Topic về Bất đẳng thức trong Tích phân
#41
Đã gửi 10-06-2012 - 15:49
Có $f'(x)=3x^{2}-3x-6$ với $x\in \left ( -2,0 \right )$
$f'(x)=0$ khi $x=-1$ (thỏa mãn) hoặc $x=2$ (loại)
Vẽ bản biến thiên có
$Min\sqrt{f(x)}=\sqrt{3}$ khi x=-2 ( không xảy ra dấu =)
$Max\sqrt{f(x)}=\frac{\sqrt{34}}{2}$ khi x=-1
Khi đó: $\int_{-2}^{0}dx\sqrt{3}< \int_{-2}^{0}\sqrt{x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}-6x+5}dx\leq \int_{-2}^{0}\frac{\sqrt{34}}{2}dx$
$\Rightarrow đ.p.c.m$
P/s: Cho em hỏi tại sao ở bđt thứ 2 lại không xảy ra dấu "="???
Những gì chúng ta biết ngày hôm nay sẽ lỗi thời vào ngày hôm sau. Nếu chúng ta ngừng học thì chúng ta sẽ ngừng phát triển.
#42
Đã gửi 18-06-2012 - 20:38
Thực ra chứng minh điều này cần phải dùng đến định lý Rolle-Lagrange.
Tuy nhiên bằng đồ thị em dễ dàng nhận ra điều này!
#43
Đã gửi 02-01-2013 - 15:02
f \in C\left[ {0;1} \right]\\
xf\left( y \right) + yf\left( x \right) \le 1\,\,\forall x;y \in \left( {0;1} \right)
\end{array} \right.$ Chứng minh:
\[\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx \le \frac{\pi }{4}\]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 07-01-2013 - 22:30
#44
Đã gửi 07-01-2013 - 21:24
Cho hàm $f$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}
f \in C\left[ {0;1} \right]\\
xf\left( y \right) + yf\left( x \right) \le 1\,\,\forall x;y \in \left( {0;1} \right)
\end{array} \right.$ Chứng minh:
\[\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx \le \frac{\pi }{4}\]
Cái giả thiết $\forall x,y \in (0;1) $ và cái chặn trên đặc biệt nên buộc phải nghĩ đến tích phân dính tới lượng giác .
Chọn $y=\sqrt{1-x^2} $
$$\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}f(\sqrt{1-x^2})+f(x) \le \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$
$$\Rightarrow \int_{0}^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}f(\sqrt{1-x^2}) .dx+\int_{0}^1 f(x).dx \le \int_{0}^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.dx $$
$$\Rightarrow - \int_{0}^1 f( \sqrt{1-x^2}).d(\sqrt{1-x^2}) +\int_{0}^1 f(x).dx \le \frac{\pi}{2} $$
$$\Leftrightarrow \int_{0}^1 f(x).dx+\int_{0}^1 f(x).dx \le \frac{\pi}{2} $$
- hxthanh, viet 1846 và giaiticholympic thích
#45
Đã gửi 07-01-2013 - 21:41
...................................
Bài 18: Cho f là một hàm số thực nhận giá trị dương và tuần hoàn với chu kỳ bằng 1 trên $\mathbb{R}$. Chứng minh rằng: Với mọi $n=1,2,3,...$ ta luôn có
$\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})}dx\geqslant 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 07-01-2013 - 21:42
- viet 1846 yêu thích
#46
Đã gửi 07-01-2013 - 22:50
Phải đánh số thứ tự cho dễ quản lý các bạn ơi!
...................................
Bài 18: Cho f là một hàm số thực nhận giá trị dương và tuần hoàn với chu kỳ bằng 1 trên $\mathbb{R}$. Chứng minh rằng: Với mọi $n=1,2,3,...$ ta luôn có
$\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})}dx\geqslant 1$
$$\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})}dx=\int_0^{\frac{1}{n}}\frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})} dx+...+\int_{\frac{n-1}{n}}^1 \frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})}dx $$
$$=\sum_{i=0}^{n-1} \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}} \frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})}dx$$
Xét $\int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}} \frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})}dx $
Đổi biến $x=t+\dfrac{i}{n}$
$$\Rightarrow \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}} \frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})}dx=\int_0^{\frac{1}{n}} \dfrac{f(x+\frac{i}{n})}{f(x+\frac{i+1}{n})} dx $$
Do đó : $$\sum_{i=0}^{n-1} \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}} \frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})}dx=\sum_{i=0}^{n-1}\int_0^{\frac{1}{n}} \dfrac{f(x+\frac{i}{n})}{f(x+\frac{i+1}{n})} dx$$
$$=\int_0^{\frac{1}{n}} (\sum_{i=0}^{n-1} \dfrac{f(x+\frac{i}{n})}{f(x+\frac{i+1}{n})})dx $$
$$ \ge \int_0^{\frac{1}{n}}n \sqrt[n]{\dfrac{f(x)}{f(x+n)}}dx =\int_0^{\frac{1}{n}} n \sqrt{\dfrac{f(x)}{f(x)}}dx=1 $$
- duong vi tuan, hxthanh, Ispectorgadget và 2 người khác yêu thích
#47
Đã gửi 07-01-2013 - 22:52
- phudinhgioihan yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#48
Đã gửi 07-01-2013 - 23:32
Cho $f : [0;2] \longrightarrow \mathbb{R} $ , $f'$ liên tục trên $[0;2]$ đồng thời $f(2)=0 \;\;, \int_0^2 f(x)dx=\int_0^2 xf(x)dx =k $
Chứng minh : $$\int_0^2 [f'(x)]^2 dx \ge \dfrac{15}{16}k^2$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 07-01-2013 - 23:33
- hxthanh yêu thích
#49
Đã gửi 08-01-2013 - 18:12
Cho hàm thực $h$ lõm, dương có đạo hàm liên tục trên $[0;1] \;\;, h'(0) \ge 0$ . Hàm thực $f$ có $f(0)=0$ và $f'$ liên tục trên $[0;1]$ , chứng minh:
$$\dfrac{\int_0^1h(x)[f'(x)]^2dx}{\int_0^1h(x)dx \int_0^1 [f(x)]^2dx} \ge \dfrac{\pi^2}{4}$$
P/s: Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $h$ là hàm hằng, $f(x)=a \sin(\dfrac{\pi x}{2})$
Một trường hợp riêng, chọn $h$ là hàm hằng dương, khi đó ta có:
$$\int_0^1 [f'(x)]^2 dx \ge \dfrac{\pi^2}{4} \int_0^1 [f(x)]^2dx$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 08-01-2013 - 18:13
- viet 1846 yêu thích
#50
Đã gửi 09-01-2013 - 16:25
Cho $n \in \mathbb{N}^*$ ,chứng minh:
$$\sqrt{n} \dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\le \int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx \le \dfrac{\pi}{2}\sqrt{n} \dfrac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}$$
Hơi khó nên gợi ý : $\int_0^1 (1-x^2)^n = \dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$
- hxthanh, viet 1846 và WhjteShadow thích
#51
Đã gửi 10-01-2013 - 11:20
Không biết đúng không sai anh chỉ em với.
Ta có:
Theo BDT $Cauchy-Schwarz$
\[\begin{array}{l}{\left( {\int\limits_0^2 {xf\left( x \right)f'\left( x \right)dx} } \right)^2} \le {\left( {\int\limits_0^2 {xf\left( x \right)dx} } \right)^2}{\left( {\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)dx} } \right)^2} = {k^2}{\left( {\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)dx} } \right)^2}\\
\le 2{k^2}\int\limits_0^2 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx}
\end{array}\]
Dòng này : $${\left( {\int\limits_0^2 {xf\left( x \right)f'\left( x \right)dx} } \right)^2} \le {\left( {\int\limits_0^2 {xf\left( x \right)dx} } \right)^2}{\left( {\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)dx} } \right)^2}$$
Sai rồi em! Đâu có phải C-S đâu. Ráng giải đi, mai thi xong anh post lời giải
#52
Đã gửi 10-01-2013 - 11:31
Dòng này : $${\left( {\int\limits_0^2 {xf\left( x \right)f'\left( x \right)dx} } \right)^2} \le {\left( {\int\limits_0^2 {xf\left( x \right)dx} } \right)^2}{\left( {\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)dx} } \right)^2}$$
Sai rồi em! Đâu có phải C-S đâu. Ráng giải đi, mai thi xong anh post lời giải
Chết không để ý.
#53
Đã gửi 13-01-2013 - 02:37
Bài 20: (Mới chế )
Cho $f : [0;2] \longrightarrow \mathbb{R} $ , $f'$ liên tục trên $[0;2]$ đồng thời $f(2)=0 \;\;, \int_0^2 f(x)dx=\int_0^2 xf(x)dx =k $
Chứng minh : $$\int_0^2 [f'(x)]^2 dx \ge \dfrac{15}{16}k^2$$
Rắc....tự sướng
Ta có :
$$\int_0^2f(x)dx=xf(x) |_0^2-\int_0^2xf'(x)dx=-\int_0^2 xf'(x)dx$$
$$\int_0^2 xf(x)dx=\frac{1}{2}x^2f(x) |_0^2-\dfrac{1}{2} \int_0^2 x^2f'(x) dx =-\dfrac{1}{2}\int_0^2 x^2f'(x)dx$$
$$\Rightarrow k=\int_0^2f'(x) (x-x^2)dx$$
$$\Rightarrow k^2 \le \int_0^2 (x-x^2)^2dx \int_0^2 [f'(x)]^2 dx$$
$$\Leftrightarrow k^2 \le \dfrac{16}{15}\int_0^2 [f'(x)]^2dx$$
- em yeu chi anh, truongnguyen94tx và nhungvienkimcuong thích
#54
Đã gửi 22-01-2013 - 08:08
Cho $\text{f(x)}$ là hàm số xác định và liên tục trên $\left [ 0, 1 \right ]$ và $\left | \text{f(x)} \right | \leqslant 1$ $,$ $\forall x \in \left [ 0, 1 \right ]$.
Chứng minh rằng :
$\int_{0}^{1}\sqrt{1 - \text{f}^{2}\text{(x)}} \text{dx} \leqslant \sqrt{1 - \left ( \int_{0}^{1} \text{f(x)dx} \right )^{2}}$.
- I love Math forever, Anh la ai, Nguyen Minh Tuan B và 3 người khác yêu thích
#55
Đã gửi 25-01-2013 - 22:37
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#56
Đã gửi 27-01-2013 - 02:24
Bài $23$ :
Cho $\text{f(x)}$ là hàm số xác định và liên tục trên $\left [ 0, 1 \right ]$ và $\left | \text{f(x)} \right | \leqslant 1$ $,$ $\forall x \in \left [ 0, 1 \right ]$.
Chứng minh rằng :
$\int_{0}^{1}\sqrt{1 - \text{f}^{2}\text{(x)}} \text{dx} \leqslant \sqrt{1 - \left ( \int_{0}^{1} \text{f(x)dx} \right )^{2}}$.
Bận mấy bữa để bài này lên men mốc hết rồi
Bdt tương đương với
$$\left(\int_0^1 \sqrt{1-f^2(x)}dx \right)^2 +\left(\int_0^1 f(x)dx\right)^2 \le1 $$
$$LHS \underset{C-S}{\le} \int_0^1 dx \int_0^1 (1-f^2 (x) )dx + \int_0^1 dx \int_0^1 f^2(x)dx =\int_0^1dx =1 $$
Vậy có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 27-01-2013 - 02:35
- 1414141 và Ispectorgadget thích
#57
Đã gửi 27-01-2013 - 02:34
Bài 24: Cho $f$ là hàm liên tục, có đạo hàm $f'$ liên tục trên đoạn $[0;1]$ và $f(0)=0$. Chứng minh rằng $$\int_0^1|f'(x)f(x)|dx\le \frac{1}{2}\int_0^1|f'(x)|^2dx$$
Buổi sáng tại ShiSha café
Ta có:
$$\int_0^1 |f'(x)f(x)|dx =\int_0^1 |f'(x)| \left| \int_0^x f'(t)dt \right| dx $$
$$ \le \int_0^1 |f'(x)| \int_0^x |f'(t)|dt dx $$
$$\le \int_0^1 |f'(x)| \sqrt{\int_0^x dt \int_0^x f'^2(t)dt } dx $$
$$ \le \int_0^1 \sqrt{x} |f'(x)| \sqrt{\int_0^x f'^2(t)dt}dx $$
$$\le \sqrt{\int_0^1 xdx \int_0^1 f'^2(x) \int_0^x f'^2(t)dt dx}$$
$$\le \sqrt{\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{1}{2} \left[\left(\int_0^x f'^2(t)dt \right)^2 \right]' dx}$$
$$ \le \frac{1}{2} \int_0^1 f'^2(x)dx$$
- 1414141 và Ispectorgadget thích
#58
Đã gửi 27-01-2013 - 09:03
Mới giải được bài này =P~Bài 19: Chứng minh rằng $$\int_1^{\sqrt{3}}\frac{e^{-x}\sin x}{x^2+1}dx\le \frac{\pi}{12e}$$
$$\forall x\in [1;\sqrt{3}] \Rightarrow -x\le -x \Rightarrow e ^{-x}\le \frac{1}{e}$$
$$\Rightarrow \frac{e^{-x}\sin x}{x^2+1}<\frac{1}{e(x^2+1)}\Rightarrow \int_1^{\sqrt{3}}\frac{e^{-x}.\sin x}{x^2+1}<\int_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{e(x^2+1)}dx$$
Xét $\int_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{e(x^2+1)}$
Đặt $x=tan t\Rightarrow dx =(tan^2t+1)dt$
Đổi cận $x=1\to t=\frac{\pi}{4};x=\sqrt{3}\to t=\frac{\pi}{3}$
Do đó $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{(tan^2t+1)dt}{e(tan^2t+1)}=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dt}{e}=\frac{\pi}{12}$$
Vậy ta có đpcm.
Bài 25 :Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên đoạn $[0;1]$ thỏa mãn:
i) $f(0)=f(1)=0$
ii) $\int_0^1 |f'(x)|dx=1$
Chứng minh rằng $|f(x)|\le \frac{1}{2}$ với mọi $x$ thuộc đoạn $[0;1]$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 27-01-2013 - 09:11
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#59
Đã gửi 27-01-2013 - 09:42
Cho $\text{f(x)}$ là hàm số liên tục cùng đạo hàm của nó trên đoạn $\text{[a,b]}$ và $\text{f(a) = 0}$. Đặt $\text{M} = \max_{\text{a} \leqslant \text{x} \leqslant \text{b}}\left | \text{f(x)} \right |$.
Chứng minh rằng :
$\text{M}^{2} \leqslant (\text{b} - \text{a})\int_{\text{a}}^{\text{b}}\text{f'}^{2}(\text{x})\text{dx}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 27-01-2013 - 10:53
#60
Đã gửi 27-01-2013 - 13:10
Bài 25 :Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên đoạn $[0;1]$ thỏa mãn:
i) $f(0)=f(1)=0$
ii) $\int_0^1 |f'(x)|dx=1$
Chứng minh rằng $|f(x)|\le \frac{1}{2}$ với mọi $x$ thuộc đoạn $[0;1]$
Làm xong rồi cất gối về quê
$$\forall x \in [0;\dfrac{1}{2}] \;, |f(x)|= \left| \int_0^x f'(t)dt \right| $$
$$ \le \int_0^x |f'(t)|dt \le \int_0^{\frac{1}{2}} |f'(t)|dt$$
$$\forall x \in [\dfrac{1}{2};1] \;, |f(x)|= \left| \int_{x}^1 f'(t)dt \right| $$
$$ \le \int_x^1 |f'(t)| dt \le \int_{\frac{1}{2}}^1 |f'(t)|dt$$
Suy ra $$ |f(x)| \le \dfrac{1}{2} \left(\int_0^{\frac{1}{2}} |f'(t)|dt+ \int_{\frac{1}{2}}^1 |f'(t)|dt \right)=\frac{1}{2}\int_0^1 |f'(t)dt=\frac{1}{2}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 27-01-2013 - 19:20
- 1414141, Ispectorgadget và nhungvienkimcuong thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh