Bài toán :
Ta bắt đầu với một số nguyên dương nào đấy , số này được tác động bởi $2$ toán tử sau đây : Tách chữ số hàng đơn vị của nó rồi đem nhân chữ số này cho $4$, đem tích cộng với phần còn lại của số đã cho ( Ví dụ : $1997$ biến thành : $7*4+199=227$) . Thực hiện lặp đi lặp lại toán tử này . Chứng minh rằng nếu trong dãy các số thu được có chứa số $1001$ thì không có số nào trong các số của dãy là số nguyên tố .
Chứng minh rằng nếu trong dãy các số thu được có chứa số $1001$ thì không có số nào trong các số của dãy là số nguyên tố .
#1
Posted 15-08-2011 - 10:37
- nhungvienkimcuong and nloan2k1 like this
#2
Posted 23-09-2015 - 02:13
Bài toán :
Ta bắt đầu với một số nguyên dương nào đấy , số này được tác động bởi $2$ toán tử sau đây : Tách chữ số hàng đơn vị của nó rồi đem nhân chữ số này cho $4$, đem tích cộng với phần còn lại của số đã cho ( Ví dụ : $1997$ biến thành : $7*4+199=227$) . Thực hiện lặp đi lặp lại toán tử này . Chứng minh rằng nếu trong dãy các số thu được có chứa số $1001$ thì không có số nào trong các số của dãy là số nguyên tố .
Xét những số nhận được trước số 1001 trong dãy, Ta có
gọi: $\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$ là số nhận được liền trước 1001 (0 $\leq $ $a_{1};a_{2};...;a_{n} $ $\leq$ 9 , $a_{1};a_{2}...a_{n}$ $\in $ $\mathbb{N}$ )
=> $\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}}$ + 4.$a_{n}$ = 1001
<=> 10.$\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}}$ + 40.$a_{n}$ = 10010
<=> $\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$ + 39.$a_{n}$ = 10010 (1)
mà 10010 $\vdots$ 13 (2)
39 $\vdots$ 13 => 39.$a_{n}$ $\vdots$ 13 (3)
Từ (1),(2) và (3) => $\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$ $\vdots$ 13 (4)
nếu $\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$ $\leq$ 1001 => 39.$a_{n}$ $\geq$ 10010-1001 <=> $a_{n}$ $\geq$ 231 (vô lý)
=> $\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$ $>$ 1001 $>$ 13 (5)
Từ (4),(5) => $\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$ không là số nguyên tố
gọi: $\bar{b_{1}b_{2}...b_{k-1}b_{k}}$ là số nhận được liền trước $\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$ (0 $\leq $ $b_{1};b_{2};...;b_{n} $ $\leq$ 9 , $b_{1};b_{2}...b_{n}$ $\in $ $\mathbb{N}$ )
=> $\bar{b_{1}b_{2}...b_{k-1}}$ + 4.$b_{k}$ = $\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$
<=> 10. $\bar{b_{1}b_{2}...b_{k-1}}$ + 40.$b_{k}$ = 10.$\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$
<=> $\bar{b_{1}b_{2}...b_{k-1}b_{k}} + 39.b_{k}$ = 10.$\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$ (7)
mà $\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$ $\vdots$ 13 (cmt) => 10.$\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$ $\vdots$ 13 (8)
39 $\vdots$ 13 => 39.b_{k} $\vdots$ 13 (9)
Từ (7),(8) và (9) => $\bar{b_{1}b_{2}...b_{k-1}b_{k}}$ $\vdots$ 13 (10)
c/m tương tự c/m (5) ta được $\bar{b_{1}b_{2}...b_{k-1}b_{k}}$ $>$ 1001 $>$ 13 (11)
Từ (10) và (11) => $\bar{b_{1}b_{2}...b_{k-1}b_{k}}$ không là số nguyên tố
C/m tương tự trên ta được: những số nhận trước 1001 trong dãy đều không là số nguyên tố (*)
Xét những số nhận được sau 1001 trong dãy, Ta có:
1.4 + 100 = 104= 23.13 _ không là số nguyên tố
4.4 + 10 = 26 = 2.13 _ không là số nguyên tố
6.4 + 2 = 26 = 2.13 _ không là số nguyên tố
tiếp tục ta vẫn nhận được số 26
Vậy những số nhận sau 1001 trong dãy không là số nguyên tố (**)
Ta có: 1001= 7.11.13 _ không là số nguyên tố (***)
Từ (*),(**),(***) suy ra đpcm.
Edited by ffyyytt, 23-09-2015 - 11:17.
- chanhquocnghiem, Belphegor Varia, O0NgocDuy0O and 4 others like this
#3
Posted 02-10-2015 - 07:50
Xét dãy được tạo theo các toán tử trên $a_{0},a_{1},...,a_{n}$. Tacó
$a_{k}=\frac{a_{k-1}-b_{k-1}}{10}+4b_{k-1}$ (1).Trong đó $b_{k-1}$là chữ số tận cùng của $a_{k-1}
Từ (1) $\Rightarrow 10a_{k}=a_{k-1}+39b_{k-1}$ (2)
Vì 39 chia hết cho 13 cho nên từ (2) $a_{k}\vdots 13 \Leftrightarrow a_{k-1}\vdots 13$ (3)
Vậy theo(3) nếu trong daỹ tồn tại một số chia hết cho 13 thì tất cả các các số của daỹ đều chia hết cho 13. Theo đề bài trong daỹ có chứa số 1001 chia hết cho 13 nên toàn bộ các số của daỹ đều chia hết cho 13 (Đpcm)
- hxthanh and nhungvienkimcuong like this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users