Chủ đề này có 2 trả lời

[everlasting]

Chứng minh rằng, với mọi n thuộc N
a) $ 7^{4n} -1$ chia hết cho 5.
b) $3^{4n+1} +2$ chia hết cho 5.
c) $9^{2n+1} +1$ chia hết cho 10.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 26-08-2011 - 15:12

[Didier]

Chứng minh rằng, với mọi n thuộc N
a) 7^{4n} -1 chia hết cho 5
b) 3^{4n+1} +2 chia hết cho 5
c) 9^[2n+1} +1 chia hết cho 10

1)$ 7^{4} \equiv 1(mod 5) \Rightarrow 7^{4n} \equiv 1(mod 5) \Rightarrow 7^{4n} -1 \vdots 5$
2)$ 3^{4n+1}=3^{4n}.3 \equiv 1.3 \equiv 3(mod 5) \Rightarrow 3^{4n+1} +2 \vdots 5$
3)$ 9^{2n+1} +1$ chẵn nên $ 9^{2n+1} +1 \vdots 2 $
mà$ 9^{2n+1}=9^{2n}.9 \equiv 1.4 \equiv 4(mod 5) \Rightarrow 9^{2n+1} +1 \vdots 5$
lại có $ (2,5)=1 \Rightarrow 9^{2n+1} +1 \vdots 10$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 26-08-2011 - 12:02

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Chứng minh rằng, với mọi n thuộc N
a) $ 7^{4n} -1$ chia hết cho 5.
b) $3^{4n+1} +2$ chia hết cho 5.
c) $9^{2n+1} +1$ chia hết cho 10.

Giải

Chú ý : $( a + b )^n = a.k + b^n ( k \in N)$
a, Ta có:
$7^{4n} - 1 = ( 7^2)^{2n} - 1 = 49^{2n} - 1 = ( 50 - 1 )^{2n} - 1$

$ = 50k + ( - 1 )^{2n} - 1 = 50k + 1 - 1 = 50k ( k \in N)_ $ $\vdots$ $5$

b, Ta có $3^{4n + 1} + 2 = (3^{4})^n.3 + 2 = 81^n .3 + 2$

$ = ( 80 + 1 )^n.3 + 2 = 80k + 1.3 + 2 = 80k + 5 (k \in N)$ $\vdots $ $5$

c, Ta có:
$9^{2n + 1} + 1 = (9^2)^n.9 + 1 = 81^n.9 + 1 = ( 80 + 1 )^n.9 + 1$

$= (80k + 1).9 + 1 = 720k + 10 (k \in N)$ $\vdots$ $10$