Chủ đề này có 7 trả lời

[everlasting]

1. Chứng minh rằng đa thức: $f(x)=4x^4+2x^3-3x^2+x+1$ không có nghiệm nguyên.

2. Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn số trước d đơn vị. Chứng minh rằng d chia hết cho 6.

3. Cho $A = \dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{102}+...+\dfrac{1}{200}$
Chứng minh rằng:
a. $A > \dfrac{7}{12}$

b. $A > \dfrac{5}{8}$
4. Cho $a=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+............+\dfrac{1}{100^2}$
Chứng minh rằng: $A<\dfrac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 01-09-2011 - 21:04

[Phạm Hữu Bảo Chung]

4. Cho $a=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+............+\dfrac{1}{100^2}$
Chứng minh rằng: $A<\dfrac{3}{4}$

Giải

Ta có:
$\dfrac{1}{n^2} < \dfrac{1}{n^2 - 1} = \dfrac{1}{( n -1 )( n + 1 )} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{( n - 1 )( n + 1 )}$

Ta lại có:
$\dfrac{2}{( n - 1)( n + 1 )} = \dfrac{( n + 1) - ( n - 1 )}{( n - 1)( n + 1 )} = \dfrac{n + 1}{( n - 1)( n + 1 )} - \dfrac{n - 1}{( n - 1)( n + 1)} $
$= \dfrac{1}{n - 1} - \dfrac{1}{n + 1}$

Do đó:

$\dfrac{1}{n^2} < \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{n - 1} + \dfrac{1}{n + 1})$

Vì vậy:
$\dfrac{1}{2^2} < \dfrac{1}{2}( \dfrac{1}{2 - 1} - \dfrac{1}{2 + 1}) = \dfrac{1}{2}( 1 - \dfrac{1}{3})$

$\dfrac{1}{3^2} < \dfrac{1}{2}( \dfrac{1}{3 - 1} - \dfrac{1}{3 + 1}) = \dfrac{1}{2}( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4})$

..........

$\dfrac{1}{100^2} < \dfrac{1}{2}( \dfrac{1}{100 - 1} - \dfrac{1}{100 + 1}) = \dfrac{1}{2}( \dfrac{1}{99} - \dfrac{1}{101})$

Do đó:
$\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+ \dfrac{1}{4^2}...+\dfrac{1}{100^2} < \dfrac{1}{2}( 1 - \dfrac{1}{3}) + \dfrac{1}{2}( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}) + \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}) + ... + \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{99} - \dfrac{1}{101} )$

$\Rightarrow a < \dfrac{1}{2}( 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} +... + \dfrac{1}{99} - \dfrac{1}{101})$

$\Rightarrow a < \dfrac{1}{2}( 1 - \dfrac{1}{101} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{100}) < \dfrac{1}{2}( 1 + \dfrac{1}{2}) = \dfrac{3}{4}$

[hoangdang]

1. Chứng minh rằng đa thức: $f(x)=4x^4+2x^3-3x^2+x+1$ không có nghiệm nguyên.

2. Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn số trước d đơn vị. Chứng minh rằng d chia hết cho 6.

3. Cho $A = \dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{102}+...+\dfrac{1}{200}$
Chứng minh rằng:
a. $A > \dfrac{7}{12}$

b. $A > \dfrac{5}{8}$
4. Cho $a=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+............+\dfrac{1}{100^2}$
Chứng minh rằng: $A<\dfrac{3}{4}$

Câu 2: $A= (\dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{102}+...+\dfrac{1}{110}+ (\dfrac{1}{111}+\dfrac{1}{112}+...+\dfrac{1}{120})+...+( \dfrac{1}{191}+\dfrac{1}{192}+...+\dfrac{1}{200}) > 10*(1/110+1/120+...+1/200) >5/8$

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Bài 2 : 3 số nguyên tố lớn hơn 3 đều là số lẻ => hiệu 2 số bất kì chia hết cho 2 .
3 số nguyên tố lớn hơn 3 ko chia hết cho 3 => có 2 số đồng dư mod 3 hay hiệu chúng chia hết cho 3.
(2;3)=1 => d chia hết 6. QED

1. Nếu tồn tại nghiệm nguyên :
- Nếu nghiệm đó chắn : f(x) lẻ khác 0
- Nếu nghiệm đó lẻ : f(x)cũng lẻ
=> kô tồn tại nghiệm nguyên

[Mr.thaipro(^_^)]

Bài 1: Ta có tính chất: Nếu đa thức $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$có nghiệm thì nghiệm đó là $x=\dfrac{p}{q}$
Sao cho: p là ước của e(hệ số tự do)
q là ước của a
Như vậy: nếu $f(x)$ có nghiệm nguyên thì $x=1$hoặc $x=-1$
Thay $x=1;x=-1$đều không là nghiệm ==> đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr.thaipro(^_^): 02-09-2011 - 14:41

[everlasting]

Bài 2. 3 số nguyên tố lớn hơn 3 đều là số lẻ nên hiệu 2 số bất kì chia hết cho 2.
3 số nguyên tố lớn hơn 3 không chia hết cho 3 nên có 2 số đồng dư mod 3 hay hiệu chúng chia hết cho 3.
Do (2; 3)=1, suy ra d chia hết 6. QED

1. Nếu tồn tại nghiệm nguyên :
- Nếu nghiệm đó chẵn : f(x) lẻ khác 0
- Nếu nghiệm đó lẻ : f(x) cũng lẻ
$\Rightarrow $ Không tồn tại nghiệm nguyên

Làm rõ hơn được không bạn. Bài 2 và bài 3 mình không hiểu tại sao lại thế. Nhất là hiệu 2 số không chia hết cho 3 sao lại chia hết cho 3. Mình thử chứng minh nhưng không được. Mình cần gấp lăm. Nhanh lên bạn nhé

Mod :
Trong 3 số nguyên tố lớn hơn 3, không có số nào chia hết cho 3( Vì số nguyên tố chỉ có 2 ước là 1 và chính nó). Do đó khi chia 3 số đó cho 3 thì số dư trong mỗi phép chia chỉ có thể xảy ra 2 trường hợp là dư 1 hoặc dư 2.
Do 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư nên hiệu của chúng chia hết cho 3.

Minh họa bằng biểu thức:
Giả sử a chia 3 dư 1, b chia 3 dư 1. Suy ra, ta có thể viết:
$a = 3x + 1; b = 3y + 1 \Rightarrow a - b = 3x + 1 - (3y + 1) = 3( x - y)$ $\vdots$ $3$
Tương tự nếu a, b cùng chia cho 3 dư 2.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 03-09-2011 - 13:54

[everlasting]

Nhưng có chắc chắn rằng trong 3 số nguyên tố đó có ít nhất 2 số viết được dưới cùng một dạng 3a + 1 hoặc 3b + 2 không?

Mod: Bạn thử tìm một cách viết khác ngoài 2 cách nói trên được không ( chú ý ta đang xét đến số nguyên tố lớn hơn 3 và đừng xét 3a + 4 ... nhé vì 3a + 4 = 3( a + 1 ) + 1 cũng có dạng 3x + 1).
Ta chỉ tìm được 2 cách viết mà lại có tới 3 số. Giả sử không có 2 số nào có cùng một dạng, vậy có 3 dạng. Điều này là vô lý. Do vậy trong 3 số đó có 2 số có cùng dạng 3a + 1 hoặc 3b + 2.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 03-09-2011 - 20:35

[reddevil123]

4. Cho $A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+............+\dfrac{1}{100^2}$
Chứng minh rằng: $A<\dfrac{3}{4}$

$A - \dfrac{1}{3}A=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{3^4}+....+\dfrac{1}{3^{100}}$

$ \dfrac{2A}{3}=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{3^4}+.... +\dfrac{1}{3^{100}}-\dfrac{100}{3^{101}}$


Tinh: $B=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+.....+\dfrac{1}{3^{100}}$

$3B=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+....+\dfrac{1}{3^{99}}$

$2B=1-\dfrac{1}{3^{100}}$ $B=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2.3^{100}}$

$\dfrac{2A}{3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2.3^{100}}-\dfrac{100}{3^{101}}< \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2A}{3}< \dfrac{1}{2}$ $\dfrac{3.2A}{2.3}<\dfrac{3.1}{2.2}$

$A<\dfrac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi reddevil123: 30-10-2011 - 17:02