Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chuyên đề: Lượng giác và ứng dụng


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 30-08-2011 - 10:16

Mình xin mở topic này để mọi người cùng đưa ra một số bài toán LG và ứng dụng của LG để giải toán rồi cùng thảo luận, góp một phần nhỏ cho VMF. Mong mọi người ủng hộ để pic hoạt động sôi nổi.

Thân!

Mở đầu là 2 bài toán.

Bài 1: Tính tổng các nghiệm $x \in \left[ {0;100} \right]$ của phương trình sau:
$\dfrac{{{{\cos }^3}x - {{\cos }^2}x + 1}}{{{{\cos }^2}x}} = \cos 2x + t{g^2}x$
Bài 2: Giải phương trình: $7{\sin ^2}x + 2\sin 2x - 3{\cos ^2}x - 3\sqrt[3]{{15}} = 0$


#2 khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Địa ngục

Đã gửi 02-10-2011 - 21:07

Mình xin mở topic này để mọi người cùng đưa ra một số bài toán LG và ứng dụng của LG để giải toán rồi cùng thảo luận, góp một phần nhỏ cho VMF. Mong mọi người ủng hộ để pic hoạt động sôi nổi.

Thân!

Mở đầu là 2 bài toán.

Bài 1: Tính tổng các nghiệm $x \in \left[ {0;100} \right]$ của phương trình sau:
$\dfrac{{{{\cos }^3}x - {{\cos }^2}x + 1}}{{{{\cos }^2}x}} = \cos 2x + t{g^2}x$
Bài 2: Giải phương trình: $7{\sin ^2}x + 2\sin 2x - 3{\cos ^2}x - 3\sqrt[3]{{15}} = 0$

Bài 1:
ĐK: $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi $
$\begin{array}{l}
\dfrac{{{{\cos }^3}x - {{\cos }^2}x + 1}}{{{{\cos }^2}x}} = \cos 2x + {\tan ^2}x\\
\Leftrightarrow \cos x - 1 + 1 + {\tan ^2}x = \cos 2x + {\tan ^2}x\\
\Leftrightarrow \cos x = \cos 2x\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k2\pi \\
x = k\dfrac{{2\pi }}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = k\dfrac{{2\pi }}{3}
\end{array}$
Việc tính tổng chỉ là áp dụng tính chất của cấp số cộng

Bài 2: Đây là phương trình dạng $a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d$

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#3 CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1454 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-10-2011 - 11:57

Ongtroi tiếp xusinst 2 bài vậy:

Bài 3:
Giải phương trình: $cosx-3\sqrt{3}sinx=cos7x$

Bài 4:
Cho tam giác ABC, tìm GTLN của biểu thức:
$M=\dfrac{sin^2A+sin^2B+sin^2C}{cos^2A+cos^2B+cos^2C}$

#4 khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Địa ngục

Đã gửi 05-10-2011 - 19:55

Bài 4:
Cho tam giác ABC, tìm GTLN của biểu thức:
$M=\dfrac{sin^2A+sin^2B+sin^2C}{cos^2A+cos^2B+cos^2C}$

Bài này dùng 2 bất đẳng thức:
$\begin{array}{l}
{\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C \le \dfrac{9}{4}\\
{\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C \ge \dfrac{3}{4}
\end{array}$
Ta được $\max M = 3$

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#5 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 06-10-2011 - 21:19

Tiếp bài giải của khanh3570883 cho hoàn chỉnh.
Bài 1:
ĐK: $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi $
$\begin{array}{l}
\dfrac{{{{\cos }^3}x - {{\cos }^2}x + 1}}{{{{\cos }^2}x}} = \cos 2x + {\tan ^2}x\\
\Leftrightarrow \cos x - 1 + 1 + {\tan ^2}x = \cos 2x + {\tan ^2}x\\
\Leftrightarrow \cos x = \cos 2x\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k2\pi \\
x = k\dfrac{{2\pi }}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = k\dfrac{{2\pi }}{3}
\end{array}$
Do $0 \le x \le 100$ nên $0 \le k \le \left[ {\dfrac{{100}}{{\dfrac{{2\pi }}{3}}}} \right] = \left[ {\dfrac{{50}}{{\dfrac{\pi }{3}}}} \right] = 47 \Rightarrow S = \dfrac{{48\left( {0 + \dfrac{{47.2\pi }}{3}} \right)}}{2} = 752\pi $

Bài 2: Đây là phương trình dạng $a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d$

Chia 2 vế cho ${\cos ^2}x \ne 0$ ta được phương trình tương đương: $7t{g^2}x + 4tgx - 3 - 3\sqrt[3]{{15}}\left( {1 + t{g^2}x} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {7 - 3\sqrt[3]{{15}}} \right)t{g^2}x + 4tgx - \left( {3 + 3\sqrt[3]{{15}}} \right) = 0\,\,\,\,\,(1)$

Ta có: $\Delta ' = 4 + \left( {7 - 3\sqrt[3]{{15}}} \right)\left( {3 + 3\sqrt[3]{{15}}} \right) = 25 + 12\sqrt[3]{{15}} - 9\sqrt[3]{{{{15}^2}}}$

Đặt: $t = \sqrt[3]{{15}} \Rightarrow {t^3} = 15 \Rightarrow \dfrac{5}{3}{t^3} = 25$, khi đó: $\Delta ' = \dfrac{5}{3}t\left( {t - 3} \right)\left( {t - \dfrac{{12}}{5}} \right)$

Dễ dàng thấy: ${\left( {\dfrac{{12}}{5}} \right)^3} < 15 < {3^3} \Leftrightarrow \dfrac{{12}}{5} < t = \sqrt[3]{{15}} < 3 \Rightarrow \Delta ' < 0 \Rightarrow \left( 1 \right)$ vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

#6 khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Địa ngục

Đã gửi 07-10-2011 - 19:55

- Chào các bạn trên diễn đàn!
- Cho mình hỏi cách giải bài lượng giác sin5xsin4x - sin2xsin6x - sin4xsin6x = 0 nhe?
- Mong các bạn reply sớm nhe, cảm ơn các bạn nhiều!

http://www.artofprob...p?f=39&t=436269

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#7 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 07-10-2011 - 21:19

Bài 5: Giải phương trình: $\cos x\cos 2x\cos 3x + \sin x\sin 2x\sin 3x = 1$

Bài 6: Giải và biện luận phương trình theo tham số $m$: $2\sqrt {m + x} - \sqrt {m - x} = \sqrt {m - x + \sqrt {x\left( {m + x} \right)} } $

---------------------------------------------------------------------------------------------


P/s: Các bạn giải xong bài thì giúp mình post bài mới nhé. Hi vọng sẽ có nhiều mem tham gia vào topic này.

#8 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 859 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, Việt Nam
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 08-10-2011 - 22:30

</p>
Bài 5: Giải phương trình: $cos xcos 2xcos 3x + sin xsin 2xsin 3x = 1


cosxcos2xcos3x + sinxsin2xsin3x = 1
<=> (cos4x + cos2x)cos2x + (sin4x + sin2x)sin2x = 2</p>
<=> cos4xcos2x +sin4xsin2x +cos<sup>2</sup>2x + sin<sup>2</sup>2x = 2</p>
<=> cos2x = 1
<=> 2x = k2$\Pi$
<=> x = k$\Pi$ (k $\in$ Z)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 08-10-2011 - 23:17

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

logocopy.jpg?t=1339838138


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#9 tolaphuy10a1lhp

tolaphuy10a1lhp

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Bình Định

Đã gửi 08-10-2011 - 23:17

Xin phép anh Xu... nghen.
Cách 2 bài 5 và cách giải bài 6 trong này.

File gửi kèm


Học là ..... hỏi ...............

#10 khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Địa ngục

Đã gửi 08-10-2011 - 23:17

Bài 6: Giải và biện luận phương trình theo tham số $m$: $2\sqrt {m + x} - \sqrt {m - x} = \sqrt {m - x + \sqrt {x\left( {m + x} \right)} } $

ĐK: $|x| \le m \Leftrightarrow x = m\cos t\left( {t \in \left[ {0;\pi } \right];m \ge 0} \right)$
Ta có:
$\begin{array}{l}
2\sqrt {m + t} - \sqrt {m - t} = \sqrt {m - t + \sqrt {t\left( {m + t} \right)} } \\
\Leftrightarrow 2\sqrt {m\left( {1 + \cos t} \right)} - \sqrt {m\left( {1 - \cos t} \right)} = \sqrt {m\left( {1 - \cos t} \right) + \sqrt {{m^2}\cos t\left( {1 + \cos t} \right)} } \\
\Leftrightarrow 2\sqrt {2m} c{\rm{os}}\dfrac{t}{2} - \sqrt {2m} \sin \dfrac{t}{2} = \sqrt {2m{{\sin }^2}\dfrac{t}{2} + \sqrt {2\cos t} mc{\rm{os}}\dfrac{t}{2}}
\end{array}$
Nếu m=0 thì x = 0
Nếu $m \ne 0$ thì:
$\begin{array}{l}
2\sqrt 2 c{\rm{os}}\dfrac{t}{2} - \sqrt 2 \sin \dfrac{t}{2} = \sqrt {2{{\sin }^2}\dfrac{t}{2} + \sqrt {2\cos t} c{\rm{os}}\dfrac{t}{2}} \\
\Leftrightarrow 8c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\dfrac{t}{2} - 4\sin \dfrac{t}{2}c{\rm{os}}\dfrac{t}{2} + 2{\sin ^2}\dfrac{t}{2} = 2{\sin ^2}\dfrac{t}{2} + \sqrt {2\cos t} c{\rm{os}}\dfrac{t}{2}\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
c{\rm{os}}\dfrac{t}{2} = 0 \Leftrightarrow t = \pi + k2\pi \Rightarrow t = \pi \\
8c{\rm{os}}\dfrac{t}{2} - 4\sin \dfrac{t}{2} = \sqrt {2\cos t} (*)
\end{array} \right.
\end{array}$
$\begin{array}{l}
(*) \Leftrightarrow 64c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\dfrac{t}{2} - 64c{\rm{os}}\dfrac{t}{2}\sin \dfrac{t}{2} + 16{\sin ^2}\dfrac{t}{2} = 2\cos t\\
\Leftrightarrow 64\dfrac{{1 + \cos t}}{2} - 32\sin t + 16\dfrac{{1 - \cos t}}{2} - 2\cos t = 0\\
\Leftrightarrow 11\cos t - 16\sin t = - 20\\
\Leftrightarrow \sin \left( {\alpha - t} \right) = \dfrac{{ - 20}}{{\sqrt {377} }} < - 1(VN)
\end{array}$
Thử lại:
+m=0;x=0 thì PT thoã mãn
+$m \ne 0$ thì x=-m $ \Rightarrow - \sqrt {2m} = \sqrt {2m} \Leftrightarrow m = 0$ (loại)

Vậy với m=0 thì phương trình có nghiệm x=0, với $m \ne 0$ thì phương trình vô nghiệm.

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#11 tolaphuy10a1lhp

tolaphuy10a1lhp

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Bình Định

Đã gửi 12-10-2011 - 21:49

Ongtroi tiếp xusinst 2 bài vậy:

Bài 3:
Giải phương trình: $cosx-3\sqrt{3}sinx=cos7x$

$cosx-3\sqrt{3}sinx=cos7x$

$ \Leftrightarrow \cos x - \cos 7x - 3\sqrt 3 \sin x = 0$

$ \Leftrightarrow 2\sin 4x\left( {3\sin x - 4{{\sin }^3}x} \right) - 3\sqrt 3 \sin x = 0$

$ \Leftrightarrow \sin x\left[ {2\sin 4x\left( {3 - 4{{\sin }^2}x} \right) - 3\sqrt 3 } \right] = 0$


$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0 (1)\\
2\sin 4x\left( {3 - 4{{\sin }^2}x} \right) - 3\sqrt 3 = 0 (2)\end{array} \right.$

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow 4\sin 2x{\cos ^2}2x + 4\sin 2x\cos 2x - 3\sqrt 3 = 0$

Cos2x = 0 không phải là nghiệm, chia 2 vế cho ${\cos ^2}2x$

$ \Leftrightarrow 3\sqrt 3 {\tan ^2}2x - 4\tan 2x + 3\sqrt 3 - 4\sin 2x = 0$

$\Delta ' = 4 - 3\sqrt 3 \left( {3\sqrt 3 - 4\sin 2x} \right) = - 23 + 12\sqrt 3 \sin 2x < 0$
(2) vô nghiệm
Vậy sinx = 0$ \Rightarrow x = k\pi$
Học là ..... hỏi ...............

#12 tolaphuy10a1lhp

tolaphuy10a1lhp

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Bình Định

Đã gửi 12-10-2011 - 22:00


P/s: Các bạn giải xong bài thì giúp mình post bài mới nhé. Hi vọng sẽ có nhiều mem tham gia vào topic này.

Tiếp vài bài giải phương trình cho topic của Anh Xusi....

$7){\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an2}}x - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an3}}x - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an5}}x = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an2}}x\tan 3x\tan 5x$


$8){\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{a}}{{\rm{n}}^2}{\rm{2}}x - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{a}}{{\rm{n}}^2}{\rm{3}}x + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an5}}x = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{a}}{{\rm{n}}^2}{\rm{2}}x{\tan ^2}3x\tan 5x$


$9)\tan x + {\tan ^2}x + {\tan ^3}x + \cot x + {\cot ^2}x + {\cot ^3}x = 6$
Học là ..... hỏi ...............

#13 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 859 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, Việt Nam
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 13-10-2011 - 12:41

$9)\tan x + {\tan ^2}x + {\tan ^3}x + \cot x + {\cot ^2}x + {\cot ^3}x = 6$


$9)\tan x + {\tan ^2}x + {\tan ^3}x + \cot x + {\cot ^2}x + {\cot ^3}x = 6$

Điều kiện: $x\neq \dfrac{k\pi }{2} ,k\in\mathbb{Z}$

<=>$(tanx+cotx)+(tan^{2}x+2tanxcotx+cot^{2}x)+(tanx+cotx)(tan^{2}x+2tanxcotx+cot^{2}x-3)=8$

<=>$(tanx+cotx)+(tanx+cotx)^{2}+(tanx+cotx)[(tanx+cotx)^{2}-3)]=8$

Đặt $t=tanx+cotx$, phương trình thành

$t^{3}+t^{2}-2t-8=0$

=> $t=2$

<=>$tanx+cotx=2$

<=>$tan^{2}x-2tanx+1=0$

<=>$tanx=1$

<=>x=$\dfrac{\pi }{4}+k\pi ,k\in\mathbb{Z} $ (nhận)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 13-10-2011 - 12:43

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

logocopy.jpg?t=1339838138


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#14 Karl Vierstein

Karl Vierstein

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 06-07-2013 - 08:25

mình có bài này muốn nhờ các bạn làm thử
 10,  Tìm Max Min
$y=\sqrt{3-2cosx+2cos2x}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Karl Vierstein: 06-07-2013 - 08:26


#15 CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1454 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-07-2013 - 23:14

Từ khi WWW ra đi thì topic này lặng luôn! Hơn 5 năm tham gia với VMF, ngồi nhìn kẻ đến rồi đi cũng không khỏi chạnh lòng. Những người đã từng một thời là bạn giờ không biết "lưu lạc" nơi đâu!

Xin tiếp 2 bài vậy!

 

Bài 11: Giải phương trình $\sin \frac{5x}{2}=5\cos ^3x\sin \frac{x}{2}$.

 

Bài 12: Giải phương trình $\cos 3x-\sin x =1$.



#16 hoangviet123456

hoangviet123456

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Đã gửi 15-01-2016 - 14:33

Nhờ các anh giải giúp em với.Em cám ơn các thầy ạ.

 

Giai phương trình :  on-thi-dai-hoc-chuyen-de-luong-giac-6.jp






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh