Chủ đề này có 3 trả lời

[tigon]

Tìm GTLN, GTNN của các hàm số lượng giác
1. $y = co{s^3}x + si{n^3}x$

2. ${\rm{y = }}\sqrt {{\rm{ cosx }}} {\rm{ + }}\sqrt {{\rm{sinx}}} $

MOD : Gõ đứng latex nha bạn .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 11-08-2011 - 08:29

[Crystal]

Tìm GTLN, GTNN của các hàm số lượng giác
1. y = cos^{3}x + sin^{3}x
2. y = :sqrt[2]{cosx} + :sqrt[2]{sinx}

Đề thê này phải không bạn
1. $y = \cos ^3 x + \sin ^3 x$
2. $y = \sqrt {\cos x} + \sqrt {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} $
Nếu thế thì mình làm như sau:
1. $y = \left( {\cos x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)\left( {\sin ^2 - \sin {\rm{x}}\cos x + c{\rm{os}}^2 x} \right) = \left( {\cos x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)\left( {1 - \sin {\rm{x}}\cos x} \right)$
Đặt $t = \cos x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}},\,\left| t \right| \le \sqrt 2 \, \Rightarrow \sin {\rm{x}}\cos x = \dfrac{{t^2 - 1}}{2}$
$\Rightarrow y = t\left( {1 - \dfrac{{t^2 - 1}}{2}} \right) = \dfrac{{ - t^3 + 3t}}{2}$
Hàm số: $f\left( t \right) = \dfrac{{ - t^3 + 3t}}{2},\,\,\,t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$
$f'\left( t \right) = \dfrac{{ - 3t^2 + 3}}{2} \Rightarrow f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1 \\ t = 1 \\ \end{array} \right.$.
Tính $f\left( { \pm \sqrt 2 } \right),\,\,f\left( { \pm 1} \right)$ hoặc lập bảng biến thiên ta có:
$\min y = - 1\,,\,\max y = 1$.
2. Ta có:
$\left| {\sqrt {\cos x} + \sqrt {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} } \right| \le \sqrt {2\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + c{\rm{ox}}} \right)} \le \sqrt {2\sqrt {2\left( {\sin ^2 x + c{\rm{os}}^2 x} \right)} } = \sqrt {2\sqrt 2 } $.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}0 \le \sin x \le 1 \\ 0 \le \cos x \le 1 \\ \end{array} \right.$
Khi đó: $1 = c{\rm{os}}^2 x + \sin ^2 x \le \cos ^{\dfrac{1}{2}} x + \sin ^{\dfrac{1}{2}} x = \sqrt {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} + \sqrt {\cos x} = y$
Đến đây là xong.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 11-08-2011 - 09:25

[isaac_newtons]

Đề thê này phải không bạn
1. $y = \cos ^3 x + \sin ^3 x$
2. $y = \sqrt {\cos x} + \sqrt {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} $
Nếu thế thì mình làm như sau:
1. $y = \left( {\cos x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)\left( {\sin ^2 - \sin {\rm{x}}\cos x + c{\rm{os}}^2 x} \right) = \left( {\cos x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)\left( {1 - \sin {\rm{x}}\cos x} \right)$
Đặt $t = \cos x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}},\,\left| t \right| \le \sqrt 2 \, \Rightarrow \sin {\rm{x}}\cos x = \dfrac{{t^2 - 1}}{2}$
$\Rightarrow y = t\left( {1 - \dfrac{{t^2 - 1}}{2}} \right) = \dfrac{{ - t^3 + 3t}}{2}$
Hàm số: $f\left( t \right) = \dfrac{{ - t^3 + 3t}}{2},\,\,\,t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$
$f'\left( t \right) = \dfrac{{ - 3t^2 + 3}}{2} \Rightarrow f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1 \\ t = 1 \\ \end{array} \right.$.
Tính $f\left( { \pm \sqrt 2 } \right),\,\,f\left( { \pm 1} \right)$ hoặc lập bảng biến thiên ta có:
$\min y = - 1\,,\,\max y = 1$.
2. Ta có:
$\left| {\sqrt {\cos x} + \sqrt {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} } \right| \le \sqrt {2\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + c{\rm{ox}}} \right)} \le \sqrt {2\sqrt {2\left( {\sin ^2 x + c{\r^2 x} \right)} } = \sqrt {2\sqrt 2 } $.
Đến đây là xong.

a)$ \sin^3x \leq \sin^2x $ ; $ \cos^3x \leq \cos^2x $
$ \sin^3x+\cos^3x \leq \sin^2x+cos^2x=1 \Rightarrow .... $

$ \sin^3x \geq sinx $ ; $ \cos^3x \geq cosx $
$ \Rightarrow \sin^3x + \cos^3x \geq sinx+cosx \geq -\sqrt[]{2} $
b) $ \sqrt[]{cosx}+\sqrt[]{sinx} \leq \sqrt[]{2(sinx+cosx)} \leq \sqrt[]{2 \sqrt[]{2} } $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi isaac_newtons: 11-08-2011 - 09:31

[CD13]

a)$ \sin^3x \leq \sin^2x $ ; $ \cos^3x \leq \cos^2x $
$ \sin^3x+\cos^3x \leq \sin^2x+cos^2x=1 \Rightarrow .... $

Sao không gắn vào trị tuyệt đối để có GTNN luôn?