Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm điểm M


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Hưng Phạm

Hưng Phạm

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết
Bài 1: Cho tứ giác ABCD, tìm điểm M sao cho: MA + MB + MC + MD có GTNN (dễ)
Bài 2: Cho :pi ABC, tìm điểm M sao cho: MA + MB + MC có GTNN (hay)
Nếu chúng ta biết rằng chúng ta đang làm gì, thì công việc đó đã không còn được gọi là nghiên cứu

#2
javier

javier

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Bài 1: Cho tứ giác ABCD, tìm điểm M sao cho: MA + MB + MC + MD có GTNN (dễ)
Bài 2: Cho :in ABC, tìm điểm M sao cho: MA + MB + MC có GTNN (hay)

Bài 2 nhé, bài 1 dễ khỏi làm :in
*Bên ngoài $ \vartriangle ABC $ lấy điểm D sao cho $ \vartriangle BCD $ đều.
*Áp dụng bđt Ptolemeé cho tứ giác MBCD, ta có MB.CD + MC.CD :in MD.BC, lại có BC=BD=CD (do $ \vartriangle BCD $ đều)
:Rightarrow MB + MC :in MD (đẳng thức xảy ra :in MBCD nội tiếp đường tròn)
:Rightarrow MB+MC+MA :in MD+MA :pi AD (bất đẳng thức tam giác), mà A,D cố định :Rightarrow AD là hằng số
*Dấu bằng xảy ra :Leftrightarrow MBCD nội tiếp đường tròn và A,M,D thẳng hàng
*Vậy MA+MB+MC nhỏ nhất :Leftrightarrow $ \angle BMC = 60 độ $ và M :in AD

#3
Hưng Phạm

Hưng Phạm

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Bài 2 nhé, bài 1 dễ khỏi làm :in
*Bên ngoài $ \vartriangle ABC $ lấy điểm D sao cho $ \vartriangle BCD $ đều.
*Áp dụng bđt Ptolemeé cho tứ giác MBCD, ta có MB.CD + MC.BD :in MD.BC, lại có BC=BD=CD (do $ \vartriangle BCD $ đều)
:Rightarrow MB + MC :in MD (đẳng thức xảy ra :in MBCD nội tiếp đường tròn)
:Rightarrow MB+MC+MA :in MD+MA :pi AD (bất đẳng thức tam giác), mà A,D cố định :Rightarrow AD là hằng số
*Dấu bằng xảy ra :Leftrightarrow MBCD nội tiếp đường tròn và A,M,D thẳng hàng
*Vậy MA+MB+MC nhỏ nhất :Leftrightarrow $ \angle BMC = 60 độ $ và M :in AD

BĐT Ptolemee' được chứng minh cho trường hợp tứ giác lồi, vậy còn trường hợp tứ giác MBCD như hình thì áp dụng còn đúng không? (theo mình là không, nếu bạn không đồng ý thì hãy chứng minh)

Đề bài của mình không cò điều kiện gì về điểm M, nó nằm đâu cũng được.
Bài giải bạn chỉ đúng khi đề là: "Tìm điểm M sao cho tứ giác MBCD là tứ giác lồi và MA+MB+MC nhỏ nhất" - đây không phải đề bài của mình, đề của mình ở bên trên cùng topic kia

Nói về đáp án: đáp án bạn không đúng, MD+MA = AD <=> M nằm trên ĐOẠN AD (M,A,D thẳng hàng thôi chưa đủ)
đường tròn ngoại tiếp :in BCD liệu có cắt ĐOẠN AD không?

Hình gửi kèm

  • Untitled.png

Nếu chúng ta biết rằng chúng ta đang làm gì, thì công việc đó đã không còn được gọi là nghiên cứu

#4
javier

javier

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

BĐT Ptolemee' được chứng minh cho trường hợp tứ giác lồi, vậy còn trường hợp tứ giác MBCD như hình thì áp dụng còn đúng không? (theo mình là không, nếu bạn không đồng ý thì hãy chứng minh)

Đề bài của mình không cò điều kiện gì về điểm M, nó nằm đâu cũng được.
Bài giải bạn chỉ đúng khi đề là: "Tìm điểm M sao cho tứ giác MBCD là tứ giác lồi và MA+MB+MC nhỏ nhất" - đây không phải đề bài của mình, đề của mình ở bên trên cùng topic kia

Nói về đáp án: đáp án bạn không đúng, MD+MA = AD <=> M nằm trên ĐOẠN AD (M,A,D thẳng hàng thôi chưa đủ)
đường tròn ngoại tiếp :pi BCD liệu có cắt ĐOẠN AD không?

Xin lỗi, mình viết nhầm, tứ giác MBDC chứ không phải MBCD. Theo mình thì đề đúng phải là "tìm điểm M trong tam giác ABC sao cho MA+MB+MC bé nhất" (đây là bài toán về điểm Toriceli) còn tìm M bất kỳ như đề của bạn thì bạn làm thử xem, mình không biết làm.

#5
Hưng Phạm

Hưng Phạm

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Xin lỗi, mình viết nhầm, tứ giác MBDC chứ không phải MBCD. Theo mình thì đề đúng phải là "tìm điểm M trong tam giác ABC sao cho MA+MB+MC bé nhất" (đây là bài toán về điểm Toriceli) còn tìm M bất kỳ như đề của bạn thì bạn làm thử xem, mình không biết làm.

Mình có úp hình mà bạn, bạn hãy nhìn hình đi, tứ giác bạn sữa tên vẫn chẳng khá hơn tí nào

Bạn vẫn chưa thấy chỗ sai sao?
thứ nhất: nếu bạn xét tứ giác có 4 đỉnh là B,C,D,M thì luôn tồn tại 1 vùng của điểm M làm cho tứ giác đó không là tứ giác lồi => hướng giải bằng Ptolemee' gì đó "bó tay"
thứ hai: điều kiện dấu bằng của bạn là MD+MA = AD <=> M nằm trên ĐOẠN AD (M,A,D thẳng hàng thôi chưa đủ)
đường tròn ngoại tiếp :in BCD liệu có cắt ĐOẠN AD không?

Đề bài của mình vẫn không thay đổi, M vẫn cứ bất kì, còn muốn "đưa" nó vào miền :in ABC thì chỉ 1 thủ thuật đơn giản thôi:
-Nếu M nằm ngoài mặt phẳng (ABC) ta luôn chỉ được điểm M' thuộc (ABC) "tối ưu" hơn M
-Nếu M' nằm trong (ABC) và ngoài miền :pi ABC ta luôn chỉ được điểm M'' thuộc miền :in ABC "tối ưu" hơn M'

(chỉ như thế nào chắc không phải viết ra đâu nhỉ?)
Bài toán có 2 chỗ "hay" mà bạn làm mình tiếc lộ mất 1 chỗ rồi, hi vọng sẽ có người tìm nốt chỗ hay thứ 2

PS: mình thật sự chẳng biết gì về bài toán Toriceli mà bạn nói
Nếu chúng ta biết rằng chúng ta đang làm gì, thì công việc đó đã không còn được gọi là nghiên cứu

#6
victoranh

victoranh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết

hay


-----Đừng chọn sống an nhàn trong những năm tháng mà bạn "chịu khổ được"-----





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh