Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
share_knowledge

share_knowledge

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
Cho $a,b,c \in(0;1)$. CMR:
$\sqrt{abc} + \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} <1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuonganh_lms: 17-08-2011 - 17:20


#2
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Cho $a,b,c \in \left( {0;1} \right)$. CMR $\sqrt {abc} + \sqrt {\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} \le 1$
Giải:
Do $a,b,c \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow 1 - a,1 - b,1 - c$ là những số dương.
Áp dụng BĐT Côsi ta có

$\sqrt {\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} \le \dfrac{{1 - a + 1 - b + 1 - c}}{3} = 1 - \dfrac{{a + b + c}}{3}$

Mặt khác:

$\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \dfrac{{3\sqrt[3]{{abc}}}}{3} = \sqrt[3]{{abc}} \Rightarrow 1 - \dfrac{{a + b + c}}{3} \le 1 - \sqrt[3]{{abc}} \le 1 - \sqrt {abc} $

Vậy $VT \le \sqrt {abc} + 1 - \sqrt {abc} = 1$ (đpcm)

#3
phuonganh_lms

phuonganh_lms

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết

Cho $a,b,c \in \left( {0;1} \right)$. CMR $\sqrt {abc} + \sqrt {\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} \le 1$
Giải:
Do $a,b,c \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow 1 - a,1 - b,1 - c$ là những số dương.
Áp dụng BĐT Côsi ta có

$\sqrt {\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} \le \dfrac{{1 - a + 1 - b + 1 - c}}{3} = 1 - \dfrac{{a + b + c}}{3}$

Mặt khác:

$\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \dfrac{{3\sqrt[3]{{abc}}}}{3} = \sqrt[3]{{abc}} \Rightarrow 1 - \dfrac{{a + b + c}}{3} \le 1 - \sqrt[3]{{abc}} \le 1 - \sqrt {abc} $

Vậy $VT \le \sqrt {abc} + 1 - \sqrt {abc} = 1$ (đpcm)

$a,b,c \in (0,1)$ nên ko thể xảy ra dấu = được

$a,b,c \in (0,1)$ nên ko thể xảy ra dấu = được

Xusint:Thanks :pi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 17-08-2011 - 21:31

Hình đã gửi


#4
Audition

Audition

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết

Cho $a,b,c \in \left( {0;1} \right)$. CMR $\sqrt {abc} + \sqrt {\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} \le 1$
Giải:
Do $a,b,c \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow 1 - a,1 - b,1 - c$ là những số dương.
Áp dụng BĐT Côsi ta có

$\sqrt {\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} \le \dfrac{{1 - a + 1 - b + 1 - c}}{3} = 1 - \dfrac{{a + b + c}}{3}$

Mặt khác:

$\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \dfrac{{3\sqrt[3]{{abc}}}}{3} = \sqrt[3]{{abc}} \Rightarrow 1 - \dfrac{{a + b + c}}{3} \le 1 - \sqrt[3]{{abc}} \le 1 - \sqrt {abc} $

Vậy $VT \le \sqrt {abc} + 1 - \sqrt {abc} = 1$ (đpcm)


Cái này là căn bậc 2 sao bạn dùng AM-GM 3 số được bạn

Bài này điểm rơi của nó là $a = b = c = \dfrac{1}{3}$ hoặc $a = b = c = \dfrac{2}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 17-08-2011 - 21:32


#5
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

cái này là căn bậc 2 sao bạn dùng AM-GM 3 số được bạn

Từ đkiện của a, b, c ta có thể dùng thế mà. $x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow \sqrt[3]{x} > \sqrt x $




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh