Chủ đề này có 3 trả lời

[Sang Ri]

Định lý 1 : Cho $f(x) = ax + b$ . Nếu t�ồn tại 2 số thực $a<b$ sao cho $f(a) \ge 0; f(b) \ge 0$ thì $f(x) \ge 0$ (Với mọi $x \in (a,b)$ hoặc $[a,b]$)
Định lý 2 : Cho $f(x) = ax + b$ thì $\min \{f(a),f(b) \}\le f(x) \le \max \{f(a),f(b) \}.\forall x \in [a;b]$


1. Cho $a,b,c,d \in [0,1]$ CMR: $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) + a + b + c + d \ge 1$
2. Cho $a,b,c$ không âm và $a+b+c=1$. CMR
* $a^3 + b^3 + c^3 + 6abc \ge \dfrac{1}{4}$
** $7(ab + bc + ca) \le 2 + 9abc$
3.Cho $x,y,z$ là các số thực dương và $x + y + z = 1$. CMR : $5(x^2 + y^2 + z^2) \le 6(x^3 + y^3 + z^3) +1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 20-11-2012 - 15:38

[Ispectorgadget]

Định lý 1 : Cho $f(x) = ax + b$ . Nếu tồn tại 2 số thực $a<b$ sao cho $f(a) \ge 0; f(b) \ge 0$ thì $f(x) \ge 0$ (Với mọi $x \in (a,b)$ hoặc $[a,b]$)
Định lý 2 : Cho $f(x) = ax + b$ thì $\min \{f(a),f(b) \}\le f(x) \le \max \{f(a),f(b) \}.\forall x \in [a;b]$


1. Cho $a,b,c,d \in [0,1]$ CMR: $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) + a + b + c + d \ge 1$

Biểu diễn hàm bậc nhất theo biến số $a$ và tham số $b,c,d$ ta có $$f(a)-[1-(1-b)(1-c)(1-d)]a+(1-b)(1-c)(1-d)+b+d+c\ge 1,\forall a,b,c,d\in [0;1]$$
Đồ thị $y=f(a),\forall a\in [0;1]$ là một đoạn thẳng nên $\mathop {Min}\limits_{a \in [0;1]} f(a) = Min\{ f(0);f(1)\} $
Ta có $f(1)=b+c+d+1 \ge 1,\forall b,c,d \in [0;1]$
$f(0)=(1-b)(1-c)(1-d)+b+d+c \iff g(b)=[1-(1-c)(1-d)]b+(1-c)(1-d)+c+d$
Đồ thị $y=g(b),\forall b \in [0;1]$ là một đoạn thẳng nên $\mathop {Min}\limits_{b \in [0;1]} f(b) = Min\{ f(0);f(1)\} $
Ta có $g(1)=c+d+1 \ge 1;g(0)=(1-c)(1-d)+c+d =1+cd\ge 1$
Nên $f(0)=g(b)\ge 1 ,\forall b \in [0;1]$ Vậy $f(a) \ge 1$ hay ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 20-11-2012 - 15:39

[baonguyen97]

Bài 2:

*$a^{3}+b^{3}+c^{3}+6abc \geq \frac{1}{4}=frac{(a+b+c)^{3}}{4}$

$\Leftrightarrow 4a^{3}+4b^{3}+4c^{3}+24abc \geq (a+b+c)^{3}$

$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+6abc \geq \sum ab(a+b)$

Theo bdt Shur: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc \geq \sum ab(a+b)$

và $3abc \geq 0$

Từ đó có đpcm.

Đẳng thức khi và chỉ khi $a=b=0,5; c=0$ và các hoán vị

 

**Đặt

$$p=a+b+c=1$$

$$q=ab+bc+ca$$

$$r=abc$$

Ta cần chứng minh: $9r-7q+2 \geq 0  (**)$

Theo bđt Shur: $p^{3}+9r \geq 4pq$

$\leftrightarrow 9r+1-4q \geq 0$

Do đó $VT(**) \geq 1-3q \geq 0$

$(p=1 \rightarrow 3q \leq 1)$

Đẳng thức xảy ra $\leftrightarrow a=b=c=1/3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baonguyen97: 28-03-2013 - 17:51

[nmtuan2001]

3.Cho $x,y,z$ là các số thực dương và $x + y + z = 1$. CMR : $5(x^2 + y^2 + z^2) \le 6(x^3 + y^3 + z^3) +1$

 

BĐT tương đương với $5(x^2+y^2+z^2)(x+y+z) \leq 6(x^3+y^3+z^3)+(x+y+z)^3$.

Sau khi rút gọn, ta được $xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) \leq x^3+y^3+z^3+3xyz$, đúng theo BĐT Schur.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 04-12-2017 - 18:08