Chủ đề này có 17 trả lời

[Nguyễn Văn Bảo Kiên]

Chứng minh rằng mỗi phương trình sau không có nghiệm nguyên
Bài 1: $3x^{5}-x^{3}+6x^{2}-15x=2001$
Bài 2:$|x-y|+|x-z|+|z-x|=2015$

[perfectstrong]

Bài 1: Giả sử t�ồn tại nghiệm nguyên x.
Từ pt đã cho, suy ra $x^3 \vdots 3 \Rightarrow x \vdots 3 \Rightarrow x=3k(k \in \math{Z})$
Thế vào pt, VT pt là một số chia hết cho 9 nên VP chia hết cho 9 hay $2001 \vdots 9:False \Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 26-08-2011 - 21:35

[Để tử Wallunint]

ừ hè!máy anh ơi!vd trong bài toán bắt tìm ngiệm nguyên hay tìm số x để A nguyên là mình phải làm làm sao!
perfectstrong giải sao khó hỉu quá!ai giải rõ xí nha!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Để tử Wallunint: 27-08-2011 - 05:51

[Zaraki]

Chứng minh rằng mỗi phương trình sau không có nghiệm nguyên
Bài 1: $3x^{5}-x^{3}+6x^{2}-15x=2001$
Bài 2:$|x-y|+|x-z|+|z-x|=2015$

Bài 1. Vế phải chia hết cho $3$, nên vế trái phải chia hết cho $3$, hay $x^3 \vdots 3 \Rightarrow x \vdots 3$. Khi đó vế trái chia hết cho $9$, còn vế phải không chia hết cho $9$. Pt vô nghiệm.
P/s: Cách giải của anh perfectstrong quá đầy đủ rồi đó bạn.
Bài 2. Ta có $|x-y|+|y-z|+|z-x|=2015$
$ \Leftrightarrow |x-y| +|y-z|+|z-x|+(x-y)+(y-z)+(z-x)=2015$
$ \Leftrightarrow (|x-y|+x-y)+(|y-z|+y-z)(|z-x|+z-x)=2015 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$
Ta thấy:
+ Nếu $x \ge y$ thì $|x-y|+x-y=2x$, là số chẵn.
+ Nếu $x<y$ thì $|x-y|+x-y=0$, cũng là số chẵn.
Do đó $|x-y|+x-y$ là số chẵn.
Tương tự $|y-z|+y-z$ và $|z-x|+z-x$ đều là số chẵn.
Như vậy phương trình $(1)$ không có nghiệm vì bên trái là số chẵn, bên phải là số lẻ.

[Nguyễn Văn Bảo Kiên]

Bài tiếp nè:
Bài 3: $x^{2}=2x^{2}-8x+3$
Bài 4: $x^{5}-5x^{3}+4x=24(5y+1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pantorres: 31-08-2011 - 20:49

[Mr.thaipro(^_^)]

Bài tiếp nè:
Bài 4: $x^{5}-5x^{3}+4x=24(5y+1)$

$VT=(x-2)(x-1)(x)(x+1)(x+2)\vdots 5$
Mặt khác VP không chia hết cho 5
Do đó PT vô nghiệm.

[¸.¤°•Rajn•°¤.¸]

Bài 2. Ta có $|x-y|+|y-z|+|z-x|=2015$
$ \Leftrightarrow |x-y| +|y-z|+|z-x|+(x-y)+(y-z)+(z-x)=2015$

Anh Phạm Quang Toàn chỉ e chút
...Sao ma` 2 dòng này tương đương nhau dc z ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ¸.¤°•Rajn•°¤.¸: 31-08-2011 - 20:53

[Zaraki]

Anh Phạm Quang Toàn chỉ e chút
...Sao ma` 2 dòng này tương đương nhau dc z ?

Bạn thử nghĩ kĩ coi, sở dĩ chúng tương đương nhau là vì $(x-y)+(y-z)+(z-x)=0$ mà bạn.

[Zaraki]

Bài tiếp nè:
Bài 3: $x^{2}=2x^{2}-8x+3$

Vế trái chia $8$ dư $0,1,4$. Còn vế phải chia $8$ dư $3$ (nếu $y$ chẵn) hoặc dư $5$ (nếu $y$ lẻ).
Như vậy pt không có nghiệm nguyên.

[tuithichtoan]

Bạn thử nghĩ kĩ coi, sở dĩ chúng tương đương nhau là vì $(x-y)+(y-z)+(z-x)=0$ mà bạn.

oh. nhưng đề bài đâu có cho và bạn cũng chưa chứng minh được sao đã kết luận vậy rùi

[Minhnguyenquang75]

oh. nhưng đề bài đâu có cho và bạn cũng chưa chứng minh được sao đã kết luận vậy rùi

Dễ thấy mà. Ta phá ngoặc ra:
(x-y)+(y-z)+(z-x) = x - y + y - z + z - x = 0 (hiển nhiên = 0 k cần chứng minh )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenquang75: 01-09-2011 - 12:48

[Nguyễn Văn Bảo Kiên]

Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên dương
Bài 5:$11x+1999y=11.1999$

[Zaraki]

Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên dương
Bài 5:$11x+1999y=11.1999$

Ta thấy $1999y \vdots 11 \rightarrow y \vdots 11$.
Do $y$ là số nguyên dương nên $y \ge 11$. Nên $1999y \ge 1999.11$.
Suy ra $11x+1999y \ge 1999.11$
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.

[Nguyễn Văn Bảo Kiên]

Bài 6 :Tìm nghiệm nguyên của phương trình
$x+y+xy=x^{2}+y^{2}$

[Didier]

Bài 6 :Tìm nghiệm nguyên của phương trình
$x+y+xy=x^{2}+y^{2}$

$ x+y+xy=x^{2}+y^{2}$
$ \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-xy-x-y=0$
$ \Leftrightarrow x^{2}-X (y+1)+y^{2}-y=0$
$ \Leftrightarrow \bigtriangleup =-3y^{2}+6y+1\geq 0$
$ \Leftrightarrow 2\geq y> 0$
$ \Leftrightarrow y=1Vy=2$
từ đó ta có x

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 01-09-2011 - 16:33

[tuithichtoan]

Bài 6 :Tìm nghiệm nguyên của phương trình
$x+y+xy=x^{2}+y^{2}$

ta nhân cả 2 vế của pt với 2:$2(x^{2}+y^{2})=2x+2y+2xy$
ghép lại, ta được:
$\left ( x^{2}+y^{2}-2xy \right )+(x^{2}-2x+1)+(y^{2}-2y+1)=2$
$(x-y)^{2}+(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=2$
vì x,y nguyên, nên ta tìm được 2 cặp số:(x,y) {(2,1);(2,2)}

[Nguyễn Văn Bảo Kiên]

Bài 7: Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên x để biểu thức sau là số chính phương:
$(1+2+3+...+x)(1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+x^{2}).$

[Zaraki]

Bài 7: Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên x để biểu thức sau là số chính phương:
$(1+2+3+...+x)(1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+x^{2}).$

Ta đặt $(1+2+3+...+x)(1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+x^{2})=y^2$. Áp dụng công thức $1+2+3+...+x= \dfrac{(x+1)x}{2}$ và $1^2+2^2+3^2+...+x^2= \dfrac{(x+1)(2x+1)x}{6}$.

Khi đó ta được $\dfrac{(x+1)x}{2}. \dfrac{(x+1)(2x+1)x}{6}=y^2 \leftrightarrow \dfrac{x^2(x+1)^2}{4}. \dfrac{2x+1}{3}=y^2$.

Ta phải có $\dfrac{2x+1}{3}=(2n+1)^2$ với $n$ nguyên.
Phương trình này có vô số nghiệm nguyên dạng $x=6n^2+6n+1$ nên có vô hạn số $x$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 01-09-2011 - 21:40