Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

4 bài toán


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 everlasting

everlasting

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Ha Long City

Đã gửi 01-09-2011 - 20:34

1. Chứng minh rằng đa thức: $f(x)=4x^4+2x^3-3x^2+x+1$ không có nghiệm nguyên.

2. Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn số trước d đơn vị. Chứng minh rằng d chia hết cho 6.

3. Cho $A = \dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{102}+...+\dfrac{1}{200}$
Chứng minh rằng:
a. $A > \dfrac{7}{12}$

b. $A > \dfrac{5}{8}$
4. Cho $a=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+............+\dfrac{1}{100^2}$
Chứng minh rằng: $A<\dfrac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 01-09-2011 - 21:04


#2 Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
  • Sở thích:Grey's Anatomy, Shameless, Game of Thrones

Đã gửi 01-09-2011 - 21:50

4. Cho $a=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+............+\dfrac{1}{100^2}$
Chứng minh rằng: $A<\dfrac{3}{4}$

Giải


Ta có:
$\dfrac{1}{n^2} < \dfrac{1}{n^2 - 1} = \dfrac{1}{( n -1 )( n + 1 )} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{( n - 1 )( n + 1 )}$

Ta lại có:
$\dfrac{2}{( n - 1)( n + 1 )} = \dfrac{( n + 1) - ( n - 1 )}{( n - 1)( n + 1 )} = \dfrac{n + 1}{( n - 1)( n + 1 )} - \dfrac{n - 1}{( n - 1)( n + 1)} $
$= \dfrac{1}{n - 1} - \dfrac{1}{n + 1}$

Do đó:

$\dfrac{1}{n^2} < \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{n - 1} + \dfrac{1}{n + 1})$

Vì vậy:
$\dfrac{1}{2^2} < \dfrac{1}{2}( \dfrac{1}{2 - 1} - \dfrac{1}{2 + 1}) = \dfrac{1}{2}( 1 - \dfrac{1}{3})$

$\dfrac{1}{3^2} < \dfrac{1}{2}( \dfrac{1}{3 - 1} - \dfrac{1}{3 + 1}) = \dfrac{1}{2}( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4})$

..........

$\dfrac{1}{100^2} < \dfrac{1}{2}( \dfrac{1}{100 - 1} - \dfrac{1}{100 + 1}) = \dfrac{1}{2}( \dfrac{1}{99} - \dfrac{1}{101})$

Do đó:
$\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+ \dfrac{1}{4^2}...+\dfrac{1}{100^2} < \dfrac{1}{2}( 1 - \dfrac{1}{3}) + \dfrac{1}{2}( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}) + \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}) + ... + \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{99} - \dfrac{1}{101} )$

$\Rightarrow a < \dfrac{1}{2}( 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} +... + \dfrac{1}{99} - \dfrac{1}{101})$

$\Rightarrow a < \dfrac{1}{2}( 1 - \dfrac{1}{101} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{100}) < \dfrac{1}{2}( 1 + \dfrac{1}{2}) = \dfrac{3}{4}$

Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#3 hoangdang

hoangdang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-09-2011 - 22:47

1. Chứng minh rằng đa thức: $f(x)=4x^4+2x^3-3x^2+x+1$ không có nghiệm nguyên.

2. Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn số trước d đơn vị. Chứng minh rằng d chia hết cho 6.

3. Cho $A = \dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{102}+...+\dfrac{1}{200}$
Chứng minh rằng:
a. $A > \dfrac{7}{12}$

b. $A > \dfrac{5}{8}$
4. Cho $a=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+............+\dfrac{1}{100^2}$
Chứng minh rằng: $A<\dfrac{3}{4}$

Câu 2: $A= (\dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{102}+...+\dfrac{1}{110}+ (\dfrac{1}{111}+\dfrac{1}{112}+...+\dfrac{1}{120})+...+( \dfrac{1}{191}+\dfrac{1}{192}+...+\dfrac{1}{200}) > 10*(1/110+1/120+...+1/200) >5/8$

#4 PRONOOBCHICKENHANDSOME

PRONOOBCHICKENHANDSOME

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-09-2011 - 00:12

Bài 2 : 3 số nguyên tố lớn hơn 3 đều là số lẻ => hiệu 2 số bất kì chia hết cho 2 .
3 số nguyên tố lớn hơn 3 ko chia hết cho 3 => có 2 số đồng dư mod 3 hay hiệu chúng chia hết cho 3.
(2;3)=1 => d chia hết 6. QED

1. Nếu tồn tại nghiệm nguyên :
- Nếu nghiệm đó chắn : f(x) lẻ khác 0
- Nếu nghiệm đó lẻ : f(x)cũng lẻ
=> kô tồn tại nghiệm nguyên

#5 Mr.thaipro(^_^)

Mr.thaipro(^_^)

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sông Lô- Vĩnh Phúc

Đã gửi 02-09-2011 - 14:39

Bài 1: Ta có tính chất: Nếu đa thức $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$có nghiệm thì nghiệm đó là $x=\dfrac{p}{q}$
Sao cho: p là ước của e(hệ số tự do)
q là ước của a
Như vậy: nếu $f(x)$ có nghiệm nguyên thì $x=1$hoặc $x=-1$
Thay $x=1;x=-1$đều không là nghiệm ==> đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr.thaipro(^_^): 02-09-2011 - 14:41

Hình đã gửi


#6 everlasting

everlasting

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Ha Long City

Đã gửi 03-09-2011 - 13:36

Bài 2. 3 số nguyên tố lớn hơn 3 đều là số lẻ nên hiệu 2 số bất kì chia hết cho 2.
3 số nguyên tố lớn hơn 3 không chia hết cho 3 nên có 2 số đồng dư mod 3 hay hiệu chúng chia hết cho 3.
Do (2; 3)=1, suy ra d chia hết 6. QED

1. Nếu tồn tại nghiệm nguyên :
- Nếu nghiệm đó chẵn : f(x) lẻ khác 0
- Nếu nghiệm đó lẻ : f(x) cũng lẻ
$\Rightarrow $ Không tồn tại nghiệm nguyên

Làm rõ hơn được không bạn. Bài 2 và bài 3 mình không hiểu tại sao lại thế. Nhất là hiệu 2 số không chia hết cho 3 sao lại chia hết cho 3. Mình thử chứng minh nhưng không được. Mình cần gấp lăm. Nhanh lên bạn nhé

Mod :
Trong 3 số nguyên tố lớn hơn 3, không có số nào chia hết cho 3( Vì số nguyên tố chỉ có 2 ước là 1 và chính nó). Do đó khi chia 3 số đó cho 3 thì số dư trong mỗi phép chia chỉ có thể xảy ra 2 trường hợp là dư 1 hoặc dư 2.
Do 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư nên hiệu của chúng chia hết cho 3.

Minh họa bằng biểu thức:
Giả sử a chia 3 dư 1, b chia 3 dư 1. Suy ra, ta có thể viết:
$a = 3x + 1; b = 3y + 1 \Rightarrow a - b = 3x + 1 - (3y + 1) = 3( x - y)$ $\vdots$ $3$
Tương tự nếu a, b cùng chia cho 3 dư 2.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 03-09-2011 - 13:54


#7 everlasting

everlasting

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Ha Long City

Đã gửi 03-09-2011 - 15:40

Nhưng có chắc chắn rằng trong 3 số nguyên tố đó có ít nhất 2 số viết được dưới cùng một dạng 3a + 1 hoặc 3b + 2 không?

Mod: Bạn thử tìm một cách viết khác ngoài 2 cách nói trên được không ( chú ý ta đang xét đến số nguyên tố lớn hơn 3 và đừng xét 3a + 4 ... nhé vì 3a + 4 = 3( a + 1 ) + 1 cũng có dạng 3x + 1).
Ta chỉ tìm được 2 cách viết mà lại có tới 3 số. Giả sử không có 2 số nào có cùng một dạng, vậy có 3 dạng. Điều này là vô lý. Do vậy trong 3 số đó có 2 số có cùng dạng 3a + 1 hoặc 3b + 2.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 03-09-2011 - 20:35


#8 reddevil123

reddevil123

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết

Đã gửi 30-10-2011 - 15:52

4. Cho $A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+............+\dfrac{1}{100^2}$
Chứng minh rằng: $A<\dfrac{3}{4}$


$A - \dfrac{1}{3}A=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{3^4}+....+\dfrac{1}{3^{100}}$

:Rightarrow $ \dfrac{2A}{3}=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{3^4}+.... +\dfrac{1}{3^{100}}-\dfrac{100}{3^{101}}$


Tinh: $B=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+.....+\dfrac{1}{3^{100}}$

:Rightarrow $3B=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+....+\dfrac{1}{3^{99}}$

:Rightarrow$2B=1-\dfrac{1}{3^{100}}$ :Rightarrow $B=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2.3^{100}}$

:Rightarrow $\dfrac{2A}{3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2.3^{100}}-\dfrac{100}{3^{101}}< \dfrac{1}{2}$

:Rightarrow $\dfrac{2A}{3}< \dfrac{1}{2}$ :Rightarrow $\dfrac{3.2A}{2.3}<\dfrac{3.1}{2.2}$

:Leftrightarrow $A<\dfrac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi reddevil123: 30-10-2011 - 17:02

________________________nản______________________




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh