Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * - 13 Bình chọn

Hệ phương trình của diễn đàn toán học


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 185 trả lời

#61 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 24-09-2011 - 20:43

Xin phép alex_hoang cho phép góp 1 hệ như sau:

Bài 15
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\arcsin x - x \le \arctan y - y\,\,\,\,(1)}\\{\arcsin y - y \le \arctan x - x\,\,\,\,(2)}\\{x,y \in \left[ {0,1} \right]}\end{array}} \right.$

Mặc dù bài này không trong thể loại của topic nhưng mình xin giải để mọi người có thể tham khảo.
Cộng (1) và (2), rồi rút gọn, ta thu được bất đẳng thức sau:

$\arcsin x + \arcsin y \le \arctan x + \arctan y\,\,\,\,\left( 3 \right)$


Xét hàm số: $f\left( x \right) = \arcsin x - \arctan x,\,\,\,x \in \left[ {0;1} \right]$.Ta có:

$f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} - \dfrac{1}{{1 + {x^2}}} \ge 1 - 1 = 0$


Do đó: $f\left( x \right) \ge f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow \arcsin x \ge \arctan x$. Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = 0$.
Làm tương tự, ta thu được $\arcsin y \ge \arctan y$.
Cộng hai bất đẳng thức trên, ta có:

$\arcsin x + \arcsin y \ge \arctan x + \arctan y\,\,\,\,\left( 4 \right)$


Từ (3) và (4) suy ra $\arcsin x + \arcsin y = \arctan x + \arctan y$.
Đẳng thức xảy ra khi $x = y = 0$. Đây chính là nghiệm của hệ bất phương trình.

#62 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 03-11-2011 - 00:22

Đã lâu mình không vào lại topic này
Cũng đã đến lúc nó trở lại rồi
Mình xin post tiếp bài nữa

Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}\sqrt{x^3+6y}+2y+1=\sqrt{x^3+4x^2+7x+4}\\
(2x^2-2y^2+xy)^2=(4x^2+y^2)(10x^2-14xy+5y^2)\end{cases}$$
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#63 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 03-11-2011 - 22:06

Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}\sqrt{x^3+6y}+2y+1=\sqrt{x^3+4x^2+7x+4}\\
(2x^2-2y^2+xy)^2=(4x^2+y^2)(10x^2-14xy+5y^2)\end{cases}$$


Nhận thấy $x=0$ không là nghiệm của hệ. Khai triển phương trình thứ hai của hệ rồi thu gọn được:
$$36{x^4} - 60{x^3}y + 37{x^2}{y^2} - 10x{y^3} + {y^4} = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)$$
Đặt $y = tx,t \ne 0$, thay vào (1), biến đổi ta thu được:
$${t^4} - 10{t^3} + 37{t^2} - 60t + 36 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\left( {t - 2} \right)\left( {t - 3} \right)} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 2\\
t = 3
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 2x\\
y = 3x
\end{array} \right.$$
Do đó hệ phương trình đã cho tương đương với:
$$\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{x^3} + 6y} + 2y + 1 = \sqrt {{x^3} + 4{x^2} + 7x + 4} \\
y = 2x
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \vee \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{x^3} + 6y} + 2y + 1 = \sqrt {{x^3} + 4{x^2} + 7x + 4} \\
y = 3x
\end{array} \right.$$
Đến đây nhờ các mem giải tiếp!

#64 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 03-11-2011 - 23:18

Góp một bài.
Bài 24: Giải hệ phương trình:$$\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt 2 \left( {x - y} \right)\left( {1 + 4xy} \right) = \sqrt 3 \\
{x^2} + {y^2} = 1
\end{array} \right.$$

#65 minhson95

minhson95

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 514 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Bách Khoa Hà Nội

Đã gửi 07-11-2011 - 12:46

mình vừa làm một bài hệ PT hay
post lên cho mọi người tham khảo


đề bài
giải hệ PT:
$(1) x^3+1+2(y-1)^2=0$
$ (2) 2y=x^2+x^2y^2$

#66 h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C1 - k49 - PĐL
  • Sở thích:MATHEMATICS

Đã gửi 07-11-2011 - 19:05

@@@Bài của minhson95: Bài này để ý chút chỗ đánh giá sau:

$(1) \Rightarrow x^3 \le -1 \Leftrightarrow x \le -1$

$(2) \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{2y}{y^2+1} = 1 - \dfrac{(y-1)^2}{y^2+1} \le 1 \Rightarrow x ^2 \le 1 \Leftrightarrow -1 \le x \le 1$

Vậy cần có : $x = -1, y = 1.$ Thử lại thấy tm!

@@@: xusinst: bài 24 dùng pp lượng giác. Nhưng hay là phải giải 1 pt lượng không đơn giản, bến đổi lằng nhằng ( mình đọc giải của thầy mình rồi nên để cho mọi người suy nghĩ tiếp )

rongden_167


#67 NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1, THPT Dương Quảng Hàm, Hưng Yên

Đã gửi 07-11-2011 - 21:52

em không nghĩ là bài 24 dụng lượng giác lại dẫn đến 1 PT khó giải:
bài 24/
đặt $ x=cost, y=sint $. với $ t \in [0; \pi] $

khi đó, PT (1) trở thành:

$ 2cos(t+\dfrac{\pi}{4}).(1+2sin2t)=\sqrt{3} $

đặt $ t+\dfrac{\pi}{4}=a $ thì:

$ PT \leftrightarrow 2cosa(1-2cos2a)=\sqrt{3} $

$ \leftrightarrow 3cosa-4cos^3a=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $

PT này cơ bản và có thể giải khá dễ dàng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 08-11-2011 - 21:28

Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#68 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 15-11-2011 - 12:15

Hãy so sánh với bài giải trên

Do ${x^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow x,y \in \left[ { - 1;1} \right]$. Đặt $x = \sin \alpha ,y = \cos \alpha \,\,,\,\,\alpha \in \left[ {0;2\pi } \right]$.

Khi đó, phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
$$\sqrt 2 \left( {\sin \alpha - c{\text{os}}\alpha } \right)\left( {1 + 2\sin 2\alpha } \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow 4\sin \left( {\alpha - \dfrac{\pi }{4}} \right)\left( {\sin 2\alpha + \sin \dfrac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 3 $$
$$ \Leftrightarrow 8\sin \left( {\alpha - \dfrac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {\alpha - \dfrac{\pi }{{12}}} \right)c{\text{os}}\left( {\alpha - \dfrac{\pi }{{12}}} \right) = \sqrt 3 $$
$$ \Leftrightarrow 4\cos \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{{12}}} \right)\left[ {c{\text{os}}\dfrac{\pi }{3} - c{\text{os}}\left( {2\alpha - \dfrac{\pi }{6}} \right)} \right] = \sqrt 3 $$
$$ \Leftrightarrow 2\cos \left( {\alpha - \dfrac{\pi }{{12}}} \right) - 4\cos \left( {\alpha - \dfrac{\pi }{{12}}} \right)c{\text{os}}\left( {2\alpha - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 3 $$
$$ \Leftrightarrow 2\cos \left( {\alpha - \dfrac{\pi }{{12}}} \right) - 2\left[ {\cos \left( {3\alpha - \dfrac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {\alpha - \dfrac{\pi }{{12}}} \right)} \right] = \sqrt 3 $$
$$ \Leftrightarrow - 2\cos \left( {3\alpha - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \cos \left( {3\alpha - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
\alpha = - \dfrac{{7\pi }}{{36}} + k\dfrac{{2\pi }}{3}\\
\alpha = \dfrac{{13\pi }}{{36}} + k\dfrac{{2\pi }}{3} \\
\end{gathered} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$$
Từ đó suy ra hệ đã cho có 6 nghiệm: $\left( {x,y} \right) = \left( {\sin \dfrac{{13\pi }}{{36}},c{\text{os}}\dfrac{{13\pi }}{{36}}} \right),\left( { - \sin \dfrac{{7\pi }}{{36}},c{\text{os}}\dfrac{{7\pi }}{{36}}} \right),\left( {\sin \dfrac{{17\pi }}{{36}},c{\text{os}}\dfrac{{17\pi }}{{36}}} \right),$

$$\left( { - \sin \dfrac{\pi }{{36}}, - c{\text{os}}\dfrac{\pi }{{36}}} \right),\left( { - \sin \dfrac{{5\pi }}{{36}}, - c{\text{os}}\dfrac{{5\pi }}{{36}}} \right),\left( {\sin \dfrac{{61\pi }}{{36}},c{\text{os}}\dfrac{{61\pi }}{{36}}} \right)$$

#69 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 15-11-2011 - 12:52

Bài 26: Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{gathered}
x + y + \left( {{z^2} - 8z + 14} \right)\sqrt {x + y - 2} = 1 \\
2x + 5y + \sqrt {xy + z} = 3 \\
\end{gathered} \right.$$

#70 NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1, THPT Dương Quảng Hàm, Hưng Yên

Đã gửi 15-11-2011 - 20:22

Bài 26: Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{gathered} x + y + \left( {{z^2} - 8z + 14} \right)\sqrt {x + y - 2} = 1 \\ 2x + 5y + \sqrt {xy + z} = 3 \\ \end{gathered} \right.$$

xin phép làm bài này
$ PT(1) \leftrightarrow x+y-2-2\sqrt{x+y-2}+2+(z-4)^2.\sqrt{x+y-2}=0 $

$ \leftrightarrow (\sqrt{x+y-2}-1)^2+(z-4)^2\sqrt{x+y-2}=0 $

VT là tổng của các đại lượng không âm nên VT=0 khi và chỉ khi các đại lượng đó bằng 0, tức là:

$$\left\{ \begin{gathered} \sqrt{x+y-2}=1 \\ z=4 \\ \end{gathered} \right.$$

thay $ x=3-y $ và $ z=4 $ vào PT (2) ta được:

$ 6+3y+\sqrt{-y^2+3y+4}=3 $

$ \leftrightarrow y=-1 $

$ \rightarrow x=4 $

vậy hệ có nghiệm (4;-1;4)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 15-11-2011 - 21:58

Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#71 NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1, THPT Dương Quảng Hàm, Hưng Yên

Đã gửi 15-11-2011 - 22:19

thêm 1 bài nữa :D :D
bài 27: giải hệ PT:
$ \left\{\begin{matrix}x^2y-y^2=3xy+x
& \\ x^2y^2-xy^2+y+1=4y^2
&
\end{matrix}\right. $
Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#72 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 16-11-2011 - 20:02

thêm 1 bài nữa :D :D
bài 27: giải hệ PT:
$ \left\{\begin{matrix}x^2y-y^2=3xy+x
& \\ x^2y^2-xy^2+y+1=4y^2
&
\end{matrix}\right. $

Thấy $x,y\neq 0$. Chia phương trình thứ nhất cho $xy$, phương trình thứ hai cho $y^{2}$. Khi đó hệ tương đương với:
$$\left\{ \begin{array}{l}
x - \dfrac{y}{x} = 3 + \dfrac{1}{y}\\
{x^2} - x + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - \dfrac{1}{y} - \dfrac{y}{x} = 3\\
{\left( {x - \dfrac{1}{y}} \right)^2} + 2\dfrac{x}{y} - \left( {x - \dfrac{1}{y}} \right) = 4
\end{array} \right.$$
Đặt $S = x - \dfrac{1}{y},\,\,\,P = \dfrac{x}{y}$, khi đó hệ trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}
S - \dfrac{1}{P} = 3\\
{S^2} + 2P - S = 4
\end{array} \right.$
Đến đây thì đơn giản rồi :D

#73 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 16-11-2011 - 20:22

Bài 28: Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = - y\left( {x + z} \right)\\
{x^2} + x + y = - 2yz\\
3{x^2} + 8{y^2} + 8xy + 8yz = 2x + 4z + 2
\end{array} \right.$$

#74 NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1, THPT Dương Quảng Hàm, Hưng Yên

Đã gửi 29-11-2011 - 22:08

Bài 28: Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = - y\left( {x + z} \right)\\
{x^2} + x + y = - 2yz\\
3{x^2} + 8{y^2} + 8xy + 8yz = 2x + 4z + 2
\end{array} \right.$$

xét khi x=0, dễ thấy $ \dfrac{1}{2}, z=\dfrac{-1}{2} $ là nghiệm của hệ
xét x khác 0, ta biến đổi PT (1) và PT(3) của hệ về dạng:
$\left\{\begin{matrix}x^2=-y(x+y+z)
& \\ 3x^2+8y(x+y+z)=2x+4z+2 \end{matrix}\right.$
thay từ PT trên xuống PT dưới ta dc:
$ 5x^2+2x+2+4z=0 $

$ Rightarrow z=\dfrac{-5x^2-2x-2}{4} $

thay vào Pt(2) ta dc:

$ y(1-\dfrac{5x^2+2x+2}{2})=-x^2-x $

$ \Leftrightarrow y=\dfrac{2x+2}{5x+2} $

thay y và z vào PT(1) và sau vài dòng biến đổi ta dc PT sau:

$ 25x^4+30x^3+8x^2+20x+8=0 $

PT này có 1 nghiệm $ x=-\dfrac{2}{5} $ và 1 nghiệm xấu nữa không ghi ra ở đây

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 29-11-2011 - 22:10

Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#75 hangochoanthien

hangochoanthien

    * ĐÔNG TÀ*

  • Thành viên
  • 165 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo Đào Hoa
  • Sở thích:thích học toán ,lí .hóa và thích chơi cho Barcelona.........

Đã gửi 21-12-2011 - 00:39

Theo mình muốn topic có nhiều người tham gia thì nên có những hệ vừa phải,không quá khó,nó phải mang tình khơi gợi kích thích cho người đọcVì topic này lập ra mang tính xây dựng là chính mà.Hi hì nếu có lời nào không phải mong mọi người bỏ quá cho.Ví dụ như hệ này:
Bài 29:$\left\{\begin{matrix}2x^2y+3xy=4x^2+9y \\ 7y+6=2x^2+9x \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hangochoanthien: 21-12-2011 - 00:40


#76 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 11-01-2012 - 13:28

Khơi dậy topic bằng một bài đơn giản:

Bài 30: Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{l}
{y^2} = {4^x} + 8\\
{2^{x + 1}} + y + 1 = 0
\end{array} \right.$$

#77 PhankFickVip

PhankFickVip

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 15-01-2012 - 20:44

Mấy bạn ơi sao mọi người viết công thưc kiểu gì đoa không hiểu nổi. Muốn lên tìm mấy bài mà chả hiểu gì cả

#78 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 26-03-2012 - 00:43

Bài 13 Hãy giải hệ phương trình:
$ \begin{cases} 3\sqrt{3}.x_1=cos(\pi.x_2) \\3\sqrt{3}.x_2=cos(\pi.x_3) \\3\sqrt{3}.x_3=cos(\pi.x_4) \\3\sqrt{3}.x_4=cos(\pi.x_1) \end{cases} $


Khởi động lại topic với lời giải cho bài 13.

Theo giả thiết, suy ra: $$\left| {{x_i}} \right| \le \frac{1}{{3\sqrt 3 }} < \frac{\pi }{2},\,\,\forall i = \overline {1,4} \Rightarrow \cos \pi {x_i} > 0,\,\,\,\forall i = \overline {1,4} $$
Nếu ${x_1} \ge {x_3}$ thì $\cos \pi {x_2} \ge \cos \pi {x_4} \Rightarrow {x_2} \le {x_4} \Rightarrow \cos \pi {x_3} \le \cos \pi {x_1} \Rightarrow {x_3} \ge {x_1}$

Do đó: ${x_1} = {x_3}$

Chứng minh tương tự, ta có: ${x_2} = {x_4}$

Từ đó ta có hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = {x_3}\\
{x_2} = {x_4}\\
{x_1} = \frac{1}{{3\sqrt 3 }}\cos \pi {x_2}\\
{x_2} = \frac{1}{{3\sqrt 3 }}\cos \pi {x_1}
\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_1} = {x_2} = {x_3} = {x_4} = \frac{1}{6}$$

#79 NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1, THPT Dương Quảng Hàm, Hưng Yên

Đã gửi 26-03-2012 - 18:44

Khơi dậy topic bằng một bài đơn giản:

Bài 30: Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{l}
{y^2} = {4^x} + 8\\
{2^{x + 1}} + y + 1 = 0
\end{array} \right.$$

lâu rồi không làm bài nào trên diễn đàn:

đặt $ 2^x=t $ thì hệ trở thành:
$\left\{\begin{matrix} y^2=t^2+8 & \\ 2t+y+1=0 & \end{matrix}\right.$

từ pt(2) rút y và thế vào PT(1) ta dc:

$ (1) \Leftrightarrow (1+2t)^2=t^2+8 $

$ \Leftrightarrow 3t^2+4t-7=0 $

$ \Leftrightarrow t=1 \or t=-\frac{7}{3} $

với $ t=1 $ thì $ x=0,y=-3 $
với $ t=-\frac{7}{3} $ dễ thấy vô nghiệm
  • MIM yêu thích
Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#80 NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1, THPT Dương Quảng Hàm, Hưng Yên

Đã gửi 26-03-2012 - 20:52

thêm 1 bài nữa vào đây:

bài 31: chứng minh rằng hệ sau chỉ có 2 nghiệm phân biệt:

$\left\{\begin{matrix} x+y^2+z^4=0 & & \\ y+z^2+x^4=0 & & \\ z+x^2+y^4=0 & & \end{matrix}\right.$
Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh