Chủ đề này có 7 trả lời

[everlasting]

1. Chung minh $5^n-1$ chia het cho $4$ voi moi so tu nhien n (lam day du cac buoc nha).
2. Chung minh rang $A=n^5-5n^3-6n$ chia het cho $10$ voi moi so tu nhien $n$.

Mod. Viết tiếng việt có dấu và gõ công thức toán.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 31-08-2011 - 16:56

[Crystal]

1. Chung minh 5^n-1 chia het cho 4 voi moi so tu nhien n (lam day du cac buoc nha)

Ta chứng minh bằng quy nạp.

Với n = 1 thì ${5^n} - 1 = {5^1} - 1 = 4\,\, \vdots \,\,\,4$

Giả sử đpcm đúng với n = k > 1, $k \in N$. Tức là: ${5^k} - 1\,\, \vdots 4$. Ta chứng minh đúng với n = k + 1.

Thật vậy:
${5^{k + 1}} - 1 = {5.5^k} - 1 = \left( {4 + 1} \right){.5^k} - 1 = {4.5^k} + {5^k} - 1\, \vdots 4$ (giả thiết quy nạp)

Theo nguyên lý quy nạp thì ${5^n} - 1\,\, \vdots 4\,\,\forall n \in N$. đpcm

2. Thì tương tự.

[Zaraki]

2. Chung minh rang $A=n^5-5n^3-6n$ chia het cho $10$ voi moi so tu nhien $n$.

Hiển nhiên $A=n^5-5n^3-6n \vdots 2$ (chứng minh bằng cách xét trường hợp $n$ chẵn, lẻ)
Ta chứng minh $A\vdots 5$.
Thật vậy, phân tích $A=n^5-5n^3-6n=(n^5-n)-5(n^3+n)$.
Nhận thấy $5(n^3-n) \vdots 5$, ta cần chứng minh $n^5-n \vdots 5$.
Phân tích tiếp $n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$
Xét các trường hợp
+ Nếu $n=5k$ thì $n^5-n \vdots 5$.
+ Nếu $n=5k \pm 1$ thì $(n-1)(n+1) \vdots 5 \rightarrow n(n-1)(n+1)(n^2-1)=n^5-n \vdots 5$.
+ Nếu $n=5k \pm 2$ thì $n^2 \equiv 4 \pmod{5} \rightarrow n^2+1 \equiv 0 \pmod{5}$. Do đó $n^5-n \vdots 5$.

Như vậy $n^5-n \vdots 5 \rightarrow A\vdots5$. (**)

Ta thấy $(2,5)=1$ nên từ và (**) suy ra $A \vdots 10$.

Ta chứng minh bằng quy nạp.

Với n = 1 thì ${5^n} - 1 = {5^1} - 1 = 4\,\, \vdots \,\,\,4$

Giả sử đpcm đúng với n = k > 1, $k \in N$. Tức là: ${5^k} - 1\,\, \vdots 4$. Ta chứng minh đúng với n = k + 1.

Thật vậy:
${5^{k + 1}} - 1 = {5.5^k} - 1 = \left( {4 + 1} \right){.5^k} - 1 = {4.5^k} + {5^k} - 1\, \vdots 4$ (giả thiết quy nạp)

Theo nguyên lý quy nạp thì ${5^n} - 1\,\, \vdots 4\,\,\forall n \in N$. đpcm

2. Thì tương tự.

Ngoài cách phân tích trong chứng minh bằng phương pháp của xusinst
${5^{k + 1}} - 1 = {5.5^k} - 1 = \left( {4 + 1} \right){.5^k} - 1 = {4.5^k} + {5^k} - 1\, \vdots 4$
Xin cống hiến thêm một cách phân tích khác
$5^{k+1}-1=5^k.5-1=5(5^k-1)+4 \vdots 4$.
Từ đây suy ra đpcm.

[everlasting]

Nguyen ly quy nap la gi vay ban????????????

Minh van chua hieu lam cach chung minh cua cac ban. Neu dat n=k+1 thi n la j ma k la j??????

Hiển nhiên $A=n^5-5n^3-6n \vdots 2$ (chứng minh bằng cách xét trường hợp $n$ chẵn, lẻ)
Ta chứng minh $A\vdots 5$.
Thật vậy, phân tích $A=n^5-5n^3-6n=(n^5-n)-5(n^3+n)$.
Nhận thấy $5(n^3-n) \vdots 5$, ta cần chứng minh $n^5-n \vdots 5$.
Phân tích tiếp $n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$
Xét các trường hợp
+ Nếu $n=5k$ thì $n^5-n \vdots 5$.
+ Nếu $n=5k \pm 1$ thì $(n-1)(n+1) \vdots 5 \rightarrow n(n-1)(n+1)(n^2-1)=n^5-n \vdots 5$.
+ Nếu $n=5k \pm 2$ thì $n^2 \equiv 4 \pmod{5} \rightarrow n^2+1 \equiv 0 \pmod{5}$. Do đó $n^5-n \vdots 5$.

Như vậy $n^5-n \vdots 5 \rightarrow A\vdots5$. (**)

Ta thấy $(2,5)=1$ nên từ và (**) suy ra $A \vdots 10$.
Ngoài cách phân tích trong chứng minh bằng phương pháp của xusinst
${5^{k + 1}} - 1 = {5.5^k} - 1 = \left( {4 + 1} \right){.5^k} - 1 = {4.5^k} + {5^k} - 1\, \vdots 4$
Xin cống hiến thêm một cách phân tích khác
$5^{k+1}-1=5^k.5-1=5(5^k-1)+4 \vdots 4$.
Từ đây suy ra đpcm.

Co cach nao khong can phai dung mod khong ha ban

[Zaraki]

Phương pháp quy nạp được phát biểu như sau (mọi người bổ sung, lâu ngày không nhơ lắm)

Nếu muốn chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên $n \ge p$, ta làm như sau:
+ Thử với $n=p$ thì mệnh đề đúng.
+ Giả sử mệnh đề đúng với $n=k$, ta chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$.

Nguyên lí quy nạp là như vậy.

[Minhnguyenquang75]

Phương pháp quy nạp được phát biểu như sau (mọi người bổ sung, lâu ngày không nhơ lắm)

Nếu muốn chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên $n \ge p$, ta làm như sau:
+ Thử với $n=p$ thì mệnh đề đúng.
+ Giả sử mệnh đề đúng với $n=k$, ta chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$.

Nguyên lí quy nạp là như vậy.

Nếu chưa học đến mệnh đề thì nói vậy khá trừu tượng .
E định nghĩa nó thế này: ta thử n vs mọi trường hợp tổng quát, nếu đúng hết thì đúng
Kể ra cái quy nạp này cũng hơi mr.chuối

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenquang75: 31-08-2011 - 19:06

[perfectstrong]

Toàn ơi, ở bước thứ 2, phải giả sử là mệnh đề đúng ĐẾN n=k. Không phải là VỚI n=k.

[Zaraki]

Em cảm ơn anh, lâu nay chỉ biết vận dụng thôi chứ lý thuyết nhớ nhưng chưa kĩ.