Chủ đề này có 5 trả lời

[Didier]

bài 1: Một số nguyên dương T gọi là số tam giác nếu có dạng $ T= \dfrac{k(k+1)}{2}$ trong đó k là số nguyên duơng . Tìm tất cả các số nguyên dương n có tính chất : Tồn tại một hệ thặng dư (mod n ) gồm n số tam giác
Thêm một sử dụng số chính phương mod p
bài 2: cho P>3 là số nguyên tố có dạng 3k+1 .Chứng minh rằng
$ \prod\limits_{i = 1}^p {(i^2 + i + 1)} \vdots p $

chứng minh dễ hiểu nhé

[Zaraki]

Lời giải bài 2 hơi lèo nhèo, nhác viết, đành để khi nào rảnh vậy, thay vào xin gợi ý

Cho số nguyên dương $n$. Số nguyên $a$ được gọi là số chính phương $\pmod{n}$, nếu tồn tại $m \in N$ sao cho:

$m^2 \equiv a \pmod{n}.$

Cho $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng:

i) Nếu $p=2$, thì mọi số $a$ lẻ đều là số chính phương $\pmod{2}$.
ii) Nếu $p>2$, thì:

_ $a$ là số chính phương $\pmod{p} \Leftrightarrow a^{\dfrac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod{p}$.
_ $a$ không là số chính phương $\pmod{p} \Leftrightarrow a^{\dfrac{p-1}{2}} \equiv -1 \pmod{p}$.

Hiểu và chứng minh mấy cái này đã.

[Didier]

bài 1: Một số nguyên dương T gọi là số tam giác nếu có dạng $ T= \dfrac{k(k+1)}{2}$ trong đó k là số nguyên duơng . Tìm tất cả các số nguyên dương n có tính chất : Tồn tại một hệ thặng dư (mod n ) gồm n số tam giác
Thêm một sử dụng số chính phương mod p
bài 2: cho P>3 là số nguyên tố có dạng 3k+1 .Chứng minh rằng
$ \prod\limits_{i = 1}^p {(i^2 + i + 1)} \vdots p $

chứng minh dễ hiểu nhé

giải mấy bài trên đi anh em ôn tập và nâng cao trình độ số học

[Didier]

giải mấy bài trên đi anh em ôn tập và nâng cao trình độ số học

mopị người giải hộ tớ bài này đi chứ tớ kém phần này lắm học xong quên liền

[nguyenta98]

bài 2: cho P>3 là số nguyên tố có dạng 3k+1 .Chứng minh rằng
$ \prod\limits_{i = 1}^p {(i^2 + i + 1)} \vdots p $

Giải như sau:
Ta sẽ cm tồn tại $i$ sao cho $i^2+i+1 \vdots p$
$\Leftrightarrow (2i+1)^2+3 \vdots p \Rightarrow (-3)$ là số chính phương $mod(p)$
Suy ra $(-3)^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod{3}$
Nếu $p \equiv 1 \pmod{4} \Rightarrow p=12k+1$ nên thay vào thấy rõ ràng đúng do khi ấy $3^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod{p}$ đúng do $3$ là scp $mod(p)$ khi $p=12k\pm1$
Nếu $p \equiv 3 \pmod{4} \Rightarrow p=12k+7$ khi ấy $3^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \pmod{p}$ hay $3$ không là scp $mod(p)$ đúng do $p$ không có dạng $12t\pm1$
Do đó luôn tồn tại $i$ sao cho $i^2+i+1 \vdots p$ suy ra $đpcm$

[barcavodich]

Ta đi chứng minh điều mà Jimbe nói

Đặt $p'=\frac{p-1}{2}$

Xét tập $S=(1,2,...,p-1)$ và $S_1=(1,2,...,p')$ 

Ta có với mỗi $i\in S_1\exists ! r_i\in S$ sao cho $r_i\equiv i^2(mod p)$

$\Rightarrow A=(r_i)$($i=1,...,p')$ gồm các số chính phương mod $p$ trong $S$

Dễ thấy $r_i\neq r_j\forall i\neq j$

Giả sử $a\in S$ là chính phương mod $p$

$\Rightarrow a\equiv k^2(mod p),k\in S$

Nếu $k\in S_1\Rightarrow a=r_k\in A$

Nếu $k\notin S_1\Rightarrow h=p-k\in S_1$

Từ đó cũng suy ra được $a\ in A$

Nên có đúng $p'$ phần tử chính phương và không chính phương mod $p$