,\,\,13d - 1 = n^2 \,\,\,(3)$ với $k,\,m,\,n \in Z$
Từ $(1) \Rightarrow k$ lẻ $\Rightarrow k = 2p + 1$
Ta có: $(1) \Rightarrow d = 2p\left( {p + 1} \right) + 1 = 4p + 1$
Do đó ta có:
$(2) \Rightarrow 20q + 4 = m^2 \Rightarrow m \vdots 2 \Rightarrow m = 2m'$
$(3) \Rightarrow 52q + 12 = n^2 \Rightarrow n \vdots 2 \Rightarrow n = 2n'$
Suy ra: $5q + 1 = m'^2 ,\,\,\,\,13q + 3 = n'^2 \Rightarrow n'^2 - m'^2 = 8q + 2\,\,\,(4)$
Từ (4) $\Rightarrow n'^2 - m'^2 \vdots 2\,\,\,\,(5),\,\,\,\,\,n'^2 - m'^2 \mathop \vdots \limits^ - 4\,\,\,(6)$
Vì (n' + m') và (n' - m') cùng tính chất chẵn lẻ nên từ (5) ta suy ra n' + m' và n' - m' cùng chẵn.
$\Rightarrow n'^2 - m'^2 \vdots 4$, mâu thuẫn với (6).
Do đó trong 3 số 2d - 1, 5d - 1, 13d - 1 có ít nhất một số không phải là số chính phương. Ta có đpcm.

#12 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 10-08-2011 - 20:00

Vậy chưa ai làm dc câu 6 à
Bài 9
Cho x,y,z là các số tự nhiên. Chứng minh rằng (xy+1)(yz+1)(zx+1) là số chính phương khi và chỉ khi xy+1;yz+1;zx+1 là các số chính phương.

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#13 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 18-08-2011 - 13:29

sorry mọi người bài 9 mình ghi sai đề rồi nên ko ai giải dc minh xin cho tip
Bài 10
C/M rằng
$\ 2000^{2^{2000}} $ viết dc dưới dạng tổng của 2 số chính phương

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#14 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 19-08-2011 - 21:51

Giải thế này nè
Ta có n/x sau Nếu $n$ là tổng của 2 số chính phương thì $ n^{2} $ cũng là tổng hai số chính phương.
Thật vậy giả sử $ a^{2}+ b^{2}=n $ thì
$ n^{2}=( a^{2}+b^{2} )=(a^{2}-b^{2})^{2} +(2ab)^{2} $
Lại có $2000= 40^{2}+20^{2} $ do đó áp dụng nhận xét thì ta có ĐPCM

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#15 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 20-08-2011 - 21:44

Theo yêu cầu của nguyentrunghieua mình sẽ gợi ý bài 4. Hãy chứng minh $n^2<S<\left({n+1}\right)^2$.
Nếu hết ngày hôm nay không có ai tìm ra lời giải thì mình sẽ post lời giải cho bài này.


#16 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 21-08-2011 - 12:24

Lời giải cho bài 4.

Ta có:

$\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 + n^3 \le \left( {2n - 1} \right)\sum\limits_{i = 1}^n {x_i } + n^2 \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 } } + n.n^2 - 2n\sum\limits_{i = 1}^n {x_i } \le n.n - \sum\limits_{i = 1}^n {x_i } $

$\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {n - x_i } \right)^2 } \le \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {n - x_i } \right)} \,\,\,(1)$


Mặt khác, ta có:

$n - x_i \in Z\,\,\forall i = \overline {1...n} $ nên $\left( {n - x_i } \right)^2 \ge \left| {n - x_i } \right| \ge n - x_i \,\,\,\forall i = \overline {1...n} $


$\left( {n - x_i } \right)^2 = n - x_i \, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n - x_i \, = 0 \\ n - x_i \, = 1 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x_i \, = n \\ x_i \, = n - 1 \\ \end{array} \right.$

$\Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {n - x_i } \right)^2 } \ge \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {n - x_i } \right)} \,\,\,\,(2)$

Từ (1) và (2)

$\Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {n - x_i } \right)^2 } = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {n - x_i } \right)} \Rightarrow x_i \in \left\{ {n;n - 1} \right\},\,\,\forall i = \overline {1...n} $


Ta có:

$n - 1 \le x_i \le n \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) \le \sum\limits_{i = 1}^n {x_i } \le n^2 ,\,\,\forall i = \overline {1...n} $

$\Rightarrow n^2 < n^2 + 1 \le n + 1 + \sum\limits_{i = 1}^n {x_i } \le n^2 + n + 1 < \left( {n + 1} \right)^2 $

$\Rightarrow S = n + 1 + \sum\limits_{i = 1}^n {x_i } $ không phải là số chính phương. (đpcm)


#17 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 22-08-2011 - 20:17

Bài 11 Tìm $n$ để $n^{2} + 31n+1984$ là số chính phương

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#18 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 23-08-2011 - 14:25

Bài 11 Tìm $n$ để $n^{2} + 31n+1984$ là số chính phương

Đáp án 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728 đúng không. Mình ngại post lời giải :)

#19 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 23-08-2011 - 14:45

Bài 11 Tìm $n$ để $n^{2} + 31n+1984$ là số chính phương

Giả sử $n^3+31n+1984$ là số chính phương thì $4(n^2+31n+1984)$ cũng là số chính phương.
Như vậy $4(n^2+31n+1984)=(2n+31)^2+9.25.31=a^2 \Rightarrow a^2-(2n+31)^2=9.25.31$
Đến đây ta sử dụng tính chất $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.
Ta tìm được nghiệm của $n$ là $12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728$.
“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#20 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 23-08-2011 - 21:31

Đáp án thì đúng rồi sao bạn ngại post bài chứ ? ?

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh