Chủ đề này có 8 trả lời

[Crystal]

Tìm hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R sao cho ${f^2}\left( x \right) = \int\limits_0^x {\left( {{f^2}\left( t \right) + {{f'}^2}\left( t \right)} \right)} dt + 2011$.

[E. Galois]

Tìm hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R sao cho ${f^2}\left( x \right) = \int\limits_0^x {\left( {{f^2}\left( t \right) + {{f'}^2}\left( t \right)} \right)} dt + 2011$ (1)

Đạo hàm hai vế của (1) theo ẩn x, ta có:

$2f(x).f'(x) = f^2 (x) + f'^2 (x) \Leftrightarrow \left[ {f(x) - f'(x)} \right]^2 = 0 $

$ \Leftrightarrow f(x) = f'(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = e^{x + C} \\ f(x) = 0 \\ \end{array} \right. $

Dễ thấy f(x) = 0 không phải là nghiệm của (1).
Thay $ f(x) = e^{x + C} $ vào (1), ta có:

$e^{2x + 2C} = 2\int\limits_0^x {e^{2t + 2C} dt} + 2011 $
$ \Leftrightarrow e^{2x + 2C} = e^{2x + 2C} - e^{2C} + 2011 $
$ \Leftrightarrow 2C = \ln 2011 \Leftrightarrow C = \ln \sqrt {2011} $

Vậy:

$f(x) = e^{x + \ln \sqrt {2011} } = \sqrt {2011} .e^x $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 31-08-2011 - 16:09

[Crystal]

Đạo hàm hai vế của (1) theo ẩn x, ta có:

$2f(x).f'(x) = f^2 (x) + f'^2 (x) \Leftrightarrow \left[ {f(x) - f'(x)} \right]^2 = 0 $

$ \Leftrightarrow f(x) = f'(x) \Leftrightarrow f(x) = e^{x + C} $

Thay vào (1), ta có:

$e^{2x + 2C} = 2\int\limits_0^x {e^{2t + 2C} dt} + 2011 $
$ \Leftrightarrow e^{2x + 2C} = e^{2x + 2C} - e^{2C} + 2011 $
$ \Leftrightarrow 2C = \ln 2011 \Leftrightarrow C = \ln \sqrt {2011} $

Vậy:

$f(x) = e^{x + \ln \sqrt {2011} } = \sqrt {2011} .e^x $

Cảm ơn lời giải của anh E. Galois nhưng anh kiểm tra lại từ đoạn này $ \Leftrightarrow f(x) = f'(x) \Leftrightarrow f(x) = e^{x + C} $.

[E. Galois]

Cảm ơn lời giải của anh E. Galois nhưng anh kiểm tra lại từ đoạn này $ \Leftrightarrow f(x) = f'(x) \Leftrightarrow f(x) = e^{x + C} $.

OK,mình đã sửa, xin bạn chỉ giáo thêm

[Crystal]

OK,mình đã sửa, xin bạn chỉ giáo thêm

Xin lỗi anh E. Galois bài của anh vẫn chưa đúng. Em không dám đâu. Phải sửa lại thế này mới đúng anh ạ: $f\left( x \right) = f'\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = C{e^x}$.

[E. Galois]

Xin lỗi anh E. Galois bài của anh vẫn chưa đúng. Em không dám đâu. Phải sửa lại thế này mới đúng anh ạ: $f\left( x \right) = f'\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = C{e^x}$.

Hì hì, $ e^{x+C} = e^C.e^x = C'e^x $, hình như hai kết quả là 1

[Crystal]

Hì hì, $ e^{x+C} = e^C.e^x = C'e^x $, hình như hai kết quả là 1

Đúng là một nhưng chọn hàm f (x) theo cách của anh sẽ bị thiếu nghiệm của bài toán. Bài toán có 2 nghiệm.

[E. Galois]

Đúng là một nhưng chọn hàm f (x) theo cách của anh sẽ bị thiếu nghiệm của bài toán. Bài toán có 2 nghiệm.

Ừ nhỉ C của mình luôn dương.
Cảm ơn bạn, đúng là mình đã già rùi
Mình đã sửa lại

Tìm hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R sao cho ${f^2}\left( x \right) = \int\limits_0^x {\left( {{f^2}\left( t \right) + {{f'}^2}\left( t \right)} \right)} dt + 2011$ (1)

Đạo hàm hai vế của (1) theo ẩn x, ta có:

$2f(x).f'(x) = f^2 (x) + f'^2 (x) \Leftrightarrow \left[ {f(x) - f'(x)} \right]^2 = 0 $

$ \Leftrightarrow f(x) = f'(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = Ce^x \\ f(x) = 0 \\ \end{array} \right. $

Dễ thấy f(x) = 0 không phải là nghiệm của (1).
Thay $ f(x) = Ce^x$ vào (1), ta có:

$C^2e^{2x} = 2C^2 \int\limits_0^x e^{2t} dt} + 2011 $
$ \Leftrightarrow C^2e^{2x} = C^2e^{2x} - C^2 + 2011 $
$ \Leftrightarrow C^2 = 2011 \Leftrightarrow C = \pm \sqrt {2011} $

Vậy:

$f(x) = \pm \sqrt {2011} e^x $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 31-08-2011 - 19:43

[Crystal]

Em có cách này, anh xem giúp em.
Đạo hàm hai vế của (1) theo ẩn x, ta có:

$2f(x).f'(x) = f^2 (x) + f'^2 (x) \Leftrightarrow \left[ {f(x) - f'(x)} \right]^2 = 0 $

$ \Leftrightarrow f\left( x \right) = f'\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) = C{e^x}\,\,\,\,\,(2)$

Từ (1) $ \Rightarrow {f^2}\left( 0 \right) = 2011 \Rightarrow f\left( 0 \right) = \pm \sqrt {2011} $

Cho $x = 0;\,\,\left( 2 \right) \Rightarrow f\left( 0 \right) = C = \pm \sqrt {2011} $

Vậy $f\left( x \right) = \pm \sqrt {2011} {e^x}$