Giải phương trình nghiệm nguyên $y^2=x^3-432$
Giải phương trình nghiệm nguyên $y^2=x^3-432$
#1
Đã gửi 29-08-2011 - 15:38
- anhtukhon1, Mikhail Leptchinski, O0NgocDuy0O và 2 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 22-08-2015 - 16:41
Giải phương trình nghiệm nguyên $y^2=x^3-432$
Từ pt $\Leftrightarrow x^3=y^2+432$
Dễ thấy $y^2+432$ phải là số lập phương đúng. Vì vậy $6^3(y^2+432)=216(y^2+432)$ cũng là số lập phương đúng
Mà $216(y^2+432)=(y+36)^3-(y-36)^3$ nên thay vao phương trình ban đầu, ta có:
$(6x)^3+(y-36)^3=(y+36)^3 (1)$
Mặt khác, theo định lí $Fermat$ lớn, phương trình $a^3+b^3=c^3$ không có nghiệm nguyên khác 0 nên $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi
$\left\{\begin{matrix} & y-36=0 & \\ & y+36=0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow y=\pm 36$
Thay vào phương trình đầu, tính được $x=12$.
Vậy phương trình có hai nghiệm $(x,y)=(12,36);(12,-36);$
- Zaraki, anhtukhon1, chanhquocnghiem và 19 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 23-08-2015 - 18:23
Giải phương trình nghiệm nguyên $y^2=x^3-432$ $(\star )$
$\bullet$ $\texttt{Solution}$
Nhận xét : $x,y$ cùng tính chẵn lẻ
$\blacklozenge$ Nếu $x,y$ chẵn. Đặt $x=2x_1,y=2y_1(x_1,y_1\in \mathbb{Z})$
Khi đó $(\star )$$\Leftrightarrow 4y_1^2=8x_1^3-432\Leftrightarrow y_1^2=2x_1^3-108.$
Suy ra $y_1$ chẵn, đặt $y_1=2y_2$ $(y_2\in \mathbb{Z})$
Khi đó $(\star )\Leftrightarrow 4y_2^2=2x_1^3-108\Leftrightarrow 2y_2^2=x_1^3-54$
Suy ra $x_1$ chẵn, đặt $x_1=2x_2(x_2\in \mathbb{Z})$
Khi đó $(\star )\Leftrightarrow 2y_2^2=8x_2^3-54\Leftrightarrow 4x_2^3=y_2^2+27$ $(\bigstar )$
Ta thấy có nghiệm $(x_{2},y_2)$ thì cũng sẽ có nghiệm $(x_2,-y_2)$
Giả sử $y_2<0$. Hiển nhiên $x_2>0$
Có : Hàm $f(y_2)=y_2^2+27$ nghịch biến
Hàm $f(x_2)=4x_2^3$ đồng biến
Mà bằng phép thử ta thấy $(\bigstar )$ có nghiệm $(3,-9)$ nên đó là nghiệm duy nhất.
Suy ra phương trình $(\bigstar)$ có nghiệm $(3;\pm 9)$ $\Rightarrow$ Tìm được nghiệm của phương trình $(\star)$
$\blacklozenge$ Nếu $x.y$ lẻ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 23-08-2015 - 21:42
$ \textbf{NMQ}$
Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come
Just take off her or give me a ride
Give me one day or one hour or just one minute for a short word
#4
Đã gửi 23-08-2015 - 18:26
#5
Đã gửi 25-08-2015 - 20:17
Từ pt $\Leftrightarrow x^3=y^2+432$
Dễ thấy $y^2+432$ phải là số lập phương đúng. Vì vậy $6^3(y^2+432)=216(y^2+432)$ cũng là số lập phương đúng
Mà $216(y^2+432)=(y+36)^3-(y-36)^3$ nên thay vao phương trình ban đầu, ta có:
$(6x)^3+(y-36)^3=(y+36)^3 (1)$
Mặt khác, theo định lí $Fermat$ lớn, phương trình $a^3+b^3=c^3$ không có nghiệm nguyên khác 0 nên $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi
$\left\{\begin{matrix} & y-36=0 & \\ & y+36=0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow y=\pm 36$
Thay vào phương trình đầu, tính được $x=12$.
Vậy phương trình có hai nghiệm $(x,y)=(12,36);(12,-36);$
Cho mình hỏi một chút là sao bạn có ý tưởng dùng hệ số $6$ để tạo thành lập phương đúng của đoạn tô đỏ mà không phải là một hệ số khác hay đó chỉ là cảm nhận.
#6
Đã gửi 25-08-2015 - 21:33
Cho mình hỏi một chút là sao bạn có ý tưởng dùng hệ số $6$ để tạo thành lập phương đúng của đoạn tô đỏ mà không phải là một hệ số khác hay đó chỉ là cảm nhận.
Ý tưởng của bài này là dùng định lí $Fermat$ lớn nên thường chỉ có 2 nghiệm trái dấu
Xét các số $x>8$ thì $x=12$ thỏa là nghiệm nên nghĩ đến việc tạo ra $(y-36)^3$ và $(y+36)^3$.
Trừ hai cái đó đi thì có hệ số $216=6^3$
Ý tưởng này giống một bài thi KHTN nào đó, câu biến đổi đại số
"Cảm nhận" nghe hơi vô lí nhỉ
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh