Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 21 trả lời

#1 Minh Dao

Minh Dao

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 17-08-2011 - 17:10

Có ai biết về kỹ năng cân bằng các đại lượng ( hệ số ) khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM), các bạn em nói nên sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi kết hợp với kỹ thuật dự đoán khi dấu "=" xảy ra nhưng em vẫn không hiểu cho lắm. Có ai rành về kỹ năng cân bằng thì xin giúp đỡ cặn kẽ (p/s: Em chỉ mới học lớp 9 nên xin các anh chị vui lòng giảng dễ hiểu )

#2 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 17-08-2011 - 17:13

Có ai biết về kỹ năng cân bằng các đại lượng ( hệ số ) khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM), các bạn em nói nên sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi kết hợp với kỹ thuật dự đoán khi dấu "=" xảy ra nhưng em vẫn không hiểu cho lắm. Có ai rành về kỹ năng cân bằng thì xin giúp đỡ cặn kẽ (p/s: Em chỉ mới học lớp 9 nên xin các anh chị vui lòng giảng dễ hiểu )

Tham khảo cái này: File gửi kèm  _Chuyen_de_Chon_Diem_Roi_Trong_Baitoan_Cuctri.pdf   266.05K   3216 Số lần tải

#3 Minh Dao

Minh Dao

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 17-08-2011 - 18:08

Mình vẫn down bình thường mà. Bạn cho mail rồi mình gửi nha

yahoo mail của em là: [email protected]

#4 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 17-08-2011 - 19:31

Diễn đàn bây giờ có đôi lỗi về việc tải file nên các bạn thông cảm, tốt nhất hãy up lên Mediafire rồi đưa link lên đây.
“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#5 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 17-08-2011 - 21:06

Mình vẫn chưa nhận được Email của bạn

Bạn có thể tải về ở đây: KY THUAT CHON DIEM ROI CT
Link MediaFire đó bạn.

#6 Minh Dao

Minh Dao

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 18-08-2011 - 18:39

Đôi lúc mình thấy mọi ngừơi còn sử dụng sơ đồ điểm rơi khi làm Bài tập về chuyên đề Chọn điểm rơi nữa. Nhưng cái phần sơ đồ điểm rơi thì mình vẫn chưa hiểu được. Bạn giúp mình phần này được không

#7 CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-08-2011 - 20:10

Đôi lúc mình thấy mọi ngừơi còn sử dụng sơ đồ điểm rơi khi làm Bài tập về chuyên đề Chọn điểm rơi nữa. Nhưng cái phần sơ đồ điểm rơi thì mình vẫn chưa hiểu được. Bạn giúp mình phần này được không

Em có thể hiểu đơn giản như thế này:

1/ Khi nhìn vào đề của một bài toán BĐT thì em dự đoán đẳng thức của bài toán xảy ra khi các biến số bằng mấy được không? (Thông thường bước này là mò mẫm và kết quả nhận được khi các biến nhận giá trị bằng nhau). Hoặc nhìn vào điều kiện bài toán em cũng sẽ tìm ra được các giá trị của các biến làm cho điều kiện xảy ra.
=> Các giá trị đó người ta thường gọi chúng là "điểm rơi"!

2/ Khi sử dụng AG thì đẳng thức xảy ra khi A = B = C. Điều này cho phép em điều chỉnh hệ số của lượng giá trị mà em cộng thêm vào (để sử dụng AG) sao cho các đại lượng mà em sử dụng AG phải bằng nhau!
Hiểu không vậy?

Ví dụ:
Cho x, y dương. Chứng minh: $(1+x)(1+\dfrac{y}{x})(1+\dfrac{9}{\sqrt{y}})^2 \ge 256$

+ Bây giờ anh em mình cùng mò nhé, xem thử VT bằng với 256 khi nào đây?
Vp là 256 chính là 4.4.4.4, mà VT là tích của 4 số hạng nên ta dự đoán các số hạng bên VT đều bằng 4, tức là x = 3, y = 9
Thử lại thấy đúng. Vậy x = 3, y = 9 là điểm rơi

+ Bây giờ ta điều chỉnh để sử dụng AG nè:
Nếu ta ghi $1+x \ge 2\sqrt{x}$ thì dấu đẳng thức không thể xảy ra vì điểm rơi x = 3 nên 1 = x không đươc!
Vậy ta phải tách như sau: $1+x=1+\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{3}\ge 4\sqrt[4]{\dfrac{x^3}{27}}$
Tương tự em có thể dễ dàng ghi được:
$1+\dfrac{y}{x}=1+\dfrac{y}{3x}+\dfrac{y}{3x}+\dfrac{y}{3x} \ge 4\sqrt[4]{\dfrac{y^3}{27x^3}}$
Tương tạ cho biểu thức còn lại và nhân các vế của các BĐT con đó em sé có điều chứng minh

Đây là diễn giải đơn giản nhất về điểm rơi rồi đó!
Chúc em học tốt!

;)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongtroi: 18-08-2011 - 20:15


#8 Minh Dao

Minh Dao

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 18-08-2011 - 20:22

cảm ơn anh nhưng em có điều muốn hỏi thêm là: nếu trong một bài cực trị thì mình đâu biết giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của Biểu thức vì vậy sao mình làm được cách như anh chỉ. Ngoài ra em còn muốn hỏi thêm là nếu Vế phải là một biểu thức khác thì mình phải làm sao

#9 CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-08-2011 - 20:27

Hỏi chung chung quá biết đường đâu mà trả lời nhóc! Đọc nhiều sách vào........và tự suy ngẫm vậy! Nhưng điểm rơi thường là các giá trị đặc biệt hoặc khi các biến bằng nhau!
;)

#10 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 18-08-2011 - 20:27

cảm ơn anh nhưng em có điều muốn hỏi thêm là: nếu trong một bài cực trị thì mình đâu biết giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của Biểu thức vì vậy sao mình làm được cách như anh chỉ. Ngoài ra em còn muốn hỏi thêm là nếu Vế phải là một biểu thức khác thì mình phải làm sao

Nếu vế phải là một biểu thức khác thì bạn có thể chuyển vế và làm tương tự như trên. Cũng có thể đánh giá ngay.
Các bài BĐT thường đạt cực trị khi các biến bằng nhau hoặc một số biến bằng nhau, cực trị đạt tại biên.... Bạn làm nhiều rôìi sẽ quen với việc chọn điểm rơi này!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 18-08-2011 - 22:11

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#11 Minh Dao

Minh Dao

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 18-08-2011 - 21:54

nhưng mà anh có thể cho em mấy cái ví dụ về việc sử dụng bất đẳng khi có biểu thức ở vế trái và vế phải không(sử dụng việc chọn điểm rơi ấy) ? Để em hiểu rõ việc chọn điểm rơi hơn được không ?

#12 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 18-08-2011 - 22:09

nhưng mà anh có thể cho em mấy cái ví dụ về việc sử dụng bất đẳng khi có biểu thức ở vế trái và vế phải không(sử dụng việc chọn điểm rơi ấy) ? Để em hiểu rõ việc chọn điểm rơi hơn được không ?

Đây. Ví dụ cho em một bài như thế này.
Cho $x,y,z \ge 1$. Chứng minh rằng:

$\dfrac{{{x^3}}}{{(1 + y)(1 + z)}} + \dfrac{{{y^3}}}{{(1 + x)(1 + z)}} + + \dfrac{{{z^3}}}{{(1 + y)(1 + y)}} \ge \dfrac{{x + y + z}}{2} - \dfrac{3}{4}$
Bài giải

Bằng cách chọn điểm rơi $x=y=z=1$ ta có đánh giá sau:

$\dfrac{{{x^3}}}{{(1 + y)(1 + z)}} + \dfrac{{1 + y}}{8} + \dfrac{{1 + z}}{8} \ge \dfrac{{3x}}{4}$

Làm tương tự với 2 biểu thức còn lại ta được:

$\dfrac{{{y^3}}}{{(1 + x)(1 + z)}} + \dfrac{{1 + x}}{8} + \dfrac{{1 + z}}{8} \ge \dfrac{{3y}}{4}$

$\dfrac{{{z^3}}}{{(1 + x)(1 + y)}} + \dfrac{{1 + x}}{8} + \dfrac{{1 + y}}{8} \ge \dfrac{{3z}}{4}$

Cộng 3 BĐT cùng chiều ta được đpcm.

Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1$

P/s:Còn thắc mắc gì nữa không em? Cậu này ham học hỏi thật!

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#13 Minh Dao

Minh Dao

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 18-08-2011 - 22:34

Anh ơi cho em hỏi là tại sao anh lại chọn $ \dfrac{{1 + x}}{8} + \dfrac{{1 + z}}{8} $ mà không sử dụng số khác, anh có bí quyết nào để tìm ra được những số đó hay những số này là do anh làm nhiều nên có kinh nghiệm rồi

#14 CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-08-2011 - 22:44

Anh ơi cho em hỏi là tại sao anh lại chọn $ \dfrac{{1 + x}}{8} + \dfrac{{1 + z}}{8} $ mà không sử dụng số khác, anh có bí quyết nào để tìm ra được những số đó hay những số này là do anh làm nhiều nên có kinh nghiệm rồi

Đó là "điểm rơi" đó em!
Vì x = y = z = 1 nên khi sử dụng AG thì phải làm cho các số hạng bằng nhau (em phải để ý và phải thấy thấy tất cả đều là $\dfrac{1}{4}$)

#15 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 18-08-2011 - 22:47

Anh ơi cho em hỏi là tại sao anh lại chọn $ \dfrac{{1 + x}}{8} + \dfrac{{1 + z}}{8} $ mà không sử dụng số khác, anh có bí quyết nào để tìm ra được những số đó hay những số này là do anh làm nhiều nên có kinh nghiệm r�ồi

Ấy không. Anh không làm nhiều gì đâu. Dùng cân bằng hệ số ( chọn điểm rơi) mà.
Đầu tiên dự đoán dấu ''='' xảy ra tại $x=y=z=1$
Ý tưởng làm mất
$(y+1);(z+1)$ ở mẫu nên ta cộng thêm 1 lượng $(y+1);(z+1)$ như sau:
$\dfrac{{{x^3}}}{{(y + 1)(z + 1)}} + \dfrac{{y + 1}}{\alpha } + \dfrac{{z + 1}}{\alpha }$
Với đánh giá bằng BĐT AM-GM thì dấu bằng của BĐT AM-GM xảy ra khi :

$\dfrac{{{x^3}}}{{(y + 1)(z + 1)}} = \dfrac{{y + 1}}{\alpha } = \dfrac{{z + 1}}{\alpha }$
Mặt khác ta dự đoán được : $x=y=z=1$ nên ta thay $x=y=z=1$ vào để tìm $\alpha $
Ta có:

$\dfrac{{{1^3}}}{{(1 + 1)(1 + 1)}} = \dfrac{{1 + 1}}{\alpha } \Rightarrow \alpha = 8$
Như vậy đấy.Không có gì đâu em ạ. Em có thể hiểu rõ hơn khi làm 3 ví dụ rất đơn giản sau:

VD1: Cho $a>0$. TÌm Min của
$P = a + \dfrac{1}{a}$

VD2: Cho$ a \ge 3 $. TÌm Min của:

$P = a + \dfrac{1}{a}$

VD3:Cho $a \ge 2$.Tìm Min của:

$P = a + \dfrac{1}{{{a^2}}}$
Chúc em thành công!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 18-08-2011 - 22:49

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#16 NguyThang khtn

NguyThang khtn

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1465 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1 K46 Tổng hợp

Đã gửi 19-08-2011 - 11:43

Còn bài này thì ta AM-GM sao đây!(Hehehe)
Cho a,b,c >0. và abc=1,CMR:
$ \sum\limits_{cyc} \dfrac{1}{a^3(a+c)(c+b)}\geq \dfrac{3}{4} #$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 19-08-2011 - 11:44

It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow

 


#17 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 19-08-2011 - 12:06

Còn bài này thì ta AM-GM sao đây!(Hehehe)
Cho a,b,c >0. và abc=1,CMR:
$ \sum\limits_{cyc} \dfrac{1}{a^3(a+c)(c+b)}\geq \dfrac{3}{4} #$

Đặt $x = \dfrac{1}{a};\,\,y = \dfrac{1}{b};\,\,z = \dfrac{1}{c}\, \Leftrightarrow xyz = 1$
Khi đó: BĐT $\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\dfrac{{x^3 }}{{\left( {x + z} \right)\left( {z + y} \right)}}} \ge \dfrac{3}{4}$
Đến đây thì có thể áp dụng AM-GM được rồi với chú ý dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z = 1 \Leftrightarrow a = b = c = 1$.


#18 NguyThang khtn

NguyThang khtn

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1465 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1 K46 Tổng hợp

Đã gửi 19-08-2011 - 12:09

Liệu bài này có thể tổng quát được thành!
$\sum \dfrac{1}{a^k(a+c)(c+a)} \geq \dfrac{3}{4}#$

It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow

 


#19 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 19-08-2011 - 20:18

Còn bài này thì ta AM-GM sao đây!(Hehehe)
Cho a,b,c >0. và abc=1,CMR:
$ \sum\limits_{cyc} \dfrac{1}{a^3(a+c)(c+b)}\geq \dfrac{3}{4} #$

Bài này trên toán học tuổi trẻ phải hông vậy :in
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#20 Minh Dao

Minh Dao

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 20-08-2011 - 18:28

em thấy trên trang web http://www.scribd.co...-Bunhia#archive có bài viết về BĐT Côsi rất hay nhưng em không thể nào download được. Nếu ai có bài giống như bài trên trang web đó thì cho em xin với, em đang rất cần nó.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh