Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic về Lượng giác và vấn đề liên quan


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 74 trả lời

#1 caubeyeutoan2302

caubeyeutoan2302

    Nhà dược sĩ mê toán

  • Thành viên
  • 305 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khối B-CS. LHP High school for the gifted _Ho chi minh city
  • Sở thích:Làm toán , nghe nhạc nữa , thích chém gió và đặc biệt là vô cùng yêu ngôi trường Lũ Heo Phì For The Gifted của mình , hehe :))

Đã gửi 08-08-2011 - 18:29

Không nói xa xôi , vào vấn đề chính luôn
Mình thấy rằng lượng giác là một vấn đề hay trong Toán học , tuy có thể tuổi đời của nó lâu hơn 1 chút so với vài phân môn như Số học , Giài tích , v..v, nhưng từ lâu con người đã ứng dụng nó vào rất nhiều lĩnh vực liên quan đến khoa học và đời sống. Lượng giác còn được làm công cụ đắc lực cho việc giải các môn Đại số, hình học , BĐT...Vì vậy vẻ đẹp của nó là vô cùng vô hạn . Mình lập ra topic này nhằm để các bạn cùng nhau trao đổi kinh nghiệm giải toán Lượng , đưa ra nhiều phương pháp hay và đề xuất những bài học kinh nghiệm cho mọi người cùng học tập.
Tuy nhiên khi post bài đề nghị các bạn tuân thủ đúng nội quy VMF, và đặc biệt phải gõ Latex, không sử dụng tiếng việt không dấu , ngôn ngữ chat . Khi giải các bạn tránh post những bài giải quá ngắn gọn , chẵng hạn như : Bài này chỉ cần dùng Phương pháp này là ra hay post được giữa chừng thì lại kêu mọi người tự giải tiếp , mình rất cảm ơn các bạn :D
Mình sẽ đề xuất vài bài như sau :
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1 :Giải phương trình :
$sin^3(x+\dfrac{\pi}{4})=\sqrt{2}sinx$
Bài 2 : Giải phương trình :
$ 8cos^2x-8\sqrt{3}sinx-cos3x=15$
Bài 3: Giải phương trình :
$ ( tanx+\dfrac{1}{4}cotx)^{n}=cos^{n}x+sin^{n}x$ ( Với $n=2,3,4,.......$)
Bài 4: Giải phương trình :
$ cos(\dfrac{4x}{3})=cos^2{2x}$

CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC và BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Nếu :$a\sin^2A+bcos^2A = p\;, a\cos^2B + b\sin^2B = q$ và $a\tan A = b\tan B\;,$
Hãy chứng minh $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ ( Bài này mình trích của stuart clark )

Bài 2: Cho Tam giác ABC nhọn , và $n=1,2,3$
Ta đặt $ x_n=2^{n-3}.(cos^{n}A+cos^{n}B+cos^{n}C)+cosA.cosB.cosC$
Hãy chứng minh $x_1+x_2+x_3 \ge \dfrac{3}{2}$

Bài 3 : Đặt $ a_n=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}$ và $ a_n=\dfrac{a_n^2-5}{2(a_n+2)}$
Các bạn hãy tìm công thức tổng quát cho $ a_n$

Tạm vài bài thế nhé, mình sẽ liên tục cập nhật và tham gia cùng các bạn , các bạn hãy đóng góp ý kiến và những lời giải hay cho topic nhé . Mình cám ơn rất nhiều :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caubeyeutoan2302: 10-08-2011 - 11:26

CỐ GẮNG THÀNH SINH VIÊN ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

#2 tolaphuy10a1lhp

tolaphuy10a1lhp

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Bình Định

Đã gửi 10-08-2011 - 09:28

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1 :Giải phương trình :
$sin^3(x+\dfrac{\pi}{4})=\sqrt{2}sinx$
Bài 4: Giải phương trình :
$ cos(\dfrac{4x}{3})=cos^2{2x}$

Ủng hộ bạn mình giải thử bài dễ.
Bài 1 :Giải phương trình :
$sin^3(x+\dfrac{\pi}{4})=\sqrt{2}sinx$
$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} sin^3(x+\dfrac{\pi}{4})= sinx cos( \dfrac{ \pi }{4}) $
$ \Leftrightarrow sin^3(x+\dfrac{\pi}{4})= sin (x+\dfrac{\pi}{4}) +sin (x - \dfrac{\pi}{4}) $
$ \Leftrightarrow sin^3(x+\dfrac{\pi}{4}) - sin (x+\dfrac{\pi}{4}) +cos (x + \dfrac{\pi}{4}) =0 (1)$
TH 1:$ cos (x+\dfrac{\pi}{4}) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} +k \pi $
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} sin (x+\dfrac{\pi}{4}) = 0 \\ sin ^{2}(x+\dfrac{\pi}{4})= 1 \end{array} \right. $
TH 2: $ cos (x+\dfrac{\pi}{4}) \neq 0 $
Chia hai vế của (1) cho $ cos^{3}(x+\dfrac{\pi}{4}) $
$ (1) \Leftrightarrow tan^{3} (x+\dfrac{\pi}{4}) - tan(x+\dfrac{\pi}{4})(tan^{2}(x+\dfrac{\pi}{4}) + 1) + tan^{2}(x+\dfrac{\pi}{4}) + 1 = 0 $
$ \Leftrightarrow t^{3} - t(t^{2} +1 ) + t^{2} +1 = 0 $ $ ( t = tan(x+\dfrac{\pi}{4}))$
$ \Leftrightarrow t^{2} - t +1 = 0 $: VN
Vậy nghiệm của PT
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{2} +k \pi \\ x = \dfrac{-\pi}{4} +k \pi \\x = \dfrac{\pi}{2} +k2 \pi \\ x = -\dfrac{3\pi}{4} +k 2\pi \end{array} \right. $
Học là ..... hỏi ...............

#3 caubeyeutoan2302

caubeyeutoan2302

    Nhà dược sĩ mê toán

  • Thành viên
  • 305 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khối B-CS. LHP High school for the gifted _Ho chi minh city
  • Sở thích:Làm toán , nghe nhạc nữa , thích chém gió và đặc biệt là vô cùng yêu ngôi trường Lũ Heo Phì For The Gifted của mình , hehe :))

Đã gửi 10-08-2011 - 12:27

Mình cám ơn đóng góp của tolaphuy nhé .
Hôm nay mình sẽ bổ sung vào vài bài hay mình mới sưu tầm được , hy vọng mọi người sẽ tham gia nhiệt tình và có thật nhiều bài viết hay :leq
Bài 1 :
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn các điều kiện :
$ \begin{cases} 3sinA+4cosB=6 \\ 4sinB+3cosA=1 \end{cases} $
Hãy tìm số đo góc $C$
Bài 2:
Cho hàm $f_k(x)$ thỏa mãn :
$f_k(x)=\dfrac{1}{k}.(sin^{k}x+cos^{k}x)$ với $k=1,2,3,4,.............$
Hãy chứng minh $ f_4(x)-f_6(x)=\dfrac{1}{12}$( Với mọi $x$)
Bài 3: Hãy tính tổng tất cả các $x$ thuộc khoảng $[0;2\pi]$ với $x$ thỏa mãn $3cot^2x+8cotx+3=0$
Bài 4 : Các bạn hãy tính $cot\dfrac{\pi}{24}$( Mình rất thích bài này :geq)
CỐ GẮNG THÀNH SINH VIÊN ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

#4 tolaphuy10a1lhp

tolaphuy10a1lhp

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Bình Định

Đã gửi 10-08-2011 - 16:26

Bài 4: Giải phương trình :
$ cos(\dfrac{4x}{3})=cos^2{2x}$

Tiếp nha
(1) $ \Leftrightarrow 2cos^{2}(\dfrac{2x}{3})-1 = (cos3(\dfrac{2x}{3}))^{2} $
$ \Leftrightarrow 2cos^{2}(\dfrac{2x}{3})-1 = (4 cos^{3}(\dfrac{2x}{3}) -3 cos(\dfrac{2x}{3}))^{2} $
$ \Leftrightarrow 2a^{2}-1 = (4a ^{3} - 3a)^{2} $; ( Đặt$ a = cos(\dfrac{2x}{3}) $) ; $ -1\leq a \leq 1 $
$ \Leftrightarrow 2a^{2}-1 = a^{2}(4a ^{2} - 3)^{2} $
$ \Leftrightarrow 2t - 1 = t (4t - 3)^{2} $ ; Đặt $ t = a^{2}; ( 0 \leq t \leq 1) $
$ \Leftrightarrow 16t^{3} -24t^{2} +7t +1 = 0 $
$ \Leftrightarrow (t -1)(16t^{2} - 8t -1 ) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1 \\ t = \dfrac{1 + \sqrt{2} }{4} \\ t = \dfrac{1 - \sqrt{2} }{4} (l) \end{array} \right. $

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} cos\dfrac{2x}{3} = \pm 1 \\ cos\dfrac{2x}{3} = \pm \sqrt{\dfrac{1 + \sqrt{2} }{4} } \end{array} \right. $

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pm \dfrac{3\pi}{4} +k3 \pi \\ x = \pm \dfrac{3}{2} arccos \sqrt{\dfrac{1 + \sqrt{2} }{4} } \end{array} \right. $
Hơi rối, các bạn KT giúp.
Học là ..... hỏi ...............

#5 caubeyeutoan2302

caubeyeutoan2302

    Nhà dược sĩ mê toán

  • Thành viên
  • 305 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khối B-CS. LHP High school for the gifted _Ho chi minh city
  • Sở thích:Làm toán , nghe nhạc nữa , thích chém gió và đặc biệt là vô cùng yêu ngôi trường Lũ Heo Phì For The Gifted của mình , hehe :))

Đã gửi 10-08-2011 - 17:14

Huy tham khảo cách tớ nhé :
$cos(\dfrac{4x}{3})=cos^22x$

$\Leftrightarrow 2cos\dfrac{4x}{3}=1+cos4x$

$\Leftrightarrow 2cos\dfrac{4x}{3}=1+4cos^3{\dfrac{4x}{3}}-3cos\dfrac{4x}{3}$

$\Leftrightarrow 4cos^3{\dfrac{4x}{3}}-5cos\dfrac{4x}{3}+1=0$
Mình xem như đây là PT bậc 3 1 ẩn sau đó giải bình thường
P/S tolaphuy : Hình như ra 1 nghiệm đẹp và 2 nghiệm xấu . :leq
CỐ GẮNG THÀNH SINH VIÊN ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

#6 NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1, THPT Dương Quảng Hàm, Hưng Yên

Đã gửi 10-08-2011 - 17:19

Bài 3: Giải phương trình :
$ ( tanx+\dfrac{1}{4}cotx)^{n}=cos^{n}x+sin^{n}x$ ( Với $n=2,3,4,.......$)
mình xin giải bài này, có gì sai sót anh em chỉ bảo nhé :leq :leq
vì $ sinx, cosx \in [-1;1] $ nên ta có:
$ sin^nx+cos^nx \leq sin^2x+cos^2x=1 \\ \Rightarrow -1 \leq sin^nx+cos^nx \leq 1$
mặt khác, vì tanx và cotx luôn cùng dấu nên:
$ tanx+\dfrac{1}{4}cotx \geq 1 $
hoặc:
$ tanx+\dfrac{1}{4}cotx \leq -1 $
dễ thấy cả 2 TH này đều dẫn tới PT vô nghiệm
đã xong :leq :geq
Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#7 truclamyentu

truclamyentu

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trúc Lâm

Đã gửi 10-08-2011 - 19:33

Mình cám ơn đóng góp của tolaphuy nhé .
Hôm nay mình sẽ bổ sung vào vài bài hay mình mới sưu tầm được , hy vọng mọi người sẽ tham gia nhiệt tình và có thật nhiều bài viết hay :leq
Bài 1 :
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn các điều kiện :
$ \begin{cases} 3sinA+4cosB=6 \\ 4sinB+3cosA=1 \end{cases} $
Hãy tìm số đo góc $C$
Bài 2:
Cho hàm $f_k(x)$ thỏa mãn :
$f_k(x)=\dfrac{1}{k}.(sin^{k}x+cos^{k}x)$ với $k=1,2,3,4,.............$
Hãy chứng minh $ f_4(x)-f_6(x)=\dfrac{1}{12}$( Với mọi $x$)
Bài 3: Hãy tính tổng tất cả các $x$ thuộc khoảng $[0;2\pi]$ với $x$ thỏa mãn $3cot^2x+8cotx+3=0$
Bài 4 : Các bạn hãy tính $cot\dfrac{\pi}{24}$( Mình rất thích bài này :geq)


Anh làm bài dễ nhất :

4)

$\tan \left( {\dfrac{\pi }{{12}}} \right) = \tan \left( {\dfrac{\pi }{3} - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{\tan \left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) - \tan \left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)}}{{1 + \tan \left( {\dfrac{\pi }{3}} \right)\tan \left( {\dfrac{\pi }{3}} \right)}} = 2 - \sqrt 3 $

$2 - \sqrt 3 = \tan \left( {\dfrac{\pi }{{12}}} \right) = \tan \left( {2.\dfrac{\pi }{{24}}} \right) = \dfrac{{2\tan \left( {\dfrac{\pi }{{24}}} \right)}}{{1 - {{\tan }^2}\left( {\dfrac{\pi }{{24}}} \right)}}$

$ \Rightarrow \tan \left( {\dfrac{\pi }{{24}}} \right) = \dfrac{{\sqrt {8 - 4\sqrt 3 } - 1}}{{2 - \sqrt 3 }} \Rightarrow \cot \left( {\dfrac{\pi }{{24}}} \right) = \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{\sqrt {8 - 4\sqrt 3 } - 1}}$

Cũng có thể tính thông qua sin và cos

#8 truclamyentu

truclamyentu

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trúc Lâm

Đã gửi 10-08-2011 - 19:44

Không nói xa xôi , vào vấn đề chính luôn
Mình thấy rằng lượng giác là một vấn đề hay trong Toán học , tuy có thể tuổi đời của nó lâu hơn 1 chút so với vài phân môn như Số học , Giài tích , v..v, nhưng từ lâu con người đã ứng dụng nó vào rất nhiều lĩnh vực liên quan đến khoa học và đời sống. Lượng giác còn được làm công cụ đắc lực cho việc giải các môn Đại số, hình học , BĐT...Vì vậy vẻ đẹp của nó là vô cùng vô hạn . Mình lập ra topic này nhằm để các bạn cùng nhau trao đổi kinh nghiệm giải toán Lượng , đưa ra nhiều phương pháp hay và đề xuất những bài học kinh nghiệm cho mọi người cùng học tập.
Tuy nhiên khi post bài đề nghị các bạn tuân thủ đúng nội quy VMF, và đặc biệt phải gõ Latex, không sử dụng tiếng việt không dấu , ngôn ngữ chat . Khi giải các bạn tránh post những bài giải quá ngắn gọn , chẵng hạn như : Bài này chỉ cần dùng Phương pháp này là ra hay post được giữa chừng thì lại kêu mọi người tự giải tiếp , mình rất cảm ơn các bạn :leq
Mình sẽ đề xuất vài bài như sau :
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1 :Giải phương trình :
$sin^3(x+\dfrac{\pi}{4})=\sqrt{2}sinx$
Bài 2 : Giải phương trình :
$ 8cos^2x-8\sqrt{3}sinx-cos3x=15$
Bài 3: Giải phương trình :
$ ( tanx+\dfrac{1}{4}cotx)^{n}=cos^{n}x+sin^{n}x$ ( Với $n=2,3,4,.......$)
Bài 4: Giải phương trình :
$ cos(\dfrac{4x}{3})=cos^2{2x}$

CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC và BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Nếu :$a\sin^2A+bcos^2A = p\;, a\cos^2B + b\sin^2B = q$ và $a\tan A = b\tan B\;,$
Hãy chứng minh $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ ( Bài này mình trích của stuart clark )

Bài 2: Cho Tam giác ABC nhọn , và $n=1,2,3$
Ta đặt $ x_n=2^{n-3}.(cos^{n}A+cos^{n}B+cos^{n}C)+cosA.cosB.cosC$
Hãy chứng minh $x_1+x_2+x_3 \ge \dfrac{3}{2}$

Bài 3 : Đặt $ a_n=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}$ và $ a_n=\dfrac{a_n^2-5}{2(a_n+2)}$
Các bạn hãy tìm công thức tổng quát cho $ a_n$

Tạm vài bài thế nhé, mình sẽ liên tục cập nhật và tham gia cùng các bạn , các bạn hãy đóng góp ý kiến và những lời giải hay cho topic nhé . Mình cám ơn rất nhiều :geq


2)

Ta có :

$\begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} = (c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}A + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}B + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}C) - (c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}A + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}B + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}C) + \dfrac{1}{4}(\cos A + \cos B + \cos C) + \dfrac{3}{2}\\\end{array}$

Vậy ta cần cm :

$\begin{array}{l}(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}A + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}B + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}C) + \dfrac{1}{4}(\cos A + \cos B + \cos C) \ge (c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}A + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}B + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}C)\end{array}$

Ta có : $c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}A + \dfrac{1}{4}\cos A \ge 2\sqrt {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}A.\dfrac{1}{4}\cos A} = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}A$

Tương tự suy ra ĐPCM

#9 tolaphuy10a1lhp

tolaphuy10a1lhp

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Bình Định

Đã gửi 10-08-2011 - 20:25

Bài 4 : Các bạn hãy tính $cot\dfrac{\pi}{24}$( Mình rất thích bài này :leq

Mình cũng rất thích bài này, cách nay khác với cách của anh truclamuyentu
Chứng minh và áp dung công thức : (đk: sin2x >0)
$ cotx=cot2x + \sqrt{1+cot^{2}2x} $
$ cot15^{o} = cot 30 ^{o}+ \sqrt{1+cot^{2}30^{o}}=\sqrt{3}+2 $
$cot7^{o} 30^{'} = cot 15 ^{o}+ \sqrt{1+cot^{2}15^{o}} = \sqrt{3}+2 + \sqrt{1+(\sqrt{3}+2) ^{2}}$$ = \sqrt{2}+ \sqrt{3} + \sqrt{4}+ \sqrt{6} $
Học là ..... hỏi ...............

#10 caubeyeutoan2302

caubeyeutoan2302

    Nhà dược sĩ mê toán

  • Thành viên
  • 305 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khối B-CS. LHP High school for the gifted _Ho chi minh city
  • Sở thích:Làm toán , nghe nhạc nữa , thích chém gió và đặc biệt là vô cùng yêu ngôi trường Lũ Heo Phì For The Gifted của mình , hehe :))

Đã gửi 11-08-2011 - 13:29

Mình cám ơn sự đóng góp và tích cực trong các bài viết của tolaphuy , NGOCTIEN , và anhtruclamyentu nữa :D
Tiếp theo như các bạn đã biết , trong Lượng giác nếu không thuộc lòng các công thức cơ bản thì không thể nào giải bài được , ngoài Công thức cộng , biến tích thành tổng , tổng thành tích , hạ bậc , công thức nhân n lần , thì vẫn còn 1 số công thức nữa rất thông dụng trong việc giải những bài khó và nâng cao , mình sẽ trình bày để các bạn cùng học tập nhé :

:beer ĐẲNG THỨC CẦN NHỚ TRONG LƯỢNG GIÁC: :D

1. : $sinx+siny+sinz=sin(x+y+z)+4sin\dfrac{x+y}{2}.sin\dfrac{y+z}{2}.sin\dfrac{x+z}{2}$

2. :$cosx+cosy+cosz=-cos(x+y+z)+4cos\dfrac{x+y}{2}.cos\dfrac{y+z}{2}.cos\dfrac{x+z}{2}$

3. : $tanx+tany+tanz-tan(x+y+z)=-\dfrac{sin(x+y).sin(y+z).sin(x+z)}{cosx.cosy.cosz.cos(x+y+z)}$

4. : $cotx+coty+cotz-cot(x+y+z)=\dfrac{sin(x+y).sin(y+z).sin(x+z)}{sinx.siny.sinz.sin(x+y+z)}$

5. : $cos^2x+cos^2y+cos^2z+cos^2(x+y+z)=2+2cos(x+y).cos(y+z).cos(x+z)$

6. :$sin^2x+sin^2y+sin^2z+sin^2(x+y+z)=2-2cos(x+y).cos(y+z).cos(x+z)$

7. :$tan(x+y)tan(x-y)+tan^2y-tan^2x=tan(x+y).tan(x-y)tan^2x.tan^2y$

Tam thời mình đóng góp 7 công thức đẹp mắt trên , nếu các bạn tìm được các công thức nào khác về Lượng giác ( Do mình tự sáng tạo hay sưu tầm ) thì hãy post lên cho mọi người cùng có thêm kinh nghiệm nhé . Mình sẽ liên tục cập nhật . Cám ơn các bạn một lần nữa :D
CỐ GẮNG THÀNH SINH VIÊN ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

#11 caubeyeutoan2302

caubeyeutoan2302

    Nhà dược sĩ mê toán

  • Thành viên
  • 305 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khối B-CS. LHP High school for the gifted _Ho chi minh city
  • Sở thích:Làm toán , nghe nhạc nữa , thích chém gió và đặc biệt là vô cùng yêu ngôi trường Lũ Heo Phì For The Gifted của mình , hehe :))

Đã gửi 11-08-2011 - 20:24

Tiếp đến , tớ sẽ post vài bài BĐT lượng giác khá đẹp , các bạn cùng tham khảo nhé :


BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Cho các số $a_0,a_1,.......,a_n$ thuộc khoảng từ $(0;\dfrac{\pi}{2})$ thỏa mãn :
$ tan(a_0-\dfrac{\pi}{4})+tan(a_1-\dfrac{\pi}{4})+..........+tan(a_n-\dfrac{\pi}{4}) \ge n-1$
Hãy chứng minh : $a_1.a_2.a_3.a_4.......a_n \ge n^{n+1}$ ( BĐT này khá quen nhỉ :D)

Bài 2: Cho tam giác $ABC$ . Hãy chứng minh :
$ sin\dfrac{3A}{2}+sin\dfrac{3B}{2}+sin\dfrac{3C}{2} \le cos\dfrac{A-B}{2}+cos\dfrac{B-C}{2}+cos\dfrac{C-A}{2} $

Bài 3: Trong tam giác nhọn $ABC$ , hãy chứng minh :$cot^3A+cot^3B+cot^3C+6cotA.cotB.cotC \ge cotA+cotB+cotC $

Bài 4: Trong tam giác $ABC$ có các góc đều nhỏ hơn $120^0$
Các bạn hãy chứng minh : $ \dfrac{cosA+cosB-cosC}{sinA+sinB-sinC} >-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Vài bài trước nhé , tớ sẽ cập nhật thêm nhiều bài Lượng giác hay nữa, mong các bạn đóng góp, Lượng giác muôn năm :D
CỐ GẮNG THÀNH SINH VIÊN ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

#12 truclamyentu

truclamyentu

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trúc Lâm

Đã gửi 11-08-2011 - 20:50

Tiếp đến , tớ sẽ post vài bài BĐT lượng giác khá đẹp , các bạn cùng tham khảo nhé :
BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Cho các số $a_0,a_1,.......,a_n$ thuộc khoảng từ $(0;\dfrac{\pi}{2})$ thỏa mãn :
$ tan(a_0-\dfrac{\pi}{4})+tan(a_1-\dfrac{\pi}{4})+..........+tan(a_n-\dfrac{\pi}{4}) \ge n-1$
Hãy chứng minh : $a_1.a_2.a_3.a_4.......a_n \ge n^{n+1}$ ( BĐT này khá quen nhỉ :D)

Bài 2: Cho tam giác $ABC$ . Hãy chứng minh :
$ sin\dfrac{3A}{2}+sin\dfrac{3B}{2}+sin\dfrac{3C}{2} \le cos\dfrac{A-B}{2}+cos\dfrac{B-C}{2}+cos\dfrac{C-A}{2} $

Bài 3: Trong tam giác nhọn $ABC$ , hãy chứng minh :$cot^3A+cot^3B+cot^3C+6cotA.cotB.cotC \ge cotA+cotB+cotC $

Bài 4: Trong tam giác $ABC$ có các góc đều nhỏ hơn $120^0$
Các bạn hãy chứng minh : $ \dfrac{cosA+cosB-cosC}{sinA+sinB-sinC} >-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Vài bài trước nhé , tớ sẽ cập nhật thêm nhiều bài Lượng giác hay nữa, mong các bạn đóng góp, Lượng giác muôn năm :D



Bài 2 :

$sin\dfrac{{3A}}{2} + sin\dfrac{{3B}}{2} + sin\dfrac{{3C}}{2} \le cos\dfrac{{A - B}}{2} + cos\dfrac{{B - C}}{2} + cos\dfrac{{C - A}}{2}$

$ \Leftrightarrow 2\sum {{{\sin }^3}} \dfrac{A}{2} + \sum {\sin \dfrac{A}{2}} \sin \dfrac{B}{2} \ge \sum {\sin \dfrac{A}{2}} $

Đặt : $\begin{array}{l}a = \sin \dfrac{A}{2};b = \sin \dfrac{B}{2};c = \sin \dfrac{C}{2} \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc = 1\\\end{array}$

Ta cần CM : $2\sum {{a^3}} + \sum {ab \ge \sum a } \Leftrightarrow 2\sum {{a^3}} + \sum {ab \ge \sum a } .(\sum {{a^2}} + 2abc)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sum {{a^3}} + \sum {ab \ge 2abc\sum a } + \sum {ab(a + b)} \\\end{array}$

Áp dụng BĐT schur : $\sum {{a^3}} \ge \sum {ab(a + b)} - 3abc$

Vậy ta cần đi CM : $\sum {ab - 3abc \ge 2abc\sum a } \Leftrightarrow \sum {\dfrac{1}{a}} \ge 2\sum a + 3$

Vì : $\sum {\dfrac{1}{a}} \ge \dfrac{9}{{\sum a }}$ nên ta tiếp tục cần phải CM :

$\dfrac{9}{{\sum a }}\ge 2\sum {a}+3 \Leftrightarrow \sum {a} \le \dfrac{3}{2} $

hay : $\sin \dfrac{A}{2} + \sin \dfrac{B}{2} + \sin \dfrac{C}{2} \le \dfrac{3}{2}$ , hiển nhiên đúng

Vậy ta có đpcm ..

Bài 3 : Đặt :$a = cotA;b = cotB;c = cotC \Rightarrow ab + bc + ca = 1$

suy ra : ab+bc+ca=1 ; khi đó ta cần CM :

${a^3} + {b^3} + {c^3} + 6abc \ge a + b + c$

$\begin{array}{l}\Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + 6abc \ge (a + b + c)(ab + bc + ca)\\\\\Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3abc \ge ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)\end{array}$

cái này là bđt schur quen thuộc ..

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 11-08-2011 - 21:09


#13 NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1, THPT Dương Quảng Hàm, Hưng Yên

Đã gửi 11-08-2011 - 21:07

Tiếp đến , tớ sẽ post vài bài BĐT lượng giác khá đẹp , các bạn cùng tham khảo nhé :
BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Bài 3: Trong tam giác nhọn $ABC$ , hãy chứng minh :$cot^3A+cot^3B+cot^3C+6cotA.cotB.cotC \ge cotA+cotB+cotC $

mình chém bài 3:
đặt:
$ cotA=a, cotB=b, cotC=c (a,b,c>0) \\ \Rightarrow ab+bc+ca=1 \\ BDT \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+6abc \geq a+b+c $

BDT này có khá nhiều cách giải, ở đây mình sử dụng p,q,r

đặt:
$ a+b+c=p, 1=ab+bc+ca=q, abc=r \\ \Rightarrow BDT \Leftrightarrow p^3-4p+9r \geq 0 $

mà theo BDT Schur thì:
$ r \geq \dfrac{p.(4q-p^2)}{9} \\ \Leftrightarrow 9r \geq 4p-p^3 \\ \Rightarrow Q.E.D $

dấu = khi a=b=c hay tam giác ABC đều

đã xong :D :D
p/s: anh Đức nhanh thế, đã gộp 2 bài lại với nhau rồi :D :beer

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 11-08-2011 - 21:20

Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#14 Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Biên Hòa - Đồng Nai

Đã gửi 11-08-2011 - 21:18

Tiếp đến , tớ sẽ post vài bài BĐT lượng giác khá đẹp , các bạn cùng tham khảo nhé :
BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Cho các số $a_0,a_1,.......,a_n$ thuộc khoảng từ $(0;\dfrac{\pi}{2})$ thỏa mãn :
$ tan(a_0-\dfrac{\pi}{4})+tan(a_1-\dfrac{\pi}{4})+..........+tan(a_n-\dfrac{\pi}{4}) \ge n-1$
Hãy chứng minh : $a_1.a_2.a_3.a_4.......a_n \ge n^{n+1}$ ( BĐT này khá quen nhỉ :D)

Bài 2: Cho tam giác $ABC$ . Hãy chứng minh :
$ sin\dfrac{3A}{2}+sin\dfrac{3B}{2}+sin\dfrac{3C}{2} \le cos\dfrac{A-B}{2}+cos\dfrac{B-C}{2}+cos\dfrac{C-A}{2} $

Một cách khác cho bài 2 :
Ta có : $ Sin \dfrac{3A}{2} +Sin \dfrac{3C}{2} = 2Sin \dfrac{3(A+C)}{4}.Cos\dfrac{3(A-C)}{4}=2Cos \dfrac{\pi-3B}{4}.Cos\dfrac{3(A-C)}{4} $
$ Cos \dfrac{A-B}{2} +\dfrac{B-C}{2} = 2Cos\dfrac{A-C}{4}.Cos \dfrac{A+C-2B}{4}=2Cos\dfrac{A-C}{4} . Cos \dfrac{\pi-3B}{4} $
do vậy Bđt tương đương với :
$ \sum Cos \dfrac{\pi-3B}{4}(Cos \dfrac{A-C}{4}-Cos \dfrac{3(A-C)}{4}) \geq 0 $
Để ý $ Cos \dfrac{\pi-3B}{4} \geq 0 $ nên ta chỉ cần chứng minh :
$ Cos \dfrac{A-C}{4}-Cos \dfrac{3(A-C)}{4} \geq 0 $
Đặt $ t =\dfrac{A-C}{4} \Rightarrow Cos t - Cos 3t \geq 0 ( 0 \leq t \leq 1 ) $

$ \Leftrightarrow 4Cos t (1-Cos^2t) \geq 0 $
Từ đó suy ra điều cần chứng minh .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 11-08-2011 - 21:24

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#15 tolaphuy10a1lhp

tolaphuy10a1lhp

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Bình Định

Đã gửi 12-08-2011 - 00:08

CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC và BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Nếu :$a\sin^2A+bcos^2A = p\;, a\cos^2B + b\sin^2B = q$ và $a\tan A = b\tan B\;,$
Hãy chứng minh $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ ( Bài này mình trích của stuart clark )

Bài này khá hay!
$a\sin^2A+bcos^2A = p \Rightarrow \dfrac{1}{p}= \dfrac{tan^2A+1 }{b(tanAtanB + 1)} $
$ a\cos^2B + b\sin^2B = q \Rightarrow \dfrac{1}{q}= \dfrac{tan^2B+1 }{a(tanAtanB + 1)} $
$ \Rightarrow \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q}= \dfrac{tan^2A+1 }{b(tanAtanB + 1)} + \dfrac{tan^2B+1 }{a(tanAtanB + 1)} = \dfrac{a(tan^2A+1) +b (tan^2B+1) }{ab(tanAtanB + 1)} $
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q}= \dfrac{atan^2A+a +btan^2B+b }{ab(tanAtanB + 1)} = \dfrac{a. \dfrac{b}{a}tanAtanB +a +b. \dfrac{a}{b} tanAtanB +b} {ab(tanAtanB + 1)} $
$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q}= \dfrac{a +b}{ab} $
Học là ..... hỏi ...............

#16 isaac_newtons

isaac_newtons

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

Đã gửi 12-08-2011 - 09:02

Mình cám ơn đóng góp của tolaphuy nhé .
Hôm nay mình sẽ bổ sung vào vài bài hay mình mới sưu tầm được , hy vọng mọi người sẽ tham gia nhiệt tình và có thật nhiều bài viết hay :)
Bài 1 :
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn các điều kiện :
$ \begin{cases} 3sinA+4cosB=6 \\ 4sinB+3cosA=1 \end{cases} $
Hãy tìm số đo góc $C$


mình xin giải bài này!!!! bình phương 2 vế ta có :

$ \begin{cases} 9sin^2A+16cos^2B-24sinAcosB=36 \\ 16sin^2B+9cos^2A-24sinBcosA=1 \end{cases} $

cộng 2 vế của hpt :
$ \Leftrightarrow 25 - 24sin(B+A)=37 $
$ \Leftrightarrow sinC= - \dfrac{1}{2} $
$ \Rightarrow C=120^0 $

#17 tolaphuy10a1lhp

tolaphuy10a1lhp

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Bình Định

Đã gửi 12-08-2011 - 12:35

mình xin giải bài này!!!! bình phương 2 vế ta có :

$ \begin{cases} 9sin^2A+16cos^2B-24sinAcosB=36 \\ 16sin^2B+9cos^2A-24sinBcosA=1 \end{cases} $

cộng 2 vế của hpt :
$ \Leftrightarrow 25 - 24sin(B+A)=37 $
$ \Leftrightarrow sinC= - \dfrac{1}{2} $
$ \Rightarrow C=120^0 $


bạn làm sai rồi!
đáp án bài này ra $30^o$ hoặc $ 150^o$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tolaphuy10a1lhp: 13-08-2011 - 11:32

Học là ..... hỏi ...............

#18 caubeyeutoan2302

caubeyeutoan2302

    Nhà dược sĩ mê toán

  • Thành viên
  • 305 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khối B-CS. LHP High school for the gifted _Ho chi minh city
  • Sở thích:Làm toán , nghe nhạc nữa , thích chém gió và đặc biệt là vô cùng yêu ngôi trường Lũ Heo Phì For The Gifted của mình , hehe :))

Đã gửi 12-08-2011 - 19:17

Mình cám ơn sự tích cực và những đóng góp rất hay, bổ ích của anh truclamyentu , anh Lâm , bạn NGOCTIEN, tolaphuy và issac newtons
Mong rằng mọi người sẽ đóng góp thật nhiều bài viết hay để Mục Lượng giác của VMF ta sẽ phát triển một cách vượt bậc :):
Hôm nay , mình sẽ bổ sung vào 3 bài toán rất hay sau đây :

Bài 1
Tìm tất cả các nghiệm thuộc khoảng $(0;\dfrac{\pi}{2})$ thỏa mãn Phương trình sau đây :
$\dfrac{\sqrt{3}-1}{sinx}+\dfrac{\sqrt{3}+1}{cosx}=4\sqrt{2}$

Bài 2:
Tìm tất cả các cặp số thực ($(x;y)$ thuộc khoảng $(0;\dfrac{\pi}{2})$ thỏa mãn Phương trình :
$\dfrac{(sinx)^{2y}}{(cosx)^{\dfrac{y^2}{2}}}+\dfrac{(cosx)^{2y}}{(sinx)^{\dfrac{y^2}{2}}}=sin2x$

Bài 3:
Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn :$sina+sinb+sinc \ge \dfrac{3}{2}$
Hãy chứng minh : $ sin(a-\dfrac{\pi}{6})+sin(b-\dfrac{\pi}{6})+sin(c-\dfrac{\pi}{6}) \ge 0$
( Câu này khá đơn giản và đã được đăng lên THTT , mình mong bài này có thật nhiều bài giải hay :()

Ngày mai , mình sẽ post các bài Phương trình lượng giác không mẫu mực , hy vọng các bạn đóng góp tiếp nhé, mình rất cám ơn công sức các bạn :D :D
CỐ GẮNG THÀNH SINH VIÊN ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

#19 NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1, THPT Dương Quảng Hàm, Hưng Yên

Đã gửi 12-08-2011 - 21:32

Mình cám ơn sự tích cực và những đóng góp rất hay, bổ ích của anh truclamyentu , anh Lâm , bạn NGOCTIEN, tolaphuy và issac newtons
Mong rằng mọi người sẽ đóng góp thật nhiều bài viết hay để Mục Lượng giác của VMF ta sẽ phát triển một cách vượt bậc :):
Hôm nay , mình sẽ bổ sung vào 3 bài toán rất hay sau đây :

Bài 1
Tìm tất cả các nghiệm thuộc khoảng $(0;\dfrac{\pi}{2})$ thỏa mãn Phương trình sau đây :
$\dfrac{\sqrt{3}-1}{sinx}+\dfrac{\sqrt{3}+1}{cosx}=4\sqrt{2}$

Ngày mai , mình sẽ post các bài Phương trình lượng giác không mẫu mực , hy vọng các bạn đóng góp tiếp nhé, mình rất cám ơn công sức các bạn :( :D

bài này khá dễ, mình nhanh tay chém luôn :D :D
ĐK:$ sin2x \neq 0 $
$ PT \Leftrightarrow \sqrt{3}cosx+sinx+\sqrt{3}sinx-cosx=\sqrt{2}sin2x \\ \Leftrightarrow sin(x+\dfrac{\pi}{3})+sin(x-\dfrac{\pi}{6})=\sqrt{2}sin2x \\ \Leftrightarrow sin(x+\dfrac{\pi}{12})=sin2x \\ \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{12}+k2\pi ;\\ x=\dfrac{11\pi}{36}+\dfrac{k2\pi}{3} $
với cả 2 nghiệm này thì dễ thấy đều thỏa mãn ĐK
công việc còn lại chỉ là tìm xem x nào thuộc khoảng $ (0; \dfrac{\pi}{2}) $ mà thôi
đã xong :D :D
Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#20 isaac_newtons

isaac_newtons

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

Đã gửi 12-08-2011 - 21:44

bạn làm sai r�ồi!
đáp án bài này ra $30^o$ hoặc $150^o$


mình giải sai chỗ nào??? bạn chỉ giùm mình đi!!
bạn caubemetoan2302 có bài hay thì đăng lên mình ủng hộ 2 tay!!!
tiện thể bạn xem mình sai chỗ nào sửa giùm mình!!thanks

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi isaac_newtons: 12-08-2011 - 22:13





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh