Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)
#1
Đã gửi 17-08-2011 - 17:10
#2
Đã gửi 17-08-2011 - 17:13
Tham khảo cái này: _Chuyen_de_Chon_Diem_Roi_Trong_Baitoan_Cuctri.pdf 266.05K 3244 Số lần tảiCó ai biết về kỹ năng cân bằng các đại lượng ( hệ số ) khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM), các bạn em nói nên sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi kết hợp với kỹ thuật dự đoán khi dấu "=" xảy ra nhưng em vẫn không hiểu cho lắm. Có ai rành về kỹ năng cân bằng thì xin giúp đỡ cặn kẽ (p/s: Em chỉ mới học lớp 9 nên xin các anh chị vui lòng giảng dễ hiểu )
#3
Đã gửi 17-08-2011 - 18:08
#4
Đã gửi 17-08-2011 - 19:31
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#5
Đã gửi 17-08-2011 - 21:06
Bạn có thể tải về ở đây: KY THUAT CHON DIEM ROI CTMình vẫn chưa nhận được Email của bạn
Link MediaFire đó bạn.
#6
Đã gửi 18-08-2011 - 18:39
#7
Đã gửi 18-08-2011 - 20:10
Em có thể hiểu đơn giản như thế này:Đôi lúc mình thấy mọi ngừơi còn sử dụng sơ đồ điểm rơi khi làm Bài tập về chuyên đề Chọn điểm rơi nữa. Nhưng cái phần sơ đồ điểm rơi thì mình vẫn chưa hiểu được. Bạn giúp mình phần này được không
1/ Khi nhìn vào đề của một bài toán BĐT thì em dự đoán đẳng thức của bài toán xảy ra khi các biến số bằng mấy được không? (Thông thường bước này là mò mẫm và kết quả nhận được khi các biến nhận giá trị bằng nhau). Hoặc nhìn vào điều kiện bài toán em cũng sẽ tìm ra được các giá trị của các biến làm cho điều kiện xảy ra.
=> Các giá trị đó người ta thường gọi chúng là "điểm rơi"!
2/ Khi sử dụng AG thì đẳng thức xảy ra khi A = B = C. Điều này cho phép em điều chỉnh hệ số của lượng giá trị mà em cộng thêm vào (để sử dụng AG) sao cho các đại lượng mà em sử dụng AG phải bằng nhau!
Hiểu không vậy?
Ví dụ:
Cho x, y dương. Chứng minh: $(1+x)(1+\dfrac{y}{x})(1+\dfrac{9}{\sqrt{y}})^2 \ge 256$
+ Bây giờ anh em mình cùng mò nhé, xem thử VT bằng với 256 khi nào đây?
Vp là 256 chính là 4.4.4.4, mà VT là tích của 4 số hạng nên ta dự đoán các số hạng bên VT đều bằng 4, tức là x = 3, y = 9
Thử lại thấy đúng. Vậy x = 3, y = 9 là điểm rơi
+ Bây giờ ta điều chỉnh để sử dụng AG nè:
Nếu ta ghi $1+x \ge 2\sqrt{x}$ thì dấu đẳng thức không thể xảy ra vì điểm rơi x = 3 nên 1 = x không đươc!
Vậy ta phải tách như sau: $1+x=1+\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{3}\ge 4\sqrt[4]{\dfrac{x^3}{27}}$
Tương tự em có thể dễ dàng ghi được:
$1+\dfrac{y}{x}=1+\dfrac{y}{3x}+\dfrac{y}{3x}+\dfrac{y}{3x} \ge 4\sqrt[4]{\dfrac{y^3}{27x^3}}$
Tương tạ cho biểu thức còn lại và nhân các vế của các BĐT con đó em sé có điều chứng minh
Đây là diễn giải đơn giản nhất về điểm rơi rồi đó!
Chúc em học tốt!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongtroi: 18-08-2011 - 20:15
- BoFaKe, tieuthumeo99, Ending và 1 người khác yêu thích
#8
Đã gửi 18-08-2011 - 20:22
- misschpro yêu thích
#9
Đã gửi 18-08-2011 - 20:27
#10
Đã gửi 18-08-2011 - 20:27
Nếu vế phải là một biểu thức khác thì bạn có thể chuyển vế và làm tương tự như trên. Cũng có thể đánh giá ngay.cảm ơn anh nhưng em có điều muốn hỏi thêm là: nếu trong một bài cực trị thì mình đâu biết giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của Biểu thức vì vậy sao mình làm được cách như anh chỉ. Ngoài ra em còn muốn hỏi thêm là nếu Vế phải là một biểu thức khác thì mình phải làm sao
Các bài BĐT thường đạt cực trị khi các biến bằng nhau hoặc một số biến bằng nhau, cực trị đạt tại biên.... Bạn làm nhiều rôìi sẽ quen với việc chọn điểm rơi này!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 18-08-2011 - 22:11
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
#11
Đã gửi 18-08-2011 - 21:54
#12
Đã gửi 18-08-2011 - 22:09
Đây. Ví dụ cho em một bài như thế này.nhưng mà anh có thể cho em mấy cái ví dụ về việc sử dụng bất đẳng khi có biểu thức ở vế trái và vế phải không(sử dụng việc chọn điểm rơi ấy) ? Để em hiểu rõ việc chọn điểm rơi hơn được không ?
Cho $x,y,z \ge 1$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{{{x^3}}}{{(1 + y)(1 + z)}} + \dfrac{{{y^3}}}{{(1 + x)(1 + z)}} + + \dfrac{{{z^3}}}{{(1 + y)(1 + y)}} \ge \dfrac{{x + y + z}}{2} - \dfrac{3}{4}$
Bài giải
Bằng cách chọn điểm rơi $x=y=z=1$ ta có đánh giá sau:
$\dfrac{{{x^3}}}{{(1 + y)(1 + z)}} + \dfrac{{1 + y}}{8} + \dfrac{{1 + z}}{8} \ge \dfrac{{3x}}{4}$
Làm tương tự với 2 biểu thức còn lại ta được:
$\dfrac{{{y^3}}}{{(1 + x)(1 + z)}} + \dfrac{{1 + x}}{8} + \dfrac{{1 + z}}{8} \ge \dfrac{{3y}}{4}$
$\dfrac{{{z^3}}}{{(1 + x)(1 + y)}} + \dfrac{{1 + x}}{8} + \dfrac{{1 + y}}{8} \ge \dfrac{{3z}}{4}$
Cộng 3 BĐT cùng chiều ta được đpcm.
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1$
P/s:Còn thắc mắc gì nữa không em? Cậu này ham học hỏi thật!
- CelEstE yêu thích
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
#13
Đã gửi 18-08-2011 - 22:34
#14
Đã gửi 18-08-2011 - 22:44
Đó là "điểm rơi" đó em!Anh ơi cho em hỏi là tại sao anh lại chọn $ \dfrac{{1 + x}}{8} + \dfrac{{1 + z}}{8} $ mà không sử dụng số khác, anh có bí quyết nào để tìm ra được những số đó hay những số này là do anh làm nhiều nên có kinh nghiệm rồi
Vì x = y = z = 1 nên khi sử dụng AG thì phải làm cho các số hạng bằng nhau (em phải để ý và phải thấy thấy tất cả đều là $\dfrac{1}{4}$)
#15
Đã gửi 18-08-2011 - 22:47
Ấy không. Anh không làm nhiều gì đâu. Dùng cân bằng hệ số ( chọn điểm rơi) mà.Anh ơi cho em hỏi là tại sao anh lại chọn $ \dfrac{{1 + x}}{8} + \dfrac{{1 + z}}{8} $ mà không sử dụng số khác, anh có bí quyết nào để tìm ra được những số đó hay những số này là do anh làm nhiều nên có kinh nghiệm r�ồi
Đầu tiên dự đoán dấu ''='' xảy ra tại $x=y=z=1$
Ý tưởng làm mất
$(y+1);(z+1)$ ở mẫu nên ta cộng thêm 1 lượng $(y+1);(z+1)$ như sau:
$\dfrac{{{x^3}}}{{(y + 1)(z + 1)}} + \dfrac{{y + 1}}{\alpha } + \dfrac{{z + 1}}{\alpha }$
Với đánh giá bằng BĐT AM-GM thì dấu bằng của BĐT AM-GM xảy ra khi :
$\dfrac{{{x^3}}}{{(y + 1)(z + 1)}} = \dfrac{{y + 1}}{\alpha } = \dfrac{{z + 1}}{\alpha }$
Mặt khác ta dự đoán được : $x=y=z=1$ nên ta thay $x=y=z=1$ vào để tìm $\alpha $
Ta có:
$\dfrac{{{1^3}}}{{(1 + 1)(1 + 1)}} = \dfrac{{1 + 1}}{\alpha } \Rightarrow \alpha = 8$
Như vậy đấy.Không có gì đâu em ạ. Em có thể hiểu rõ hơn khi làm 3 ví dụ rất đơn giản sau:
VD1: Cho $a>0$. TÌm Min của
$P = a + \dfrac{1}{a}$
VD2: Cho$ a \ge 3 $. TÌm Min của:
$P = a + \dfrac{1}{a}$
VD3:Cho $a \ge 2$.Tìm Min của:
$P = a + \dfrac{1}{{{a^2}}}$
Chúc em thành công!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 18-08-2011 - 22:49
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
#16
Đã gửi 19-08-2011 - 11:43
Cho a,b,c >0. và abc=1,CMR:
$ \sum\limits_{cyc} \dfrac{1}{a^3(a+c)(c+b)}\geq \dfrac{3}{4} #$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 19-08-2011 - 11:44
It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow
#17
Đã gửi 19-08-2011 - 12:06
Đặt $x = \dfrac{1}{a};\,\,y = \dfrac{1}{b};\,\,z = \dfrac{1}{c}\, \Leftrightarrow xyz = 1$Còn bài này thì ta AM-GM sao đây!(Hehehe)
Cho a,b,c >0. và abc=1,CMR:
$ \sum\limits_{cyc} \dfrac{1}{a^3(a+c)(c+b)}\geq \dfrac{3}{4} #$
Khi đó: BĐT $\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\dfrac{{x^3 }}{{\left( {x + z} \right)\left( {z + y} \right)}}} \ge \dfrac{3}{4}$
Đến đây thì có thể áp dụng AM-GM được rồi với chú ý dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z = 1 \Leftrightarrow a = b = c = 1$.
#18
Đã gửi 19-08-2011 - 12:09
$\sum \dfrac{1}{a^k(a+c)(c+a)} \geq \dfrac{3}{4}#$
It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow
#19
Đã gửi 19-08-2011 - 20:18
Bài này trên toán học tuổi trẻ phải hông vậyCòn bài này thì ta AM-GM sao đây!(Hehehe)
Cho a,b,c >0. và abc=1,CMR:
$ \sum\limits_{cyc} \dfrac{1}{a^3(a+c)(c+b)}\geq \dfrac{3}{4} #$
#20
Đã gửi 20-08-2011 - 18:28
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh