Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangnbk]

Tìm p,q để giá trị lớn nhất của hàm số :

$ y= \left| {{x^2} + px + q} \right|$

trên đoạn [-1,1] là nhỏ nhất .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 25-12-2011 - 21:48

[Crystal]

Tìm p,q để giá trị lớn nhất của hàm số :

$ y= \left| {{x^2} + px + q} \right|$

trên đoạn [-1,1] là nhỏ nhất .

Chém bừa vậy
Ta xét hàm số $f\left( x \right) = x^2 + px + q\,\,\,(P)$
Bài toán có 2 trường hợp:
TH1:
Hoành độ đỉnh của (P): $x = - \dfrac{p}{2} \notin \left[ { - 1;1} \right]$ tức $\left| p \right| \ge 2$.
Lúc đó: $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} \left\{ {\left| {1 - p + q} \right|,\left| {1 + p + q} \right|} \right\} = \left| {1 + q} \right| + \left| p \right|$
Vì $\left| {1 + p + q} \right| \le \left| {1 + q} \right| + \left| p \right|,\,\,\left| {1 - p + q} \right| \le \left| {1 + q} \right| + \left| p \right|$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}p\left( {1 + q} \right) > 0 \\ - p\left( {1 + q} \right) > 0 \\ \end{array} \right.$.
$\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} \left( {\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right|} \right) = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} \left( {\left| {1 + q} \right| + \left| p \right|} \right) = 2 \Leftrightarrow p = 2,\,q = - 1$.
TH2:
Hoành độ đỉnh của (P): $x = - \dfrac{p}{2} \in \left[ { - 1;1} \right]$ tức $\left| p \right| \le 2$.
Lúc đó: $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} \left\{ {\left| {1 - p + q} \right|,\left| {1 + p + q} \right|,\left| {q - \dfrac{{p^2 }}{4}} \right|} \right\} = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} \left\{ {\left| {1 + q} \right| + \left| p \right|,\left| {q - \dfrac{{p^2 }}{4}} \right|} \right\}$.
Xét các hàm số: $h_1 \left( q \right) = \left| {1 + q} \right| + \left| p \right|,\,\,h_2 \left( q \right) = \left| {q - \dfrac{{p^2 }}{4}} \right|$
( coi q là biến số, p là tham số, $\left| p \right| \le 2$)
Ta dễ dàng suy ra GTNN là giao của $h_1 \left( q \right),\,h_2 \left( q \right)$ tại $H\left( {q_0 ;h_0 } \right)$
Lúc đó: $1 + q_0 + \left| p \right| = - q_0 + \dfrac{{p^2 }}{4} \Rightarrow q_0 = \dfrac{{\left( {\dfrac{{p^2 }}{4} - 1 - \left| p \right|} \right)}}{2}$
$h_0 = 1 + q_0 + \left| p \right| = 1 + \dfrac{{\left( {\dfrac{{p^2 }}{4} - 1 - \left| p \right|} \right)}}{2} + \left| p \right| = \dfrac{{\left( {\dfrac{{p^2 }}{4} + 1 + \left| p \right|} \right)}}{2} = \dfrac{{\left( {\dfrac{{\left| p \right|}}{1} + 1} \right)^2 }}{2}$.
$\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} \left( {\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right|} \right) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow p = 0,\,q = - \dfrac{1}{2}$.
Vậy $p = 0,\,q = - \dfrac{1}{2}$.
Bài toán đã giải quyết xong!
---------------
Một bài bạn có thể tham khảo
Tìm a và b để GTLN của hàm số $f\left( x \right) = \left| {\dfrac{{16}}{9}.\dfrac{{7^x + 7^{ - x} - 2}}{{7^x + 7^{ - x} + 2}} + \left( {a - b} \right)\dfrac{4}{3}.\dfrac{{7^x - 1}}{{7^x + 1}} + 2a - 3b} \right|$ là nhỏ nhất trên $\left[ { - 1;1} \right]$.