Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

x^2 + y^2 = z^2


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
  • Sở thích:Grey's Anatomy, Shameless, Game of Thrones

Đã gửi 18-08-2011 - 08:33

Topic này sẽ là nơi lưu trữ và phát triển các kiến thức có liên quan đến bộ số (x; y; z) thỏa mãn:

$x^2 + y^2 = z^2 $

Bài 1 ( Đề thi vào lớp 10 Trường PTNK ĐHQG TP.HCM năm học 2002 - 2003)
Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn phương trình:

$x^2 + y^2 = z^2$

a, Chứng minh rằng trong hai số x, y có ít nhất một số chia hết cho 3.
b, Chứng minh rằng tích xyz chia hết cho 12.

Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#2 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 18-08-2011 - 09:55

Topic này sẽ là nơi lưu trữ và phát triển các kiến thức có liên quan đến bộ số (x; y; z) thỏa mãn:

$x^2 + y^2 = z^2 $

Bài 1 ( Đề thi vào lớp 10 Trường PTNK ĐHQG TP.HCM năm học 2002 - 2003)
Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn phương trình:

$x^2 + y^2 = z^2$

a, Chứng minh rằng trong hai số x, y có ít nhất một số chia hết cho 3.
b, Chứng minh rằng tích xyz chia hết cho 12.

Các công thức tổng quát cho bộ số (x; y; z) hay còn gọi là bộ Pythagore:
Công thức 1:

$x = n,\,\,\,\,y = \dfrac{1}{2}\left( {n^2 - 1} \right),\,\,\,\,z = \dfrac{1}{2}\left( {n^2 + 1} \right)$, với n là số tự nhiên lẻ.

Công thức 2:

$x = 4n,\,\,\,\,y = 4n^2 - 1,\,\,\,\,z = 4n^2 + 1$

Công thức 3:

$x = t\left( {a^2 - b^2 } \right),\,\,\,\,y = 2tab,\,\,\,\,z = t\left( {a^2 + b^2 } \right)$

trong đó, t, a, b là các số nguyên dương bất kì sao cho a > b, a và b không có ước nguyên tố chung và có tính chẵn lẻ khác nhau.
Từ đó, ta có thể giải quyết được bài toán trên.

#3 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4141 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 18-08-2011 - 12:01

Topic này sẽ là nơi lưu trữ và phát triển các kiến thức có liên quan đến bộ số (x; y; z) thỏa mãn:

$x^2 + y^2 = z^2 $

Bài 1 ( Đề thi vào lớp 10 Trường PTNK ĐHQG TP.HCM năm học 2002 - 2003)
Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn phương trình:

$x^2 + y^2 = z^2$

a, Chứng minh rằng trong hai số x, y có ít nhất một số chia hết cho 3.
b, Chứng minh rằng tích xyz chia hết cho 12.

Ta có các nhận xét:
$a^2 \equiv 1\left( {\bmod 3} \right) \vee a^2 \equiv 0\left( {\bmod 3} \right)(1)$
$a^2 \equiv 1\left( {\bmod 4} \right) \vee a^2 \equiv 0\left( {\bmod 4} \right)(2)$
a)Giả sử trong x;y;z không có số nào chia hết cho 3.
Từ (1) nên ta có $x^2 \equiv y^2 \equiv 1(\bmod3)$
Nên $z^2 \equiv 1+1 \equiv 2(\bmod 3)$: vô lý nên ta có đpcm.
b) Tương tự câu a, ta cm được tồn tại 1 số trong x;y;z chia hết cho 4. Vậy ta có đpcm.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#4 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 18-08-2011 - 14:36

Phương trình Pitago là phương trình có dạng

$x^2+y^2=z^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$


Bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn $(1)$ được gọi là bộ ba Pitago.
Rõ ràng nếu $(x,y,z)$ là bộ ba Pitago thì với mọi $d \in \mathbb{N^*}$, $(dx,dy,dz)$ cũng là một bộ ba Pitago. Vì thế, chúng ta chỉ cần tìm các bộ ba Pitago $(x,y,z)$ với $(x,y,z)=1$. Một bộ ba Pitago như vậy gọi là bộ ba Pitago nguyên thuỷ.

Bổ đề 1. Nếu $(x,y,z)$ là bộ ba Pitago nguyên thủy thì $x,y,z$ đôi một nguyên tố cùng nhau. Hơn nữa, $x,y$ không cùng tính chẵn lẻ và $z$ lẻ.

Hãy chứng minh bổ đề này!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 18-08-2011 - 14:38

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#5 hammetoan

hammetoan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết

Đã gửi 18-08-2011 - 20:33

Phương trình Pitago là phương trình có dạng

$x^2+y^2=z^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$


Bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn $(1)$ được gọi là bộ ba Pitago.
Rõ ràng nếu $(x,y,z)$ là bộ ba Pitago thì với mọi $d \in \mathbb{N^*}$, $(dx,dy,dz)$ cũng là một bộ ba Pitago. Vì thế, chúng ta chỉ cần tìm các bộ ba Pitago $(x,y,z)$ với $(x, y, z)=1$. Một bộ ba Pitago như vậy gọi là bộ ba Pitago nguyên thuỷ.

Bổ đề 1. Nếu $(x,y,z)$ là bộ ba Pitago nguyên thủy thì $x,y,z$ đôi một nguyên tố cùng nhau. Hơn nữa, $x,y$ không cùng tính chẵn lẻ và $z$ lẻ.

Hãy chứng minh bổ đề này!


Giải:
Giả sử $( x, y ) > 1$. Nếu p là số nguyên tố, x chia hết cho p, y chia hết cho p thì $x^2 + y^2$ chia hết cho $ p^2$ hay $z^2$ chia hết cho $p^2$. Vậy z chia hết cho p. Trái với đề bài nên $(x, y)=1.$

CMTT $ ( y, z ) = 1, ( x, z ) = 1$
Lại có $ ( x, y ) = 1$ nên x, y ko thể cùng chẵn. Giả sử x, y cùng lẻ.
Khi đó $ x^2 \equiv 1 (mod 4) \Leftrightarrow y^2 \equiv 1 (mod 4) \Rightarrow z^2 \equiv 2 (mod 4)$. Vô lý
Vậy x, y không thể cùng tính chẵn lẻ và z lẻ

Mình xin góp thêm 1 bài :

Bài 2: Bộ ba (x, y, z) là 1 bộ ba Pitago nguyên thủy ( y chẵn) khi và chỉ khi nó có dạng
$x = m^2 - n^2 $
$y = 2mn $
$z = m^2 + n^2 $

(m, n nguyên dương, m > n, ( m, n ) = 1, m, n khác tính chẵn lẻ)

Các bạn cùng thảo luận nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 18-08-2011 - 20:47


#6 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 18-08-2011 - 22:00

Định lí 1. Bộ ba $(x,y,z)$ là bộ ba Pitago nguyên thủy (với $y$ chẵn) nếu và chỉ nếu có dạng

$x=m^2-n^2$
$y=2mn$
$z=m^2+n^2$

trong đó $m,n$ là các số nguyên dương $m>n$, $(m,n)=1$ và $m,n$ khác tính chẵn lẻ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 18-08-2011 - 22:01

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#7 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 19-08-2011 - 13:52

Mở rộng thêm cho bài 1.

Cho x, y, z là các số nguyên dương thỏa mãn phương trình:

$x^2 + y^2 = z^2$

Chứng minh rằng tích xyz chia hết cho 60.



#8 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 19-08-2011 - 14:06

Mở rộng thêm cho bài 1.

Cho x, y, z là các số nguyên dương thỏa mãn phương trình:

$x^2 + y^2 = z^2$

Chứng minh rằng tích xyz chia hết cho 60.

Hướng dẫn: Ta chứng minh trong ba số $x,y,z$ có một số chia hết cho $3$, một số chia hết cho $4$, một số chia hết cho $5$ bằng cách sử dụng tính chất:
_ Một số chính phương chia 3 dư 1 hoặc 0.
_ Một số chính phương chia 4 dư 1 hoặc 0.
_ Một số chính phương chia 5 dư 0, dư 1 hoặc dư 4.

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#9 ToanHocLaNiemVui

ToanHocLaNiemVui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 183 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ninh Bình
  • Sở thích:Naruto, Naruto,..... và chỉ Naruto....!!!

Đã gửi 02-05-2012 - 13:27

Mở rộng thêm cho bài 1.

Cho x, y, z là các số nguyên dương thỏa mãn phương trình:

$x^2 + y^2 = z^2$

Chứng minh rằng tích xyz chia hết cho 60.


Ta có: $60=3.4.5$. Đặt: $A=xyz$.
Nếu $x,y,z$ đều không chia hết cho 3, suy ra: $x^{2},y^{2},z^{2}$ chia 3 đều dư 1. Kết hợp phương trình ban đầu, suy ra: $A\vdots 3$ (1).
Nếu $x,y,z$ đều không chia hết cho 5, suy ra $x^{2},y^{2},z^{2}$ chia 5 dư 1 hoặc 4. Từ đó ta có: $x^{2}+y^{2}$ chia 5 dư $2;0;3$. Do đó có ít nhất 1 số trong 3 số chia hết cho 5. Vậy: $A\vdots 5$ (2).
Nếu $x,y,z$ đều là các số lẻ, suy ra: $x^{2},y^{2}$ chia 4 dư 1. Kết hợp PT ban đầu, ta KL một trong 2 số $x,z$ phải chẵn. G/s $x$ là số chẵn:
Nếu $y$ là 1 số chẵn $\Rightarrow A\vdots 4$.
Nếu $y$ là 1 số lẻ, suy ra $z$ là số lẻ:
$\Rightarrow x^{2}=(z-y)(z+y)\Rightarrow \frac{b^{2}}{4}=(\frac{y+z}{2})(\frac{z-y}{2})$
Suy ra: $\frac{x}{2}$ chẵn. Suy ra: $x\vdots 4$ $\Rightarrow A\vdots 4$ (3).
Từ (1), (2) và (3), suy ra: $A=xyz\vdots 60$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ToanHocLaNiemVui: 02-05-2012 - 13:27

Đừng Sợ Hãi Khi Phải


Đối Đầu Với Một Đối Thủ Mạnh Hơn


Mà Hãy Vui Mừng Vì


Bạn Có Cơ Hội Chiến Đấu Hết Mình!

___________________________________________________________________________

Thào thành viên của

VMF


#10 nguyentrunghieu2208

nguyentrunghieu2208

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết

Đã gửi 10-03-2017 - 23:42

Các công thức tổng quát cho bộ số (x; y; z) hay còn gọi là bộ Pythagore:
Công thức 1:

$x = n,\,\,\,\,y = \dfrac{1}{2}\left( {n^2 - 1} \right),\,\,\,\,z = \dfrac{1}{2}\left( {n^2 + 1} \right)$, với n là số tự nhiên lẻ.

Công thức 2:

$x = 4n,\,\,\,\,y = 4n^2 - 1,\,\,\,\,z = 4n^2 + 1$

Công thức 3:

$x = t\left( {a^2 - b^2 } \right),\,\,\,\,y = 2tab,\,\,\,\,z = t\left( {a^2 + b^2 } \right)$

trong đó, t, a, b là các số nguyên dương bất kì sao cho a > b, a và b không có ước nguyên tố chung và có tính chẵn lẻ khác nhau.
Từ đó, ta có thể giải quyết được bài toán trên.

 

em chào anh ạ, anh ơi, anh có thể giải chi tiết giùm em bài toán sử dụng bộ số pitago này được k ạ anh, tuần tới em thi rồi, em mong sẽ nhận được sự giúp đỡ của anh ạ, em cảm ơn anh ạ



#11 nguyentrunghieu2208

nguyentrunghieu2208

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết

Đã gửi 10-03-2017 - 23:43

Mở rộng thêm cho bài 1.

Cho x, y, z là các số nguyên dương thỏa mãn phương trình:

 

$x^2 + y^2 = z^2$

Chứng minh rằng tích xyz chia hết cho 60.

 

em chào anh ạ, anh ơi, anh có thể giải chi tiết giùm em bài toán sử dụng bộ số pitago này được k ạ anh, tuần tới em thi rồi, em mong sẽ nhận được sự giúp đỡ của anh ạ, em cảm ơn anh ạ






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh