Cho hình thang ABCD. Đáy nhỏ AB trên CD lấy điểm E sao cho $ \dfrac{ED}{CD} = \dfrac{1}{2} $.
Gọi M là giao điểm của AE và BD, N là giao điểm của BE và AC kéo dài MN cắt AD, BC theo thứ tự tại I, K.
1) Chứng minh $ IM=MN=NK $
2) Chứng minh $\dfrac{1}{AB}+\dfrac{2}{CD}=\dfrac{1}{MN}$
1)Cmr: IM=MN=NK
*Áp dụng hệ quả đ/l Thales cho:
ABM có AB//DE ta có $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{AM}{ME}$
ABN có AB//EC ta có $\dfrac{AB}{EC} = \dfrac{BN}{NE}$
Lại có DE=EC
$\dfrac{AM}{ME} = \dfrac{BN}{NE}$
MN//AB
IK//AB
*Áp dụng hệ quả đ/l Thales cho:
ADE có IM//DE ta có $\dfrac{IM}{DE} = \dfrac{AM}{AE}$
AEC có MN//EC ta có $\dfrac{MN}{EC} = \dfrac{AM}{AE}$
BEC có NK//EC ta có $\dfrac{NK}{EC} = \dfrac{BN}{BE}$
ABE có MN//AB ta có $\dfrac{AM}{AE} = \dfrac{BN}{BE}$
Lại có DE=EC
đpcm
2) Chứng minh $\dfrac{1}{AB}+\dfrac{2}{CD}=\dfrac{1}{MN}$
*$\dfrac{1}{AB}+\dfrac{2}{CD}=\dfrac{1}{MN}$
$\dfrac{MN}{AB}+\dfrac{2MN}{CD}=1$
$\dfrac{MN}{AB}+\dfrac{2MN}{2DE}=1$
$\dfrac{MN}{AB}+\dfrac{MN}{DE}=1$ (1)
*Áp dụng hệ quả đ/l Thales cho:
ABE có MN//AB ta có $\dfrac{MN}{AB} = \dfrac{EN}{BE}$
BDE có MN//DE ta có $\dfrac{MN}{DE} = \dfrac{BN}{BE}$
Vậy ta có $\dfrac{MN}{AB}+\dfrac{MN}{DE}=\dfrac{EN}{BE}+\dfrac{BN}{BE}=1$ (2)
*Do (1) là phép biến đổi tương đương (hai chiều) nên kết hợp với (2) ta có Q.E.D