Chủ đề này có 39 trả lời

[Cao Xuân Huy]

Làm bài 6:
$f(x) = (x^2 + 2x - 15)(x - 1)(x + 7) = (x - 3)(x + 5)(x - 1)(x + 7)$
Nhân đầu với cuối với nhau, hai cái giữa với nhau ta được:
$f(x) = (x^2 + 4x - 21)(x^2 + 4x - 5)$
Đặt $t = x^2 + 4x - 21$ thì:
$f(x) = t(t + 16) = t^2 + 16t + 64 - 64 = (t + 8)^2 - 64 \ge - 64$
Do đó f(x) nhỏ nhất là -64 khi:
$t = - 8 \Leftrightarrow x^2 + 4x - 21 = - 8 \Leftrightarrow x^2 + 4x - 13 = 0 \Leftrightarrow x = - 2 \pm \sqrt {17} $

[MyLoVeForYouNMT]

Bài 1: giải các phương trình và hệ phương trình sau:
1) $\sqrt{\dfrac{1}{2x}+\sqrt{x-1}}+\sqrt{\dfrac{1}{2x}-\sqrt{x-1}}=\sqrt{2}$

Chém nốt bài nì:
Bình cả 2 vế lên ta đc:
$ \dfrac{1}{x}+2( \dfrac{1}{2x}+ \sqrt{x-1})( \dfrac{1}{2x}- \sqrt{x-1})=2$
$ \Leftrightarrow 2(\dfrac{1}{4x}-x+1)+ \dfrac{1}{x}=2 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2x^{2}}-2x+\dfrac{1}{x}=0 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{1-x+2x^{3}}{2x^{2}}=0 $
$ \Leftrightarrow 1-x+2x^{3}=0 $(do $x \neq 0 $
Dễ dàng giải pt trên
$ \Leftrightarrow x=-1 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thatlong_anh_xinloi_em: 03-09-2011 - 13:29

[Cao Xuân Huy]

b) Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn:

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=8$

Tìm $P_{max}=\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}$

Tớ làm bài này nha bạn đệ tử Wallunint

Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng phân thức ta có $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x} \geq \dfrac{16}{2x+y+z}$

Tương tự ta cũng có $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{16}{x+2y+z}$

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{z} \geq \dfrac{16}{x+y+2z}$

Cộng 3 BĐT vế theo vế là ok
p/s: U mới post thui mờ, tốt nhất nên suy nghĩ đã rồi nhờ "anh bảo chung" giúp . À mà tớ khá kém phần hình nên lúc nào cậu học xong chương trình thì post nhá :-*

Ngoài lề tí, đây hình như cũng là BĐT AM-HM (BĐT giữa trung bình cộng và trung bình điều hòa) với n=3.
Bạn Đệ tử walluint sớm post bài cho mọi người cùng làm nhé

[Để tử Wallunint]

Trung bình cộng và trung bình điều hòa? Mới quá! Máy bác học BĐT ở đâu vậy?

Mod: Trong bài viết không được sử dụng ngôn ngữ chat. Em có thể học thêm về các kiến thức cơ bản của BĐT trong box Bất đẳng thức và cực trị (THCS). Việc cọ xát nhiều sẽ giúp em có kinh nghiệm để giải dạng toán này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 04-09-2011 - 06:55

[perfectstrong]

Bài 2 :1/Cho $x=\sqrt[3]{1+\sqrt{65}}-\sqrt[3]{\sqrt{65}-1} $
Tính:$A=x^{3}+12x+2009$
2/a/Cho x;y>0 chứng minh :
$\dfrac{2}{x^{2}+2y^{2}+3}\leq \dfrac{1}{xy+y+1}$
b/a;b;c>0 và abc=1. Tìm min của A, biết
$A=\dfrac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\dfrac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\dfrac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}$
3/giải phương trình: a) $\sqrt{x^{2}+9}+y=\sqrt{y^{2}+9}+x=9$
b)$13x+2(3x+2)\sqrt{x+3}+42=0$
4/Cho : $a(a+3)x^{2}-2x- (a+1)(a+2)=0$ với a là tham số
a)Chứng minh phương trình luôn có ngiệm hữu tỹ
b)Xác định a để phương trình có các ngiệm đều nguyên
Cho em kinh ngiệm về cách làm và hiểu về máy cái bài về hữu tỹ và ngiệm nguyên như trên!

Mod: Mình tách bài giúp bạn. bạn nên trình bày tách ra để dễ nhìn và theo dõi nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 05-09-2011 - 18:39

[MyLoVeForYouNMT]

Bài 2 :1/Cho $x=\sqrt[3]{1+\sqrt{65}}-\sqrt[3]{\sqrt{65}-1} $
Tính:$A=x^{3}+12x+2009$
2/a/Cho x;y>0 chứng minh :
$\dfrac{2}{x^{2}+2y^{2}+3}\leq \dfrac{1}{xy+y+1}$

Bài2:
1):
$ x^{3}+12x$
$=(\sqrt[3]{1+\sqrt{65}}-\sqrt[3]{\sqrt{65}-1})^{3}+12(\sqrt[3]{1+\sqrt{65}}-\sqrt[3]{\sqrt{65}-1})$
$=2-3(\sqrt[3]{1+\sqrt{65}}.\sqrt[3]{\sqrt{65}-1})(\sqrt[3]{1+\sqrt{65}}-\sqrt[3]{\sqrt{65}-1)}+12(\sqrt[3]{1+\sqrt{65}}-\sqrt[3]{\sqrt{65}-1)}$
$=3\sqrt[3]{65-1}.(\sqrt[3]{1+\sqrt{65}}-\sqrt[3]{\sqrt{65}-1})-12(\sqrt[3]{1+\sqrt{65}}-\sqrt[3]{\sqrt{65}-1})$
$=2$
$ \Rightarrow A=2+2009=2011$
(đúng với năm nay lun)
2):
$ PT \Leftrightarrow 2(xy+y+1)\leq x^{2}+2y^{2}+3 $
$ \Leftrightarrow x^{2}-2xy+y^{2}+y^{2}-2y+1\geq 0 $
$ \Leftrightarrow (x-y)^{2}+(y-1)^{2}\geq 0 $
Luôn đúng với mọi x,y
$ \Rightarrow \fbox{DPCM}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 05-09-2011 - 18:44

[Cao Xuân Huy]

Bài 4:
a)Phương trình có:
$a - b + c = a(a + 3) + 2 - (a + 1)(a + 2) = a^2 + 3a + 2 - a^2 - 3a - 2 = 0$
Do đó phương trình luôn có nghiệm hữu tỉ là -1 với mọi m
b)Khi hệ số bạc 2 là 0, hay a=0 hoặc a=-3 thì phương trình là phương trình bậc nhất có nghiệm là 1, thỏa mãn đề bài.
Khi hệ số bậc 2 khác 0 thì ta có $x_1 = - 1 \in Z$
và $x_2 = \dfrac{{ - c}}{a} = \dfrac{{(a + 1)(a + 2)}}{{a(a + 3)}} = \dfrac{{a^2 + 3a + 2}}{{a^2 + 3a}} = 1 + \dfrac{2}{{a(a + 3)}}$
Do đó để phương trình có các nghiệm đều nguyên thì a(a+3) là ước của 2:
$\left[ \begin{array}{l} a(a + 3) = 2 \\ a(a + 3) = - 2 \\ a(a + 3) = 1 \\ a(a + 3) = - 1 \\ \end{array} \right.$
Tới đây bạn giải ra các nghiệm của các phương trình bậc 2 từ và hai số a=0 và a=-3 là ok thôi

P/S: Bạn Đệ tử walluint tên thật là gì, học trường nào

[Để tử Wallunint]

Mình tên phi!trường nguyễn huệ!
Anh strong tách thì đừng xóa trong tupic em nha!để em dễ nhìn làm riêng rùi so sách kết quả!chứ anh tách rok em nhìn đui mắt!có chi em tách ra sau nha!
--Các bạn coi lại đề nha!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Để tử Wallunint: 04-09-2011 - 15:49

[perfectstrong]

Bài 2: 2/
a) Tương đương thôi.
b)
Đề phải là thế này chứ nhỉ:
$\dfrac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\dfrac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\dfrac{1}{c^{2}+2a^{2}+3} \le 1$
Sử dụng câu a, ta có:
$LHS \le \dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{1}{bc+c+1}+\dfrac{1}{ca+a+1}$
$=\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{ab}+1}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{b}+a+1}$
$=\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{ab}{ab+b+1}+\dfrac{b}{ab+b+1}=1$

[Để tử Wallunint]

Anh strong coi lại đề trên cùng! bài nok tìm min anh
Còn máy bài kìa! anh nào vào chém nhanh đy!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Để tử Wallunint: 05-09-2011 - 14:35

[perfectstrong]

Bài 2:2/b)
Bài này không có min đâu em. Khi a,b tăng dần thì c giảm. A cũng giảm theo, tiến đến 0.

Bài 2:3/
a)đk: $x;y \le 9$
$\left\{ \begin{gathered} \sqrt {x^2 + 9} = 9 - y \hfill \\ \sqrt {y^2 + 9} = 9 - x \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x^2 + 9 = 81 - 18y + y^2 \hfill \\ y^2 + 9 = 81 - 18x + x^2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$ \Rightarrow x^2 + y^2 + 18 = 162 - 18\left( {x + y} \right) + x^2 + y^2 $

$ \Leftrightarrow x + y = 8$
Tới đây thế lại là xong. Đáp số $(x;y)=(4;4)$
b) ĐK: $x \ge -3$
$VT \ge 13.(-3)+2.(3.(-3)+2).0+42 = 3 >VP$ nên pt vô nghiệm

[Để tử Wallunint]

Xong r anh!
Perfectstrong: Em nói còn bài mấy vậy ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Để tử Wallunint: 07-09-2011 - 07:46

[Cao Xuân Huy]

Mấy đề luyện này mình thấy thiếu phần hình học

[Minhnguyenquang75]

Mấy đề luyện này mình thấy thiếu phần hình học

Phần hình học tốt nhất là nên post ở box Hình học em ạ.

[Nguyễn Hữu Huy]

Bài 2: 2/
a) Tương đương thôi.
b)
Đề phải là thế này chứ nhỉ:
$\dfrac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\dfrac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\dfrac{1}{c^{2}+2a^{2}+3} \le 1$
Sử dụng câu a, ta có:
$LHS \le \dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{1}{bc+c+1}+\dfrac{1}{ca+a+1}$
$=\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{ab}+1}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{b}+a+1}$
$=\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{ab}{ab+b+1}+\dfrac{b}{ab+b+1}=1$

Mình khá là gà phần đttnt nên cứ gặp dạng đó là mìh tịt !
Ta có
$a^2 + b^2 \geq 2ab$
$b^2 + 1 \geq 2b$

$a^2 + 2b^2 + 3 \geq 2(ab + b + 1)$
Ném vào mẫu căn thức ta đc bđt ngược chiều

$\dfrac{2}{a^2 + 2b^2 + 3} \leq \dfrac{1}{ab + b + 1}$

Bài 2 áp dụng => OK

[hoa_giot_tuyet]

Bài2:
1):
$ x^{3}+12x$
$=(\sqrt[3]{1+\sqrt{65}}-\sqrt[3]{\sqrt{65}-1})^{3}+12(\sqrt[3]{1+\sqrt{65}}-\sqrt[3]{\sqrt{65}-1})$
$=2-3(\sqrt[3]{1+\sqrt{65}}.\sqrt[3]{\sqrt{65}-1})(\sqrt[3]{1+\sqrt{65}}-\sqrt[3]{\sqrt{65}-1)}+12(\sqrt[3]{1+\sqrt{65}}-\sqrt[3]{\sqrt{65}-1)}$
$=3\sqrt[3]{65-1}.(\sqrt[3]{1+\sqrt{65}}-\sqrt[3]{\sqrt{65}-1})-12(\sqrt[3]{1+\sqrt{65}}-\sqrt[3]{\sqrt{65}-1})$
$=2$
$ \Rightarrow A=2+2009=2011$
(đúng với năm nay lun)

[/size][/font]

Bài này nếu đặt $ \sqrt[3]{1+\sqrt{65}} = a, \sqrt[3]{\sqrt{65}-1} = b$
rồi $x^3 = a^3 - b^2 - 3ab(a-b) = 1+\sqrt{65} - \sqrt{65} + 1 - 3.\sqrt[3]{(1+\sqrt{65})(\sqrt{65}-1)}.x \\ = 2 - 12x$

Thì sẽ nhanh, ngắn gọn và dễ hiểu hơn nhìu

[Để tử Wallunint]

ủa! x đâu ra vậy!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Để tử Wallunint: 11-09-2011 - 14:58

[Để tử Wallunint]

Chắc các bạn chưa thấy!Mình upupupup....

[Viet Hoang 99]

Bài 2:2/b)
Bài này không có min đâu em. Khi a,b tăng dần thì c giảm. A cũng giảm theo, tiến đến 0.

Bài 2:3/
a)đk: $x;y \le 9$
$\left\{ \begin{gathered} \sqrt {x^2 + 9} = 9 - y \hfill \\ \sqrt {y^2 + 9} = 9 - x \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x^2 + 9 = 81 - 18y + y^2 \hfill \\ y^2 + 9 = 81 - 18x + x^2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$ \Rightarrow x^2 + y^2 + 18 = 162 - 18\left( {x + y} \right) + x^2 + y^2 $

$ \Leftrightarrow x + y = 8$
Tới đây thế lại là xong. Đáp số $(x;y)=(4;4)$
b) ĐK: $x \ge -3$
$VT \ge 13.(-3)+2.(3.(-3)+2).0+42 = 3 >VP$ nên pt vô nghiệm

HEHE

ý $b$ sai anh ơi

$3x+2\geq -7$ chưa rõ âm dương sao làm thế được.

[nguyenhongsonk612]

Bài 2: 2/
a) Tương đương thôi.
b)
Đề phải là thế này chứ nhỉ:
$\dfrac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\dfrac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\dfrac{1}{c^{2}+2a^{2}+3} \le 1$
Sử dụng câu a, ta có:
$LHS \le \dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{1}{bc+c+1}+\dfrac{1}{ca+a+1}$
$=\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{ab}+1}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{b}+a+1}$
$=\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{ab}{ab+b+1}+\dfrac{b}{ab+b+1}=1$

Nhân $2$ vào mới sử dụng được BĐT câu $a$ chứ anh