Đến nội dung

Hình ảnh

Giải phương trình nghiệm nguyên $y^2=x^3-432$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Giải phương trình nghiệm nguyên $y^2=x^3-432$


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
marcoreus101

marcoreus101

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 235 Bài viết

Giải phương trình nghiệm nguyên $y^2=x^3-432$

Từ pt $\Leftrightarrow x^3=y^2+432$

Dễ thấy $y^2+432$ phải là số lập phương đúng. Vì vậy $6^3(y^2+432)=216(y^2+432)$ cũng là số lập phương đúng

Mà $216(y^2+432)=(y+36)^3-(y-36)^3$ nên thay vao phương trình ban đầu, ta có:

$(6x)^3+(y-36)^3=(y+36)^3 (1)$

Mặt khác, theo định lí $Fermat$ lớn, phương trình $a^3+b^3=c^3$ không có nghiệm nguyên khác 0 nên $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi

$\left\{\begin{matrix} & y-36=0 & \\ & y+36=0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow y=\pm 36$

Thay vào phương trình đầu, tính được $x=12$.

Vậy phương trình có hai nghiệm $(x,y)=(12,36);(12,-36);$



#3
Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Giải phương trình nghiệm nguyên $y^2=x^3-432$ $(\star )$

 

$\bullet$ $\texttt{Solution}$

Nhận xét : $x,y$ cùng tính chẵn lẻ

$\blacklozenge$ Nếu $x,y$ chẵn. Đặt $x=2x_1,y=2y_1(x_1,y_1\in \mathbb{Z})$ 

Khi đó $(\star )$$\Leftrightarrow 4y_1^2=8x_1^3-432\Leftrightarrow y_1^2=2x_1^3-108.$

Suy ra $y_1$ chẵn, đặt $y_1=2y_2$ $(y_2\in \mathbb{Z})$

Khi đó $(\star )\Leftrightarrow 4y_2^2=2x_1^3-108\Leftrightarrow 2y_2^2=x_1^3-54$

Suy ra $x_1$ chẵn, đặt $x_1=2x_2(x_2\in \mathbb{Z})$

Khi đó $(\star )\Leftrightarrow 2y_2^2=8x_2^3-54\Leftrightarrow 4x_2^3=y_2^2+27$ $(\bigstar )$

Ta thấy có nghiệm $(x_{2},y_2)$ thì cũng sẽ có nghiệm $(x_2,-y_2)$

Giả sử $y_2<0$. Hiển nhiên $x_2>0$

Có : Hàm $f(y_2)=y_2^2+27$ nghịch biến                                   

       Hàm $f(x_2)=4x_2^3$ đồng biến 

Mà bằng phép thử ta thấy $(\bigstar )$ có nghiệm $(3,-9)$ nên đó là nghiệm duy nhất.

Suy ra phương trình $(\bigstar)$ có nghiệm $(3;\pm 9)$ $\Rightarrow$ Tìm được nghiệm của phương trình $(\star)$

 

$\blacklozenge$ Nếu $x.y$ lẻ.

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 23-08-2015 - 21:42

$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#4
hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết

Một tài liệu về dạng phương trình $y^{2}+k=x^{3}$ này 

File gửi kèm



#5
hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết

Từ pt $\Leftrightarrow x^3=y^2+432$

Dễ thấy $y^2+432$ phải là số lập phương đúng. Vì vậy $6^3(y^2+432)=216(y^2+432)$ cũng là số lập phương đúng

Mà $216(y^2+432)=(y+36)^3-(y-36)^3$ nên thay vao phương trình ban đầu, ta có:

$(6x)^3+(y-36)^3=(y+36)^3 (1)$

Mặt khác, theo định lí $Fermat$ lớn, phương trình $a^3+b^3=c^3$ không có nghiệm nguyên khác 0 nên $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi

$\left\{\begin{matrix} & y-36=0 & \\ & y+36=0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow y=\pm 36$

Thay vào phương trình đầu, tính được $x=12$.

Vậy phương trình có hai nghiệm $(x,y)=(12,36);(12,-36);$

Cho mình hỏi một chút là sao bạn có ý tưởng dùng hệ số $6$ để tạo thành lập phương đúng của đoạn tô đỏ mà không phải là một hệ số khác hay đó chỉ là cảm nhận.



#6
marcoreus101

marcoreus101

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 235 Bài viết

Cho mình hỏi một chút là sao bạn có ý tưởng dùng hệ số $6$ để tạo thành lập phương đúng của đoạn tô đỏ mà không phải là một hệ số khác hay đó chỉ là cảm nhận.

Ý tưởng của bài này là dùng định lí $Fermat$ lớn nên thường chỉ có 2 nghiệm trái dấu

Xét các số $x>8$ thì $x=12$ thỏa là nghiệm nên nghĩ đến việc tạo ra $(y-36)^3$ và $(y+36)^3$.

Trừ hai cái đó đi thì có hệ số $216=6^3$

Ý tưởng này giống một bài thi KHTN nào đó, câu biến đổi đại số

"Cảm nhận" nghe hơi vô lí nhỉ






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh