Topic về Lượng giác và vấn đề liên quan
#41
Đã gửi 10-09-2011 - 21:50
Ta có: $\left( {\cos A + \sin A} \right)\left( {\cos B + \sin B} \right)\left( {\cos C + \sin C} \right)$
$ = 2\sqrt 2 \cos \left( {A - \dfrac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {B - \dfrac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {C - \dfrac{\pi }{4}} \right)$
BDT được viết dưới dạng: $\cos \left( {A - \dfrac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {B - \dfrac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {C - \dfrac{\pi }{4}} \right) \le {\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{4} + \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}} \right)^3}\,\,\,\,(1)$
* Nếu $\max \left\{ {A;B;C} \right\} \ge \dfrac{{3\pi }}{4}$ thì vế trái của (1) không dương nên BDT đã cho luôn đúng.
* Nếu $\max \left\{ {A;B;C} \right\} < \dfrac{{3\pi }}{4}$ thì $\cos \left( {A - \dfrac{\pi }{4}} \right) > 0;\cos \left( {B - \dfrac{\pi }{4}} \right) > 0;\cos \left( {C - \dfrac{\pi }{4}} \right) > $ nên
$\cos \left( {A - \dfrac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {B - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {A + B - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {A - B} \right)} \right$
$ \le \dfrac{1}{2}\left[ {1 + \cos \left( {A + B - \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right] \le {\cos ^2}\left( {\dfrac{{A + B}}{2} - \dfrac{\pi }{4}} \right)$
$ \cos \left( {A - \dfrac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {B - \dfrac{\pi }{4}} \right) \le {\cos ^2}\left( {\dfrac{{A + B}}{2} - \dfrac{\pi }{4}} \right)\,\,\,\,(2)$
Tương tự: $ \cos \left( {C - \dfrac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - \dfrac{\pi }{4}} \right) \le {\cos ^2}\left( {\dfrac{{C + \dfrac{\pi }{3}}}{2} - \dfrac{\pi }{4}} \right)\,\,\,\,(3)$
Nhân vế theo vế của (2) và (3) và tương tự ta có: $VT\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - \dfrac{\pi }{4}} \right) \le {\left[ {\cos \left( {\dfrac{{A + B}}{2} - \dfrac{\pi }{4}} \right){{\cos }^2}\left( {\dfrac{{C + \dfrac{\pi }{3}}}{2} - \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right]^2}$
$ \le {\cos ^4}\left( {\dfrac{\pi }{3} - \dfrac{\pi }{4}} \right$
$ \Rightarrow VT \le {\cos ^3}\left( {\dfrac{\pi }{3} - \dfrac{\pi }{4}} \right) = {\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{4} + \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}} \right)^3}$
Do đó:$\left( {\cos A + \sin A} \right)\left( {\cos B + \sin B} \right)\left( {\cos C + \sin C} \right) \le 2\sqrt 2 {\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{4} + \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}} \right)^3$
Đẳng thức xảy ra khi ABC là tam giác đều.
- HÀ QUỐC ĐẠT và ducthinh26032011 thích
#42
Đã gửi 21-09-2011 - 22:30
$ xsin A+ysin B+zsin C \ge \frac{3}{2}. \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
Cái này chắc phải đổi thành dấu $ \le$ chứ nhỉ
Có ai giải được thì post lên với.
#43
Đã gửi 21-09-2011 - 22:34
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
#44
Đã gửi 21-09-2011 - 23:00
A,B,C là các góc trong tam giácCó điều kiện gì của A,B,C không ?
#45
Đã gửi 22-09-2011 - 12:57
theo mình thì bài này phải là dấu $ \leq $ mới đúng, mình sẽ chứng minh cho TH này:Bài : Cho $x,y,z$ dương. CMR:
$ xsin A+ysin B+zsin C \ge \frac{3}{2}. \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
Cái này chắc phải đổi thành dấu $ \le$ chứ nhỉ
Có ai giải được thì post lên với.
áp dụng BDT cauchy-schwarz và BDT $ sin^2A+sin^2B+sin^2C \leq \frac{9}{4} $ ta có:
$ VT^2 \leq (x^2+y^2+z^2)(sin^2A+sin^2B+sin^2C) \leq \frac{9}{4}.(x^2+y^2+z^2) $
từ đây dẽ dàng suy ra DPCM, dấu = khi x=y=z và tam giác ABC đều
đã xong
Mong rằng toán học bớt khô khan
Em ơi trong toán nhiều công thức
Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn
#46
Đã gửi 15-10-2011 - 00:38
- Cho mình hỏi cách giải bài lượng giác sin5xsin4x - sin2xsin6x - sin4xsin6x = 0 nhe?
- Mong các bạn reply sớm nhe, cảm ơn các bạn nhiều!
#47
Đã gửi 15-10-2011 - 19:12
Bài này bạn đã hỏi nhiều lần rồi!Chào các bạn trên diễn đàn!
- Cho mình hỏi cách giải bài lượng giác sin5xsin4x - sin2xsin6x - sin4xsin6x = 0 nhe?
- Mong các bạn reply sớm nhe, cảm ơn các bạn nhiều!
http://www.artofprob...p?f=39&t=436269
THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT
LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN
Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa
#48
Đã gửi 15-06-2012 - 14:13
sin2A + sin2B = 3$\sqrt[3]{sinC}$
Hỡi nhân gian ai là người giỏi toán
Xin giải cho tôi bài toán về tình yêu
Giả thiết cho rằng tôi yêu người đó
Chứng minh rằng người đó cũng yêu tôi?
#49
Đã gửi 15-06-2012 - 14:19
$\sqrt{tanA}+\sqrt{tanB}+\sqrt{tanC}=\sqrt{cot\frac{A}{2}}+\sqrt{cot\frac{B}{2}}+\sqrt{cot\frac{C}{2}}$
Hỡi nhân gian ai là người giỏi toán
Xin giải cho tôi bài toán về tình yêu
Giả thiết cho rằng tôi yêu người đó
Chứng minh rằng người đó cũng yêu tôi?
#50
Đã gửi 08-07-2012 - 12:50
1) Xác đình tất cả các giá trị x $ \in [0;2 \pi) $, sao cho
$81 sin^{10 }x + cos^{10} x = \dfrac{81}{256}$
2) Cho a, b, c là các cạnh và $ m_{1} ;m_{2};m_{3}$ là các trung tuyến tương ứng cùa tam giac ABC
CM: $( a^{2}+ b^{2}+c^{2}) (a m_{1}+bm_{2}+cm_{3}) \geq 4m_{1}m_{2}m_{3}(a+b+c) $
Bài 1 đã được giải ở đây: http://forum.mathsco...ead.php?t=33471
*Không biết Galois_vn (bên MS) có phải là Thầy Thế nhà mình không nhỉ??
* Cách hàm số của bên MS không hay lắm !!!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tolaphuy10a1lhp: 09-07-2012 - 20:51
#51
Đã gửi 14-08-2012 - 22:02
$(sinx)^{sinx}>(cosx)^{cosx}$ sai. Còn $(sinx)^{sinx}<(cosx)^{cosx}$ đúng!Bài 7 : Một trong 2 bất đảng thức $(sinx)^{sinx}>(cosx)^{cosx}$ và $(sinx)^{sinx}<(cosx)^{cosx}$ luôn đúng với mọi $x$ thuộc khoảng $(0;\dfrac{\pi}{4})$ . Bạn hãy phát hiện ra bất đẳng thức ấy và chứng minh nhận định của mình
Chứng minh:
Vì $\sin^2x \cos^2x<\frac{1}{4}$ với $x\in (0;\frac{\pi}{4})$
Xét hàm số $f(t)=(\frac{1}{4})^t+t$ với $t\in \begin{bmatrix}
0;\frac{1}{2}\end{bmatrix}$ . Sử dụng bảng biến thiên suy ra $f(t)<1$
Thay $t=\sin^2x$ với $x\in \begin{pmatrix}0;\frac{\pi}{4}\end{pmatrix}\Rightarrow sin^2x \in \begin{pmatrix}
0;\frac{1}{2}
\end{pmatrix}$
$$(\sin^2x\cos^2)^{\sin^2x}+\sin^2x <(\frac{1}{4})^{\sin^2x}\Rightarrow (\sin^2x\cos^2x)^{\sin^2x}<\cos^2x$$
$$\Leftrightarrow \frac{\sin^2x\cos^2x}{(\sin^2x\cos^2x)^{\cos^2x}}<\cos^2x\Leftrightarrow \frac{sin^2x}{(\sin^2x)^{\cos^2x}}<(\cos^2x)^{\cos^2x} \Leftrightarrow (\sin^2x)^{\sin^2x}<(\cos^2x)^{\cos^2x}$$
$$\Leftrightarrow (\sin x)^{2\sin^2x}<(\cos x)^{2\cos^2x}\Leftrightarrow (\sin x)^{\sin^2x}<(\cos x)^{\sin^2x}\,\,\,\,(1)$$
Vì $x\in (0;\frac{\pi}{4}) \Rightarrow \sin x<\cos x$. Do đó $(\sin x)^{\sin x\cos x}<(\sin x)^{\sin^2x}\,\,\,\, (2)$
Từ (1) và (2) suy ra $$(\sin x)^{\sin x\cos x}<(\cos x)^{\cos^2x}\Leftrightarrow (\sin x)^{\sin x}<(\cos x)^{\cos x}$$ (đpcm)
- davildark yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#52
Đã gửi 20-11-2012 - 21:48
$\left\{\begin{matrix} 2sin^3x - cos2x + cosx = 0\\sin2x - 2sinx = 0 \end{matrix}\right.$
#53
Đã gửi 22-11-2012 - 22:17
$S = cos 5^o + cos 77^o + cos 149^o + cos 221^o + cos 293^o$
#54
Đã gửi 26-11-2012 - 22:44
$\left\{\begin{matrix} \cos x = a \cos^3 y\\\sin x = a \sin^3 y \end{matrix}\right.$
#55
Đã gửi 29-03-2013 - 14:02
Tính tổng ::
$S = cos 5^o + cos 77^o + cos 149^o + cos 221^o + cos 293^o$
$S=2\cos (149)\cos (144)+2\cos (149)\cos (72)+\cos (149)=2\cos (149)(\cos (144)+\cos (72)+\frac{1}{2})$
xét riêng:
ta có $\cos (36)=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$
$\cos (72)=2\cos ^{2}(36)-1=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$
tới đây coi như xong.
SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA
https://www.facebook...toanchuyenkhao/
#56
Đã gửi 01-07-2013 - 22:28
một số bài lượng giác cơ bản nha:!
bài1:cmr;tam giác ABC cân nếu;
a, a.tanA+b.tanB=(a+b].cot$\frac{C}{2}$
b, $\frac{cos2A+cos2B}{sin2A+sin2B}$=$\frac{1}{2}$.(cot2A+cot2B]
c,$\frac{sin2A}{cosA}$+$\frac{sin2B}{cosB}$=sinA+sinB
d, sin$\frac{A}{2}$. cos3$\frac{B}{2}$=sin$\frac{B}{2}.$cos3$\frac{A}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bsxilytol: 01-07-2013 - 22:28
live slowly - think different - love more
#57
Đã gửi 16-07-2013 - 20:44
Một số phương trình lượng giác mong các bạn giúp đỡ mình
1)$sin3x+sinx=\sqrt{3}(cosx-1)$
2)$8cos^{3}(x+\frac{\pi }{3})=cos3x$
#58
Đã gửi 17-08-2013 - 08:04
giải hộ mình bài này cái các bạn
Bài 1: $sin\frac{5x}{2} = 5cos^{3}x.sin\frac{x}{2}$
Bài 2: 2sin3x(1-4sin^{2}x)=1$
#59
Đã gửi 17-08-2013 - 09:18
2)$8cos^{3}(x+\frac{\pi }{3})=cos3x$
2. Đặt $x+\frac{\pi }{3}=t$
PT trở thành: $8cos^{3}t=cos(3t-\pi )=-cos3t$
$\Leftrightarrow 8cos^{3}t+4cos^{3}t-3cost=0$
$\Leftrightarrow 12cos^{3}t-3cost=0$
$\Leftrightarrow cost(2cost-1)(2cost+1)=0$
#60
Đã gửi 29-08-2013 - 21:33
mình ửng hộ 1 bài mong mọi người xem nhé
$4cosx.cos2x.cos4x.cos8x=sin12x$
3 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh