Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * - 13 Bình chọn

Hệ phương trình của diễn đàn toán học


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 185 trả lời

#41 zone

zone

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Dương Xá, HN

Đã gửi 31-08-2011 - 16:47

Mình ủng hộ alex_hoang. Không nói nhiều, để khai trương topic mình xin góp 2 bài nhỏ.

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^3} = \sqrt {64 - {x^2}y} \\{\left( {{x^2} + 2} \right)^3} = y + 6\end{array} \right.$

b) $\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x^4} + y} \right){.3^{y - {x^4}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\8\left( {{x^4} + y} \right) - {6^{{x^4} - y}} = 0\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$

Con a rêu rồi, để zone phủ
từ pt hai $ y+6 \geq 8 \Rightarrow y \geq 2 $ Sử dụng điều kiện này vào pt 1
Vế trái pt 1: $ x^2+y^3 \geq 8 $
Vế phải pt1: $ \sqrt {64 - {x^2}y} \leq 8 $ (vì $ x^2 y \geq 0 $)
Từ đó hệ pt có nghiệm là (0;2) khi các dấu "=" xảy ra

#42 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 31-08-2011 - 17:21

Con a rêu rồi, để zone phủ
từ pt hai $ y+6 \geq 8 \Rightarrow y \geq 2 $ Sử dụng điều kiện này vào pt 1
Vế trái pt 1: $ x^2+y^3 \geq 8 $
Vế phải pt1: $ \sqrt {64 - {x^2}y} \leq 8 $ (vì $ x^2 y \geq 0 $)
Từ đó hệ pt có nghiệm là (0;2) khi các dấu "=" xảy ra

Bài này đã được giải. Bạn xem lại.



Mình xin trình bài câu 1a) còn sót: ( nghĩ từ hôm qua đến giờ :alpha )

Nhận xét: hệ này ẩn x xuất hiện trong luôn là x2. Lại nhận thấy x = 0 và y = 2 thỏa mãn là nghiệm của hệ.

Ý tưởng --> pp: đánh giá :

Bài giải: Cần xét phương trình thứ hai của hệ trước:

$(x^2+2)^3 = y+6 \Rightarrow y+6 \ge 2^3 = 8 \Rightarrow y \ge 2.$

Quay lại phương trình đầu của hệ, Ta có:

$y^3 \le x^2+y^3 = \sqrt{64-x^2y} \le \sqrt{64} \Rightarrow |y| \le 2 \Leftrightarrow -2 \le y \le 2.$

Từ đó ta suy ra để hệ có nghiệm thì y = 2 và dẫn đến x = 0 ( ktra lại thấy tm!)

KL: hệ có nghiệm duy nhất $(x;y) = (0;2)$



#43 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 02-09-2011 - 12:00

Bài 14Giải hệ phương trình
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(x - y)({x^2} + xy + {y^2} - 2) = 6\ln \left( {\dfrac{{y + \sqrt {{y^2} + 9} }}{{x + \sqrt {{x^2} + 9} }}} \right)}\\{{x^3} - 2x + 1 = {y^2}}\end{array}} \right.$
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#44 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 02-09-2011 - 13:11

Bài 14Giải hệ phương trình
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(x - y)({x^2} + xy + {y^2} - 2) = 6\ln \left( {\dfrac{{y + \sqrt {{y^2} + 9} }}{{x + \sqrt {{x^2} + 9} }}} \right)}\\{{x^3} - 2x + 1 = {y^2}}\end{array}} \right.$


ĐK: tự tìm

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

$\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) - 2\left( {x - y} \right) = 6\ln \left( {y + \sqrt {{y^2} + 9} } \right) - 6\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 9} } \right)$

$ \Leftrightarrow {x^3} + 6\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 9} } \right) - 2x = {y^3} + 6\ln \left( {y + \sqrt {{y^2} + 9} } \right) - 2y$

Xét hàm số: $f\left( t \right) = {t^3} + 6\ln \left( {t + \sqrt {{t^2} + 9} } \right) - 2t$. Xét đạo hàm và thấy f (t) đơn điệu.

$ \Rightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y$. Thay x = y vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

${x^3} - {x^2} - 2x + 1 = 0$. Từ đó tìm được nghiệm của hệ.


#45 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 03-09-2011 - 10:34


ĐK: tự tìm

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

$\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) - 2\left( {x - y} \right) = 6\ln \left( {y + \sqrt {{y^2} + 9} } \right) - 6\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 9} } \right)$

$ \Leftrightarrow {x^3} + 6\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 9} } \right) - 2x = {y^3} + 6\ln \left( {y + \sqrt {{y^2} + 9} } \right) - 2y$

Xét hàm số: $f\left( t \right) = {t^3} + 6\ln \left( {t + \sqrt {{t^2} + 9} } \right) - 2t$. Xét đạo hàm và thấy f (t) đơn điệu.

$ \Rightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y$. Thay x = y vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

${x^3} - {x^2} - 2x + 1 = 0$. Từ đó tìm được nghiệm của hệ.

OK phương trình cuối này có thể dùng lượng giác để giải quyết
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#46 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 03-09-2011 - 15:34

OK phương trình cuối này có thể dùng lượng giác để giải quyết

Xin phép alex_hoang cho phép góp 1 hệ như sau:

Bài 15
$\left\{ \begin{array}{l}\arcsin x - x \le \arctan y - y\\\arcsin y - y \le \arctan x - x\\x,y \in \left[ {0,1} \right]\end{array} \right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 03-09-2011 - 15:37

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#47 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 05-09-2011 - 17:32

Lâu rồi xin góp 1 bài.

Bài 16: Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}{2^{\dfrac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}}}} - {2^y} = - xy - \dfrac{3}{2}\\{\left( {{x^2}y + 2x} \right)^2} + 1 = 2{x^2}y + 4x\end{array} \right.$


#48 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 06-09-2011 - 17:39

Xin phép alex_hoang cho phép góp 1 hệ như sau:

Bài 15
$\left\{ \begin{array}{l}\arcsin x - x \le \arctan y - y\\\arcsin y - y \le \arctan x - x\\x,y \in \left[ {0,1} \right]\end{array} \right.$

Rất cảm ơn bạn nhưng mình quên nói rằng trong topic này chỉ trao đổi các hệ phương trình đại số thôi :D
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#49 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 07-09-2011 - 18:08

Bài 11: Cho $n$ , $p$ là các số nguyên dương và $n \ge 3$ . Tìm nghiệm dương của hệ phương trình :
$ \begin{cases} x_1+x_2=x_3^{p} \\ x_2+x_3=x_4^{p} \\ .... \\ x_{n-1}+x_n=x_1^{p} \\ x_n +x_1=x_2^{p} \end{cases} $
Một hệ PT có cách giải khá là đặc biệt , hầu như là không có 1 bước tính toán nào , chỉ dựa trên lập luận :D :Rightarrow

Bài 11 mình làm như này, caubeyeutoan2302 cho ý kiến.

Gọi X là giá trị lớn nhất của các nghiệm ${x_i},\,i = 1,...,n$ và Y là giá trị bé nhất của chúng.

Từ phương trình đầu ta có: $2X \ge {x_1} + {x_2} = x_3^p$

Từ đó đối với các phương trình của hệ ta có: $2X \ge x_k^p,\,\,\forall k = 1,2,...,n$

Hay $2X \ge {X^p} \Rightarrow 2 \ge {X^{p - 1}}\,\,\left( {X > 0} \right)\,\,\,\,(1)$

Lập luận tương tự ta đi đến: $2 \le {Y^{p - 1}}\,\,\,\,(2)$

Từ (1) và (2) suy ra ${X^{p - 1}} = {Y^{p - 1}} = 2 \Leftrightarrow {x_1} = {x_2} = ... = {x_n} = \sqrt[{p - 1}]{2}$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ${x_1} = {x_2} = ... = {x_n} = \sqrt[{p - 1}]{2}$.


#50 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 08-09-2011 - 17:09

Lâu rồi xin góp 1 bài.

Bài 16: Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}{2^{\dfrac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}}}} - {2^y} = - xy - \dfrac{3}{2}\\{\left( {{x^2}y + 2x} \right)^2} + 1 = 2{x^2}y + 4x\end{array} \right.$

Phương trình thứ hai tương đương${\left( {{x^2}y + 2x - 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow {x^2}y + 2x - 1 = 0 \Rightarrow y = \dfrac{{1 - 2x}}{{{x^2}}}$(do x khá 0)
Thay vào phương trình đầu và biến đổi
${2^{\dfrac{1}{{{x^2}}}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = {2^{{{\left( {1 - \dfrac{1}{x}} \right)}^2}}} + {(1 - \dfrac{1}{x})^2}$
Hàm số $f(t) = {2^t} + t$ là hàm số đồng biến trên R(+)
Từ dố ta tìm được$ x=2$ và $y= \dfrac{-3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 08-09-2011 - 17:14

alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#51 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 08-09-2011 - 17:17

Bài 17Giải hệ
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6{x^2}y + 2{y^3} + 35 = 0}\\{5{x^2} + 5{y^2} + 2xy + 5x + 13y = 0}\end{array}} \right.$
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#52 h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C1 - k49 - PĐL
  • Sở thích:MATHEMATICS

Đã gửi 08-09-2011 - 23:06

Bài 17: $\textup{TH: }y = 0 \Rightarrow .....$.

$\textup{TH: }y \neq 0 \Rightarrow x^2 = \dfrac{-2y^3-35}{6y}$ thế vào pt sau ta có:

$\dfrac{-5(2y^3+35)}{6y} + 5y^2+13y = -x.(5+2y) \\. \\ \Leftrightarrow \dfrac{20y^3+78y^2-175}{6y}=-x.(5+2y)$

$\Leftrightarrow \dfrac{(2y+5)(10y^2+28y-35)}{6y}=-x.(2y+5)$

$ \textup{TH: } 2y = -5 \Rightarrow x = \dfrac{-1}{2}$

còn lại: $6x + \dfrac{10y^2+28y-35}{y} = 0 \textup{ mà } 6x^2 + \dfrac{2y^3+35}{y} = 0$

$\Rightarrow 6x^2 + 6x + \dfrac{2y^3+10y^2+28y}{y} = 0 \\.\\ \Leftrightarrow 6x^2+6x + 2y^2+10y^2+28 = 0 \Leftrightarrow 6\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 + 2\left(y+\dfrac{5}{2}\right)^2 = 0, ...$

Kết luận, pt đã cho có duy nhất 1 nghiệm $y = \dfrac{-5}{2}, x = -\dfrac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 08-09-2011 - 23:11

rongden_167


#53 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 09-09-2011 - 00:01

Bài 18Giải hệ phương trình
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{xy + yz + zx = 1}\\{\dfrac{{(y + z)(4 - {x^2})}}{3} = \dfrac{{(z + x)(4 - {y^2})}}{6}}\\{\dfrac{{(z + x)(4 - {y^2})}}{6} = \dfrac{{(x + y)(4 - {z^2})}}{7}}\end{array}} \right.$
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#54 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 10-09-2011 - 17:17

Bài 19Giải hệ
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + {y^3} = 9}\\{{x^2} + 2{y^2} = x + 4y}\end{array}} \right.$
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#55 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 10-09-2011 - 18:55

Bài 19Giải hệ
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + {y^3} = 9}\\{{x^2} + 2{y^2} = x + 4y}\end{array}} \right.$

Nhân phương trình thứ hai của hệ với 3 rồi lấy phương trình thứ nhất trừ ta được:

${x^3} + {y^3} - 3{x^2} - 6{y^2} = 9 - 3x - 12y$

$ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = - {y^3} + 6{y^2} - 12y + 8$

$ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = - {\left( {y - 2} \right)^3} \Leftrightarrow x - 1 = - \left( {y - 2} \right) \Leftrightarrow x = 3 - y$

Thay vào phương trình thứ hai biến đổi ta được: $3\left( {{y^2} - 3y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1 \Rightarrow x = 2\\y = 2 \Rightarrow x = 1\end{array} \right.$.

Vậy hệ đã cho có nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right),\,\left( {2;1} \right)$.


#56 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 10-09-2011 - 19:09

Bài 20: Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x_1} - {a_1}}}{{{b_1}}} = \dfrac{{{x_2} - {a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \dfrac{{{x_n} - {a_n}}}{{{b_n}}}\\{x_1} + {x_2} + ... + {x_n} = c\end{array} \right.\,,\,\,\,{b_1},{b_2},...,{b_n} \ne 0,\,\,\,\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} \ne 0$


#57 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 11-09-2011 - 18:09

Bài 20: Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x_1} - {a_1}}}{{{b_1}}} = \dfrac{{{x_2} - {a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \dfrac{{{x_n} - {a_n}}}{{{b_n}}}\\{x_1} + {x_2} + ... + {x_n} = c\end{array} \right.\,,\,\,\,{b_1},{b_2},...,{b_n} \ne 0,\,\,\,\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} \ne 0$

Mình chém thử không biết thế nào
Bài20
Từ pt thứ nhất ta có
$\dfrac{{{x_1} - {a_1}}}{{{b_1}}} = \dfrac{{{x_2} - {a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \dfrac{{{x_n} - {a_n}}}{{{b_n}}} = \dfrac{{\sum\limits_{i = 1}^n {({x_i} - {a_i})} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} }} = \dfrac{{c - \sum\limits_{i = 1}^n {({a_i})} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} }}$
Từ đây ta có thể tìm được kết quả
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#58 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 11-09-2011 - 18:13

Bài 21Giải hệ
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^4} - {y^4} = 240}\\{{x^3} - 2{y^3} = 3({x^2} - 4{y^2}) - 4(x - 8y)}\end{array}} \right.$
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#59 phuonganh_lms

phuonganh_lms

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:The unborn
  • Sở thích:Nghe Linkin Park, harmonica

Đã gửi 13-09-2011 - 06:13

Bài 21Giải hệ
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^4} - {y^4} = 240}(1)\\{{x^3} - 2{y^3} = 3({x^2} - 4{y^2}) - 4(x - 8y)}(2)\end{array}} \right.$

(VMO_2010)
Nhân pt (2) với $ -8$ và cộng với $(1)$
Ta được: $ (x-2)^4=(y-4)^4$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = y - 4\\x - 2 = 4 - y\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y - 2\\x = 6 - y\end{array} \right.$
Từ đây thay vào pt $(1)$ ta được
$ -8y^3+24y^2-32y+16=240 \Leftrightarrow y=-2,x=-4$
$ -24y^3+216y^2-864y+1296=240 \Leftrightarrow y=2, x=4$

Hình đã gửi


#60 phuonganh_lms

phuonganh_lms

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:The unborn
  • Sở thích:Nghe Linkin Park, harmonica

Đã gửi 21-09-2011 - 16:04

Một bài hệ logarit:
$$\left\{ \begin{array}{l}{\log _4}({x^2} + {y^2}) - {\log _4}(2x) + 1 = {\log _4}(x + 3y)\\{\log _4}(xy + 1) - {\log _4}(2{y^2} + y - x + 2) = {\log_4}(\frac{x}{y}) - \frac{1}{2}\end{array} \right.$$

Hình đã gửi





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh