Chủ đề này có 4 trả lời

[linh280397]

tìm GTNN và GTLN của:
A= $\ x^{6} + y^{6} ( x^{2} + y^{2}=1) $
Mong mọi người giúp đỡ. Em xin cảm ơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 06-08-2012 - 15:48

[vietfrog]

tìm GTNN và GTLN của:
A= $\ x^{6} + y^{6} ( x^{2} + y^{2}=1) $
Mong mọi người giúp đỡ. Em xin cảm ơn.

Ta có:
${({x^2} + {y^2})^2} \ge 4{x^2}{y^2} \Leftrightarrow 1 \ge 4{x^2}{y^2} \Leftrightarrow 0 \le {x^2}{y^2} \le \dfrac{1}{4}$
Mặt khác:
$A = {x^6} + {y^6} = {({x^2})^3} + {({y^2})^3} = {({x^2} + {y^2})^3} - 3({x^2} + {y^2}){x^2}{y^2}$

$ \Rightarrow A = 1 - 3{x^2}{y^2} \Rightarrow \dfrac{1}{4} \le A \le 1$

[maikhai]

Bài này làm đơn giản là phân tích đa thức thành nhân tử thôi!
Ta có: $x^6+y^6=(x^2+y^2)(x^4 - x^2y^2+y^4)=(x^2+y^2)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$
Do $x^2+y^2= 1$ nên ta có ; $ (1+xy)(1-xy)=1-x^2y^2 \leq 1 \Rightarrow max$ của bt là 1 xảy ra khi x=0 hoặc y=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 14-08-2011 - 11:11
Latex

[Nguyễn Hữu Huy]

tìm GTNN và GTLN của:
A= $\ x^{6} + y^{6} ( x^{2} + y^{2}=1) $
Mong mọi người giúp đỡ. Em xin cảm ơn.

Đặt $x^2 = a ;;;; y^2 = b \Rightarrow a , b \geq 0 $

$\Leftrightarrow a + b = 1$


Ta có $(a^3 + b^3)(1 + 1)(1 + 1) \geq (a + b)^3 = 1$

$\Rightarrow a^3 + b^3 \geq \dfrac{1}{4}$

Còn với max thì tahy a = 1 - b vào là đc !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hữu Huy: 08-09-2011 - 20:41

[Ispectorgadget]

MIN
vì vai trò a,b,c như nhau không mất tính tổng quát giả sử
\[
\begin{array}{l}
a^2 \ge b^2 \ge c^2 \\
= > a^4 \ge b^4 \ge c^4 \\
\end{array}
\]
Áp dụng BĐT chebishev
\[
x^4 .x^2 + y^4 y^2 \ge \dfrac{{x^2 + y^2 }}{2}.(x^4 + y^4 ) = \dfrac{1}{2}.(x^4 + y^4 )
\]
Áp dụng BĐT cauchy-schwarz

\[
\dfrac{1}{2}.(x^4 + y^4 ) \ge \dfrac{1}{2}.\dfrac{{(x^2 + y^2 )^2 }}{2} = \dfrac{1}{4}
\]
Dấu "=" xảy ra <=>
\[
a = b = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}
\]