Cho x+y+z=2
Chứng minh $\sqrt {x^2 + \dfrac{1}{{x^2 }}} + \sqrt {y^2 + \dfrac{1}{{y^2 }}} + \sqrt {z^2 + \dfrac{1}{{z^2 }}} \ge \dfrac{{\sqrt {97} }}{2}$
Chứng minh 1 bài bất đẳng thức lớp 9!
Bắt đầu bởi Dieu Ha, 21-08-2011 - 21:47
#1
Đã gửi 21-08-2011 - 21:47
#2
Đã gửi 21-08-2011 - 21:57
Có một bài tương tự đã đưa ra. Bạn có thể xem ở đây: http://diendantoanho...showtopic=61566Cho x+y+z=2
Chứng minh $\sqrt {x^2 + \dfrac{1}{{x^2 }}} + \sqrt {y^2 + \dfrac{1}{{y^2 }}} + \sqrt {z^2 + \dfrac{1}{{z^2 }}} \ge \dfrac{{\sqrt {97} }}{2}$
#3
Đã gửi 06-10-2011 - 16:44
xem
\[
\overrightarrow u = (\dfrac{1}{x} - x;\sqrt 2 );\overrightarrow v = (\dfrac{1}{y} - y;\sqrt 2 );\overrightarrow v = (\dfrac{1}{v} - v;\sqrt 2 )
\]
Bđt cm <=>
\[
|\overrightarrow u | + |\overrightarrow v | + |\overrightarrow w | \ge |\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow w | \ge \sqrt {[\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} - (x + y + z)]^2 + 18} \ge \sqrt {(\dfrac{9}{2} - 2)^2 + 18} = \sqrt {\dfrac{{97}}{4}}
\]
\[
\overrightarrow u = (\dfrac{1}{x} - x;\sqrt 2 );\overrightarrow v = (\dfrac{1}{y} - y;\sqrt 2 );\overrightarrow v = (\dfrac{1}{v} - v;\sqrt 2 )
\]
Bđt cm <=>
\[
|\overrightarrow u | + |\overrightarrow v | + |\overrightarrow w | \ge |\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow w | \ge \sqrt {[\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} - (x + y + z)]^2 + 18} \ge \sqrt {(\dfrac{9}{2} - 2)^2 + 18} = \sqrt {\dfrac{{97}}{4}}
\]
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#4
Đã gửi 07-10-2011 - 22:33
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có:
$VT\geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})^{2}}$
$\Leftrightarrow VT\geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+(\dfrac{9}{x+y+z}^{2})}=\dfrac{\sqrt{97}}{2}$
$Dấu"=" xảy ra khi x=y=z=\dfrac{2}{3}$
$VT\geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})^{2}}$
$\Leftrightarrow VT\geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+(\dfrac{9}{x+y+z}^{2})}=\dfrac{\sqrt{97}}{2}$
$Dấu"=" xảy ra khi x=y=z=\dfrac{2}{3}$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh