Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho $a,b,c,d \in [0,1]$ CMR: $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) + a + b + c + d \ge 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Sang Ri

Sang Ri

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 14-08-2011 - 17:34

Định lý 1 : Cho $f(x) = ax + b$ . Nếu t�ồn tại 2 số thực $a<b$ sao cho $f(a) \ge 0; f(b) \ge 0$ thì $f(x) \ge 0$ (Với mọi $x \in (a,b)$ hoặc $[a,b]$)
Định lý 2 : Cho $f(x) = ax + b$ thì $\min \{f(a),f(b) \}\le f(x) \le \max \{f(a),f(b) \}.\forall x \in [a;b]$


1. Cho $a,b,c,d \in [0,1]$ CMR: $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) + a + b + c + d \ge 1$
2. Cho $a,b,c$ không âm và $a+b+c=1$. CMR
* $a^3 + b^3 + c^3 + 6abc \ge \dfrac{1}{4}$
** $7(ab + bc + ca) \le 2 + 9abc$
3.Cho $x,y,z$ là các số thực dương và $x + y + z = 1$. CMR : $5(x^2 + y^2 + z^2) \le 6(x^3 + y^3 + z^3) +1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 20-11-2012 - 15:38


#2 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 20-11-2012 - 15:38

Định lý 1 : Cho $f(x) = ax + b$ . Nếu tồn tại 2 số thực $a<b$ sao cho $f(a) \ge 0; f(b) \ge 0$ thì $f(x) \ge 0$ (Với mọi $x \in (a,b)$ hoặc $[a,b]$)
Định lý 2 : Cho $f(x) = ax + b$ thì $\min \{f(a),f(b) \}\le f(x) \le \max \{f(a),f(b) \}.\forall x \in [a;b]$


1. Cho $a,b,c,d \in [0,1]$ CMR: $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) + a + b + c + d \ge 1$

Biểu diễn hàm bậc nhất theo biến số $a$ và tham số $b,c,d$ ta có $$f(a)-[1-(1-b)(1-c)(1-d)]a+(1-b)(1-c)(1-d)+b+d+c\ge 1,\forall a,b,c,d\in [0;1]$$
Đồ thị $y=f(a),\forall a\in [0;1]$ là một đoạn thẳng nên $\mathop {Min}\limits_{a \in [0;1]} f(a) = Min\{ f(0);f(1)\} $
Ta có $f(1)=b+c+d+1 \ge 1,\forall b,c,d \in [0;1]$
$f(0)=(1-b)(1-c)(1-d)+b+d+c \iff g(b)=[1-(1-c)(1-d)]b+(1-c)(1-d)+c+d$
Đồ thị $y=g(b),\forall b \in [0;1]$ là một đoạn thẳng nên $\mathop {Min}\limits_{b \in [0;1]} f(b) = Min\{ f(0);f(1)\} $
Ta có $g(1)=c+d+1 \ge 1;g(0)=(1-c)(1-d)+c+d =1+cd\ge 1$
Nên $f(0)=g(b)\ge 1 ,\forall b \in [0;1]$ Vậy $f(a) \ge 1$ hay ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 20-11-2012 - 15:39

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#3 baonguyen97

baonguyen97

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Lê Quí Đôn

Đã gửi 28-03-2013 - 17:47

Bài 2:

*$a^{3}+b^{3}+c^{3}+6abc \geq \frac{1}{4}=frac{(a+b+c)^{3}}{4}$

$\Leftrightarrow 4a^{3}+4b^{3}+4c^{3}+24abc \geq (a+b+c)^{3}$

$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+6abc \geq \sum ab(a+b)$

Theo bdt Shur: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc \geq \sum ab(a+b)$

và $3abc \geq 0$

Từ đó có đpcm.

Đẳng thức khi và chỉ khi $a=b=0,5; c=0$ và các hoán vị

 

**Đặt

$$p=a+b+c=1$$

$$q=ab+bc+ca$$

$$r=abc$$

Ta cần chứng minh: $9r-7q+2 \geq 0  (**)$

Theo bđt Shur: $p^{3}+9r \geq 4pq$

$\leftrightarrow 9r+1-4q \geq 0$

Do đó $VT(**) \geq 1-3q \geq 0$

$(p=1 \rightarrow 3q \leq 1)$

Đẳng thức xảy ra $\leftrightarrow a=b=c=1/3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baonguyen97: 28-03-2013 - 17:51


#4 nmtuan2001

nmtuan2001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 04-12-2017 - 18:07

3.Cho $x,y,z$ là các số thực dương và $x + y + z = 1$. CMR : $5(x^2 + y^2 + z^2) \le 6(x^3 + y^3 + z^3) +1$

 

BĐT tương đương với $5(x^2+y^2+z^2)(x+y+z) \leq 6(x^3+y^3+z^3)+(x+y+z)^3$.

Sau khi rút gọn, ta được $xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) \leq x^3+y^3+z^3+3xyz$, đúng theo BĐT Schur.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 04-12-2017 - 18:08





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh