Định lý 1 : Cho $f(x) = ax + b$ . Nếu tồn tại 2 số thực $a<b$ sao cho $f(a) \ge 0; f(b) \ge 0$ thì $f(x) \ge 0$ (Với mọi $x \in (a,b)$ hoặc $[a,b]$)
Định lý 2 : Cho $f(x) = ax + b$ thì $\min \{f(a),f(b) \}\le f(x) \le \max \{f(a),f(b) \}.\forall x \in [a;b]$
1. Cho $a,b,c,d \in [0,1]$ CMR: $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) + a + b + c + d \ge 1$
Biểu diễn hàm bậc nhất theo biến số $a$ và tham số $b,c,d$ ta có $$f(a)-[1-(1-b)(1-c)(1-d)]a+(1-b)(1-c)(1-d)+b+d+c\ge 1,\forall a,b,c,d\in [0;1]$$
Đồ thị $y=f(a),\forall a\in [0;1]$ là một đoạn thẳng nên $\mathop {Min}\limits_{a \in [0;1]} f(a) = Min\{ f(0);f(1)\} $
Ta có $f(1)=b+c+d+1 \ge 1,\forall b,c,d \in [0;1]$
$f(0)=(1-b)(1-c)(1-d)+b+d+c \iff g(b)=[1-(1-c)(1-d)]b+(1-c)(1-d)+c+d$
Đồ thị $y=g(b),\forall b \in [0;1]$ là một đoạn thẳng nên $\mathop {Min}\limits_{b \in [0;1]} f(b) = Min\{ f(0);f(1)\} $
Ta có $g(1)=c+d+1 \ge 1;g(0)=(1-c)(1-d)+c+d =1+cd\ge 1$
Nên $f(0)=g(b)\ge 1 ,\forall b \in [0;1]$ Vậy $f(a) \ge 1$ hay ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 20-11-2012 - 15:39