Chủ đề này có 1 trả lời

[MyLoVeForYouNMT]

Cho $ \Delta ABC $ vuông tại . Từ 1 điểm $ O $ nằm trong tam giác vẽ $ OD\perp BC; OE\perp CA; OF\perp AB $. Hãy xác định vị trí của điểm $O $ để
$ OD^{2} + OE^{2} + OF^{2} $ nhỏ nhất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thatlong_anh_xinloi_em: 16-08-2011 - 19:45

[javier]

Cho $ \Delta ABC $ vuông tại . Từ 1 điểm $ O $ nằm trong tam giác vẽ $ OD\perp BC; OE\perp CA; OF\perp AB $. Hãy xác định vị trí của điểm $O $ để
$ OD^{2} + OE^{2} + OF^{2} $ nhỏ nhất

*Từ A kẻ đường cao AH của $\Delta ABC$
*Ta có $AEOF$ là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông) nên $OA=EF$ (t/c)
* $\Delta OEF$ vuông tại O $\Rightarrow OE^{2} + OF^{2} = EF^{2} = OA^{2}$ (đ/l Pythagore)
$ \Rightarrow OD^{2} + OE^{2} + OF^{2} = OD^{2} + OA^{2} $
*Ta dễ dàng cm các bđt sau:
$ OD^{2} + OA^{2} \geq \dfrac{1}{2}.(OD+OA)^{2} = \dfrac{1}{2}.AD^{2} $. Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow OA=OD$
$ \dfrac{1}{2}.AD^{2} \geq \dfrac{1}{2}.AH^{2} $ (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)
*Vậy $ OD^{2} + OE^{2} + OF^{2} = OD^{2} + OA^{2} \geq \dfrac{1}{2}.AH^{2} $ (hằng số)
Vậy ... đạt giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow OA=OD, O \in AD$ và $D \equiv H \Leftrightarrow$ O là trung điểm AH.

Mod:Xài Latex đầy đủ trong bài viết.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 27-08-2011 - 20:33