Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * - 13 Bình chọn

Hệ phương trình của diễn đàn toán học


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 185 trả lời

#1 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 22-08-2011 - 12:34

Hệ phương trình của diễn đàn toán học



Mình mở topic này mong các bạn đóng góp các hệ phương trình hay tạo một file tài liệu của diễn đàn rất mong được giúp đỡ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 22-08-2011 - 12:35

alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#2 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 22-08-2011 - 14:40

Mình ủng hộ alex_hoang. Không nói nhiều, để khai trương topic mình xin góp 2 bài nhỏ.

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^3} = \sqrt {64 - {x^2}y} \\{\left( {{x^2} + 2} \right)^3} = y + 6\end{array} \right.$

b) $\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x^4} + y} \right){.3^{y - {x^4}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\8\left( {{x^4} + y} \right) - {6^{{x^4} - y}} = 0\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$


#3 NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1, THPT Dương Quảng Hàm, Hưng Yên

Đã gửi 22-08-2011 - 15:41

Mình ủng hộ alex_hoang. Không nói nhiều, để khai trương topic mình xin góp 2 bài nhỏ.

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^3} = \sqrt {64 - {x^2}y} \\{\left( {{x^2} + 2} \right)^3} = y + 6\end{array} \right.$

b) $\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x^4} + y} \right){.3^{y - {x^4}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\8\left( {{x^4} + y} \right) - {6^{{x^4} - y}} = 0\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$

mình chém luôn câu b :) (*)
đặt:
$ x^4+y=a, y-x^4=b $
hệ trở thành:
$ \left\{\begin{array}{l}a.3^b=1 \\ 8a=6^{-b} \end{array}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a.3^b=1 \\ 8a.6^b=1\end{array}\right. $
chia 2 PT cho nhau ta được:
$ (\dfrac{1}{2})^b=8 \\ \Rightarrow b=-3 \\ \Rightarrow a=27 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x^4+y=27 \\ y-x^4=-3 \end{array}\right. \\ \Leftrightarrow y=24, x=\sqrt[4]{15} $

đã xong (*) :leq
Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#4 Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Biên Hòa - Đồng Nai

Đã gửi 22-08-2011 - 16:49

Mới kiếm thêm được một bài hay .
Giải hệ phương trình :
$ \left\{\begin{array}{l}{ x^4+y^2 =\dfrac{698}{81}} \\ {x^2+y^2+xy-3x-4y+4=0 } \end{array}\right. $

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#5 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 22-08-2011 - 17:56

Cảm ơn các bạn nha .Trước hết hãy tổng hợp các link hệ phương trình trong diễn đàn đã tiện cho việc giải quyết những bài chưa giải được và tránh trùng lặp
http://diendantoanho...showtopic=58153
http://diendantoanho...showtopic=61764
http://diendantoanho...showtopic=60115
http://diendantoanho...?...c=61413&hl=
http://diendantoanho...?...c=60823&hl=
Còn thiếu link hệ phương trình nào hay thì bổ xung nha
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#6 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 22-08-2011 - 20:16

mình chém luôn câu b :) (*)
đặt:
$ x^4+y=a, y-x^4=b $
hệ trở thành:
$ \left\{\begin{array}{l}a.3^b=1 \\ 8a=6^{-b} \end{array}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a.3^b=1 \\ 8a.6^b=1\end{array}\right. $
chia 2 PT cho nhau ta được:
$ (\dfrac{1}{2})^b=8 \\ \Rightarrow b=-3 \\ \Rightarrow a=27 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x^4+y=27 \\ y-x^4=-3 \end{array}\right. \\ \Leftrightarrow y=24, x=\sqrt[4]{15} $

đã xong (*) :leq

NGOCTIEN_A1_DQH kiểm tra lại nghiệm giúp! Mình thấy không ổn. Nghiệm phải là $\left( {\sqrt[4]{{15}};12} \right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 22-08-2011 - 20:18


#7 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 22-08-2011 - 20:42

Mới kiếm thêm được một bài hay .
Giải hệ phương trình :
$ \left\{\begin{array}{l}{ x^4+y^2 =\dfrac{698}{81}} (1) \\ {x^2+y^2+xy-3x-4y+4=0 } (2) \end{array}\right. $

Giải:

$(2) \Leftrightarrow {x^2} + \left( {y - 3} \right)x + {y^2} - 4y + 4 = 0$. Xem đây là phương trình bậc hai ẩn x. Phương trình có nghiệm

$ \Leftrightarrow \Delta = {\left( {y - 3} \right)^2} - 4\left( {{y^2} - 4y + 4} \right) \ge 0$

$ \Leftrightarrow - 3{y^2} + 10y - 7 \ge 0 \Leftrightarrow 1 \le y \le \dfrac{7}{3}$

Tương tự: $(2) \Leftrightarrow {y^2} + \left( {x - 4} \right)y + {x^2} - 3x + 4 = 0$ có nghiệm y $ \Leftrightarrow 0 \le x \le \dfrac{4}{3}$

Khi đó: ${x^4} + {y^2} \le {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^4} + {\left( {\dfrac{7}{3}} \right)^2} = \dfrac{{697}}{{81}} < \dfrac{{698}}{{81}}$

Từ (1) suy ra hệ phương trình đã cho vô nghiệm.


#8 isaac_newtons

isaac_newtons

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

Đã gửi 22-08-2011 - 20:58

Giải:

$(2) \Leftrightarrow {x^2} + \left( {y - 3} \right)x + {y^2} - 4y + 4 = 0$. Xem đây là phương trình bậc hai ẩn x. Phương trình có nghiệm

$ \Leftrightarrow \Delta = {\left( {y - 3} \right)^2} - 4\left( {{y^2} - 4y + 4} \right) \ge 0$

$ \Leftrightarrow - 3{y^2} + 10y - 7 \ge 0 \Leftrightarrow 1 \le y \le \dfrac{7}{3}$

Tương tự: $(2) \Leftrightarrow {y^2} + \left( {x - 4} \right)y + {x^2} - 3x + 4 = 0$ có nghiệm y $ \Leftrightarrow 0 \le x \le \dfrac{4}{3}$

Khi đó: ${x^4} + {y^2} \le {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^4} + {\left( {\dfrac{7}{3}} \right)^2} = \dfrac{{697}}{{81}} < \dfrac{{698}}{{81}}$

Từ (1) suy ra hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

P/s : công nhận anh xusinst ghê thiệt

#9 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 22-08-2011 - 21:01

Bài 3: Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}16\left( {{x^2} + \sqrt[3]{{{x^4}}} + \sqrt[3]{{{x^2}}} + 1} \right) = xy\\16\left( {\sqrt[3]{{{x^8}}} + {x^2} + \sqrt[3]{{{x^2}}} + 1} \right) + 15\sqrt[3]{{{x^4}}} = 2y\sqrt[3]{{{x^4}}}\end{array} \right.$

P/s: Mong các bạn khi post đề hãy đánh số thứ tự của bài. Thân!

#10 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 22-08-2011 - 22:33

Bài 4Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix}x^2(y+z)^2=(3x^2+x+1)y^2z^2\\ y^2(z+x)^2=(4y^2+y+1)z^2x^2\\ z^2(x+y)^2=(5z^2+z+1)x^2y^2\end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 22-08-2011 - 22:33

alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#11 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 22-08-2011 - 23:39

Bài 4Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix}x^2(y+z)^2=(3x^2+x+1)y^2z^2\\ y^2(z+x)^2=(4y^2+y+1)z^2x^2\\ z^2(x+y)^2=(5z^2+z+1)x^2y^2\end{matrix}\right.$

Giải:

Nhận thấy hệ có nghiệm $x = y = z = 0$.

Xét $x,y,z \ne 0$. Khi đó phương trình thứ nhất tương đương với

$\dfrac{{3{x^2} + x + 1}}{{{x^2}}} = {\left( {\dfrac{{y + z}}{{yz}}} \right)^2} \Leftrightarrow 3 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = {\left( {\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)^2} \Leftrightarrow 3 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} + \dfrac{2}{{yz}}\,\,(1)$

Tương tự với hai phương trình còn lại của hệ, ta cũng có:

$4 + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} + \dfrac{2}{{xz}}\,\,(2)\,\,\,;\,\,\,\,5 + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{2}{{xy}}\,\,(3)$

Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế rồi biến đổi ta được:

${\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)^2} - \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) - 12 = 0$

$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 4\,\,\,\,or\,\,\,\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = - 3$

Đến đây mọi người cùng giải tiếp.


#12 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 23-08-2011 - 00:37

Bài 3: Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}16\left( {{x^2} + \sqrt[3]{{{x^4}}} + \sqrt[3]{{{x^2}}} + 1} \right) = xy\\16\left( {\sqrt[3]{{{x^8}}} + {x^2} + \sqrt[3]{{{x^2}}} + 1} \right) + 15\sqrt[3]{{{x^4}}} = 2y\sqrt[3]{{{x^4}}}\end{array} \right.$

P/s: Mong các bạn khi post đề hãy đánh số thứ tự của bài. Thân!

Bài này tôi làm như sau
Dễ thấy $x=0$ không là nghiệm của hệ phương trình
Với $x \neq 0$ Đặt $t= \sqrt[3]{x} $ ta được
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{16({t^6} + {t^4} + {t^2} + 1) = {t^3}y}\\{16({t^8} + {t^6} + {t^2} + 1) + 15{t^4} = 2y{t^4}}\end{array}\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{16({t^3} + \dfrac{1}{{{t^3}}} + t + \dfrac{1}{t}) = y}\\{16({t^4} + \dfrac{1}{{{t^4}}} + {t^2} + \dfrac{1}{{{t^2}}}) + 15 = 2y}\end{array}} \right.} \right.$
Lấy phương trình thứ $2$ trừ đi $2$lần phương trình thứ nhất ta có
$16({t^4} + \dfrac{1}{{{t^4}}}) - 32({t^3} + \dfrac{1}{{{t^3}}}) + 16({t^2} + \dfrac{1}{{{t^2}}}) - 32(t + \dfrac{1}{t}) + 15 = 0(*)$
Bây giờ ta đặt $t + \dfrac{1}{t} = a(\left| a \right| \ge 2)$ r�ồi phân tích đa thức thành nhân tử được
$(2a - 5)(2a + 3)(2a - 1 - \sqrt 2 )(2a - 1 + \sqrt 2 ) = 0$
Từ điều kiện của $a$ ta suy ra $a=\dfrac{5}{2} $ đến đây ta dễ dàng tìm được $ (x,y)=(8,170);( \dfrac{1}{8} ,170)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 24-08-2011 - 21:00

alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#13 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 23-08-2011 - 00:42

Bài 5Giải tìm nghiệm dương của hệ phương trình
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^5} - {x^4} + 2{x^2}y = 2}\\{{y^5} - {y^4} + 2{y^2}z = 2}\\{{z^5} - {z^4} + 2{z^2}x = 2}\end{array}} \right.$
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#14 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 23-08-2011 - 08:56

Bài 5Giải tìm nghiệm dương của hệ phương trình
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^5} - {x^4} + 2{x^2}y = 2}\\{{y^5} - {y^4} + 2{y^2}z = 2}\\{{z^5} - {z^4} + 2{z^2}x = 2}\end{array}} \right.$

Giải:

Nhận xét: Hệ có nghiệm $x = y = z = 1$. Ta chứng minh nghiệm này là duy nhất. Thật vậy:

* Nếu $x > 1\,\,:\,\,{x^5} - {x^4} = {x^4}\left( {x - 1} \right) > 0 \Rightarrow 2{x^2}y < 2 \Rightarrow y < \dfrac{1}{{{x^2}}} < 1$

$ \Rightarrow y - 1 < 0 \Rightarrow {y^5} - {y^4} = {y^4}\left( {y - 1} \right) < 0$

$ \Rightarrow 2{y^2}z > 2 \Rightarrow z > \dfrac{1}{{{y^2}}} > 1 \Rightarrow {z^5} - {z^4} = {z^4}\left( {z - 1} \right) > 0$

$ \Rightarrow 2{z^2}x < 2 \Rightarrow x < \dfrac{1}{{{z^2}}} < 1$ (mâu thuẫn)

* Nếu x < 1: chứng minh tương tự như trên.

Vậy HPT đã cho có nghiệm dương duy nhất là $x = y = z = 1$.


#15 hammetoan

hammetoan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết

Đã gửi 23-08-2011 - 09:11

Mình xin góp thêm một bài:


Bài 6 : $ \left\{\begin{array}{l}x^2+2y^2=z^2\\2x^2+y^2=t^2\end{array}\right. $

#16 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 23-08-2011 - 10:23

Bài 7: Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}2{y^3} + 2x\sqrt {1 - x} = 3\sqrt {1 - x} - y\\y = 2{x^2} - 1 + 2xy\sqrt {1 + x} \end{array} \right.$


#17 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 23-08-2011 - 12:26

Bài 7: Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}2{y^3} + 2x\sqrt {1 - x} = 3\sqrt {1 - x} - y\\y = 2{x^2} - 1 + 2xy\sqrt {1 + x} \end{array} \right.$

Điều kiện $ - 1 \le x \le 1$
Phương trình thứ nhất tương đương
$2{y^3} + y = 2(1 - x)\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 - x} $
Ta có hàm số $f(t) = {t^3} + t$ là hàm đòng biến do $f'(t) = 3{t^2} + 1 > 0$
Vậy $y = \sqrt {1 - x} $
Thay vào pt 2 ta dễ có kết quả
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#18 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 23-08-2011 - 12:29

Bài 8Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}{\left(x+2 \right)}^{2}+{\left(y+3 \right)}^{2}=-\left(y+3 \right)\left(x+z-2 \right) & & \\ {x}^{2}+5x+9z-7y-15=-3yz& & \\ 8{x}^{2}+18{y}^{2}+18xy+18yz=-84x-72y-24z-176& & \end{matrix}\right.$
Bài 9Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}2z\left(x+y \right)+1={x}^{2}-{y}^{2}& & \\ {y}^{2}+{z}^{2}=1+2xy+2xz-2yz& & \\ y\left(3{x}^{2}-1 \right)=-2x\left({x}^{2}+1 \right) & & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 23-08-2011 - 12:30

alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#19 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 23-08-2011 - 12:37

Điều kiện $ - 1 \le x \le 1$
Phương trình thứ nhất tương đương
$2{y^3} + y = 2(1 - x)\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 - x} $
Ta có hàm số $f(t) = {t^3} + t$ là hàm đòng biến do $f'(t) = 3{t^2} + 1 > 0$
Vậy $y = \sqrt {1 - x} $
Thay vào pt 2 ta dễ có kết quả

alex_hoang cho lời giải đầy đủ xem nào. Chủ yếu là giải phương trình thứ hai.

#20 h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C1 - k49 - PĐL
  • Sở thích:MATHEMATICS

Đã gửi 23-08-2011 - 14:53

@@@@: Đề nghị alex_hoang + xusinst : làm chầm chậm thôi, mình hoa cả mắt (*) .

Topic hoạt động rất tốt nhưng cần thêm nhiều vd từ nhiều người, hơn nữa, các bạn cũng post chậm lại để mọi người tiện thảo luận + có thể giải quyết xong những bài chưa giải quyết.

Mình xin trình bài câu 1a) còn sót: ( nghĩ từ hôm qua đến giờ :) )

Nhận xét: hệ này ẩn x xuất hiện trong luôn là x2. Lại nhận thấy x = 0 và y = 2 thỏa mãn là nghiệm của hệ.

Ý tưởng --> pp: đánh giá :

Bài giải: Cần xét phương trình thứ hai của hệ trước:

$(x^2+2)^3 = y+6 \Rightarrow y+6 \ge 2^3 = 8 \Rightarrow y \ge 2.$

Quay lại phương trình đầu của hệ, Ta có:

$y^3 \le x^2+y^3 = \sqrt{64-x^2y} \le \sqrt{64} \Rightarrow |y| \le 2 \Leftrightarrow -2 \le y \le 2.$

Từ đó ta suy ra để hệ có nghiệm thì y = 2 và dẫn đến x = 0 ( ktra lại thấy tm!)

KL: hệ có nghiệm duy nhất $(x;y) = (0;2)$

rongden_167





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh