Mặc dù bài này không trong thể loại của topic nhưng mình xin giải để mọi người có thể tham khảo.Xin phép alex_hoang cho phép góp 1 hệ như sau:
Bài 15
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\arcsin x - x \le \arctan y - y\,\,\,\,(1)}\\{\arcsin y - y \le \arctan x - x\,\,\,\,(2)}\\{x,y \in \left[ {0,1} \right]}\end{array}} \right.$
Cộng (1) và (2), rồi rút gọn, ta thu được bất đẳng thức sau:
$\arcsin x + \arcsin y \le \arctan x + \arctan y\,\,\,\,\left( 3 \right)$
Xét hàm số: $f\left( x \right) = \arcsin x - \arctan x,\,\,\,x \in \left[ {0;1} \right]$.Ta có:
$f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} - \dfrac{1}{{1 + {x^2}}} \ge 1 - 1 = 0$
Do đó: $f\left( x \right) \ge f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow \arcsin x \ge \arctan x$. Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = 0$.
Làm tương tự, ta thu được $\arcsin y \ge \arctan y$.
Cộng hai bất đẳng thức trên, ta có:
$\arcsin x + \arcsin y \ge \arctan x + \arctan y\,\,\,\,\left( 4 \right)$
Từ (3) và (4) suy ra $\arcsin x + \arcsin y = \arctan x + \arctan y$.
Đẳng thức xảy ra khi $x = y = 0$. Đây chính là nghiệm của hệ bất phương trình.