Chủ đề này có 1 trả lời

[everlasting]

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH; D, E, F là giao các đường phân giác của tam giác ABC, HAB, HAC.
Chứng minh: AD vuông góc EF

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 15-08-2011 - 17:22

[Hưng Phạm]

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH; D, E, F là giao các đường phân giác của tam giác ABC, HAB, HAC.
Chứng minh: AD vuông góc EF

Gọi K là giao điểm AD và EF
Ta có 3 hình vẽ đồng dạng với nhau (dễ chứng minh)
D,E,F lần lượt là giao 3 đường phân giác của 3
$\Rightarrow \dfrac{HE}{HF} = \dfrac{AB}{AC}$ (nhìn vào hình 3 đồng dạng)
$\Rightarrow \vartriangle HEF \sim \vartriangle ABC$ (có sẵn $\angle BAC = \angle EHF = 90^o$)
$\Rightarrow \angle HFE = \angle ACB$
Ta có:
$\angle HFC = \angle ADC = 180^o - \dfrac{\angle BAC+\angle BCA}{2} = 90 + \dfrac{\angle ABC}{2}$
(nhìn vào hình 3 đồng dạng)
$\angle HFD = 180^o - \angle HFC = 90^o - \dfrac{\angle ABC}{2}$
$\angle DFK = \angle HFD - \angle HFE = \angle HFD - \angle ACB = 90^o - \dfrac{\angle ABC}{2} - \angle ACB $
$= (90^o-\angle ACB) - \dfrac{\angle ABC}{2} \Leftrightarrow \angle DFK = \dfrac{\angle ABC}{2}$
Lại có:
$\angle ADC = \angle DKF + \angle DFK$
$\Leftrightarrow \angle DKF = \angle ADC - \angle DFK = \left\( {90^o + \dfrac{\angle ABC}{2}} \right\) - \left\( {\dfrac{\angle ABC}{2}} \right\) = 90^o$
Vậy AD EF

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hưng Phạm: 15-08-2011 - 22:11