Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * - 5 Bình chọn

Topic về Bất đẳng thức trong Tích phân


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 123 trả lời

#1 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 06-09-2011 - 16:06

Theo như mong muốn của khacduongpro_165, hôm nay mình xin mở một topic như đúng tiêu đề của nó. Topic này tập trung những bài toán về BĐT trong Tích phân nhằm phục vụ cho thi OLP Toán SV. Mình mong đây là nơi để các bạn có thể thảo luận về một góc nhỏ của Giải tích. Bạn nào có bài toán hoặc vấn đề nào đó liên quan thì post lên để cùng trao đổi. Mong mọi người ủng hộ nhiệt tình, tham gia sôi nổi để pic không bị chìm, giúp cho Forum Toán Đại Học Đại cương hòa nhịp với sự phát triển của VMF.

Chú ý:

* Không được spam.

* Trình bày lời giải rõ ràng, đầy đủ.

Sau đây, mình xin đưa ra bài toán mở đầu.

Bài toán 1: Cho f liên tục trên $\left[ {0;1} \right],\,\,0 \le f\left( x \right) \le 1\,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]$. Chứng minh rằng:

$\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx \ge {\left( {\int\limits_0^1 {f\left( {{x^2}} \right)dx} } \right)^2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 02-01-2012 - 16:53


#2 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 10-09-2011 - 22:15

Mọi nguời vào ủng hộ pic này nhé. Mình thấy các 4R Toán Đại học đang bị bỏ quên thì phải. Không có sự đồng bộ giữa các 4R. Chúng ta cần xem lại.

#3 peter1

peter1

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Đã gửi 13-09-2011 - 21:46

Mọi nguời vào ủng hộ pic này nhé. Mình thấy các 4R Toán Đại học đang bị bỏ quên thì phải. Không có sự đồng bộ giữa các 4R. Chúng ta cần xem lại.

bạn có thể cho một chút gợi ý cho bài này không ?

#4 tanlsth

tanlsth

    Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1428 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 22-09-2011 - 21:26

Nhìn sơ qua thì thấy bài toán sai với hàm $ f(x)=x $

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning


#5 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 24-09-2011 - 15:48

Mình đưa ra lời giải cho bài toán trên luôn. Tanlsth xem có vấn đề gì không.

Xét: $\varphi \left( x \right) = \int\limits_0^{{x^2}} {f\left( t \right)} dt - {\left( {\int\limits_0^x {f\left( {{t^2}} \right)dt} } \right)^2},\,\,x \in \left[ {0;1} \right]$
$\varphi '\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right).2x - 2\int\limits_0^x {f\left( {{t^2}} \right)dt.f\left( {{x^2}} \right)} = 2f\left( {{x^2}} \right)\left[ {x - \int\limits_0^x {f\left( {{t^2}} \right)dt} } \right]$
Theo định lý giá trị trung bình của tích phân: $\exists \alpha \in \left[ {0;1} \right]:\,$
$\,\varphi '\left( x \right) = 2f\left( {{x^2}} \right)\left[ {x - xf\left( \alpha \right)} \right] = 2xf\left( {{x^2}} \right)\left[ {1 - f\left( \alpha \right)} \right] \ge 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]$
Vậy $\varphi $ là đơn điệu tăng trên $\left[ {0;1} \right]$. Do vậy $\varphi \left( 1 \right) \ge \varphi \left( 0 \right) = 0$
Ta suy ra $\int\limits_0^1 {f\left( t \right)} dt \ge {\left( {\int\limits_0^1 {f\left( {{t^2}} \right)dt} } \right)^2}$ đpcm.

#6 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 25-09-2011 - 11:09

Bài 2: Cho $f$ là một hàm khả vi liên tục trên $\left[ {a;b} \right],f\left( a \right) = 0$ và $0 \le f'\left( x \right) \le 1,\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right]$.
Chứng minh rằng: $\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx \ge \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {f\left( b \right)} \right)}^2} - {{\left( {f\left( a \right)} \right)}^2}} \right]$.

P/s: Bài này đơn giản, mong mọi người tham gia nhiệt tình.

#7 tanlsth

tanlsth

    Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1428 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 01-10-2011 - 12:29

Bài trên mình nhìn nhầm dấu, sorry :D
Bài dưới thì chỉ cần thấy hàm $f(x)$ luôn dương trên đoạn $[a,b]$ và $\int_{a}^{b} f(x)dx \geq \int_{a}^{b} f(x)f'(x)dx $ thì ta có điều phải chứng minh thôi

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning


#8 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 01-10-2011 - 15:25

Bài trên mình nhìn nhầm dấu, sorry :D
Bài dưới thì chỉ cần thấy hàm $f(x)$ luôn dương trên đoạn $[a,b]$ và $\int_{a}^{b} f(x)dx \geq \int_{a}^{b} f(x)f'(x)dx $ thì ta có điều phải chứng minh thôi

Mình xin bổ sung.
f là hàm đơn điệu tăng trên $\left[ {a;b} \right] \Rightarrow f\left( x \right) \ge f\left( a \right) = 0$. Do đó $f(x)$ không âm trên đoạn $[a,b]$ chứ không phải $f(x)$ luôn dương trên đoạn $[a,b]$.
Phần còn lại thì như tanlsth là chính xác rồi.

#9 CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-10-2011 - 18:38

Bài 3: (Học sinh THPT có thể làm được, nhẹ nhàng)
Chứng minh rằng: $\int_{0}^{\sqrt{2\pi }}sinx^2dx>0$

#10 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 07-10-2011 - 12:35

Bài 3: (Học sinh THPT có thể làm được, nhẹ nhàng)
Chứng minh rằng: $\int_{0}^{\sqrt{2\pi }}sinx^2dx>0$

Không ai làm cả, mình làm nốt để post bài khác.
Đổi biến: $y = {x^2}$ ta có: $\int\limits_0^{\sqrt {2\pi } } {\sin } {x^2}dx = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi } {\dfrac{{\sin y}}{{\sqrt y }}} dy = \dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_0^\pi {\dfrac{{\sin y}}{{\sqrt y }}} dy + \int\limits_\pi ^{2\pi } {\dfrac{{\sin y}}{{\sqrt y }}} dy} \right)$
Đặt $z = y - \pi $ trong tích phân $\int\limits_\pi ^{2\pi } {\dfrac{{\sin y}}{{\sqrt y }}} dy = - \int\limits_0^\pi {\dfrac{{\sin z}}{{\sqrt {z + \pi } }}} dz$
$ \Rightarrow \int\limits_0^{\sqrt {2\pi } } {\sin } {x^2}dx = \dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_0^\pi {\dfrac{{\sin y}}{{\sqrt y }}} dy - \int\limits_0^\pi {\dfrac{{\sin y}}{{\sqrt {y + \pi } }}} dy} \right) = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^\pi {\sin y\left( {\dfrac{1}{{\sqrt y }} - \dfrac{1}{{\sqrt {y + \pi } }}} \right)} dy$
Ta có: $\sin y\left( {\dfrac{1}{{\sqrt y }} - \dfrac{1}{{\sqrt {y + \pi } }}} \right) > 0,\forall y \in \left( {0;\pi } \right)$. Từ đó có đpcm.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Bài 4: Cho hàm số liên tục $f:\left[ {0;1} \right] \to \left[ {1;2} \right]$ thỏa mãn $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \dfrac{3}{2}$. Chứng minh rằng: $\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{f\left( x \right)}}} < \dfrac{3}{4}$

#11 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 10-11-2011 - 16:26

Bài 5: (Học sinh THPT thể làm được)
Chứng minh rằng: $$54\sqrt{2}\leq \int_{-7}^{11}\left ( \sqrt{x+7}+\sqrt{11-x} \right )dx\leq 108$$.

#12 tuithichtoan

tuithichtoan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-11-2011 - 15:15

Đặt $y=\sqrt{x+7}+\sqrt{11-x} $ với $x\in \begin{bmatrix} -7;11\end{bmatrix}$
Có $ y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x+7}}-\dfrac{1}{2\sqrt{11-x}}$
Nên $ y'=0\Leftrightarrow \sqrt{11-x}=\sqrt{x+7}\Leftrightarrow x=2$ và y' không xác định tại x=-7 và x=-11
Vẽ BBT có $\sqrt{18}\leq y\leq 6$
$\Rightarrow \int_{-7}^{11}\sqrt{18}dx\leq \int_{-7}^{11}(\sqrt{x+7}+\sqrt{11-x})dx\leq \int_{-7}^{11}6dx$
$\Leftrightarrow 54\sqrt{2}\leq \int_{-7}^{11}(\sqrt{x+7}+\sqrt{11-x})dx\leq 108 $ (Đ.P.C.M)
Đẳng thức xảy ra khi $x\in (-7;2;11)$
p/s: Em không biết vẽ BBT. Anh Thành vẽ giúp em ha. Thanks anh. :tongue:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuithichtoan: 11-11-2011 - 15:18

Refresh..........................
I'll always smile.
Try my best.

#13 tuithichtoan

tuithichtoan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-12-2011 - 14:23

Quên mất topic này. Không thể để nó chết thế này được.
Xin góp một bài cho anh Thành.
Bài 6 (ĐHQG HN KA-96):
Chứng minh rằng: $\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{2+x+x^{2}}< \dfrac{\Pi }{8}$
Refresh..........................
I'll always smile.
Try my best.

#14 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 29-12-2011 - 09:39

Mọi người cùng vào thảo luận những bài toán ở đây nào. Còn 2 bài chưa được giải quyết.

Bài 4: Cho hàm số liên tục $f:\left[ {0;1} \right] \to \left[ {1;2} \right]$ thỏa mãn $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \dfrac{3}{2}$. Chứng minh rằng: $\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{f\left( x \right)}}} < \dfrac{3}{4}$

Bài 6 (ĐHQG HN KA-96):
Chứng minh rằng: $$\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{2+x+x^{2}}< \dfrac{\Pi }{8}$$


#15 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 02-01-2012 - 16:51

Thêm bài này đơn giản, mọi người ủng hộ nhé (các bạn THPT có thể tham gia)

Bài 7: Chứng minh rằng: $$\int\limits_0^1 {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + x\sin x}}dx < 1 - \ln 2} $$

#16 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 18-01-2012 - 10:49

Chào các bạn. Các bạn hãy cùng tham gia giải những bài toán ở đây nhé. Ủng hộ cho topic góp phần làm sôi nổi diễn đàn.

#17 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 18-01-2012 - 10:58

Bài 8: Chứng minh rằng: $$\mathbf{\int_{1}^{e}\frac{(lnx)^{2009}}{x^{2}}dx>\frac{1}{2010.2011.2012}}$$

#18 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 20-01-2012 - 18:47

Giờ mới kiếm ra cái topic vui thế này :P Trước giờ ít khi vô forum Đại Học ;P

Bài 6 (ĐHQG HN KA-96):
Chứng minh rằng: $\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{2+x+x^{2}}< \dfrac{\Pi }{8}$

Bài này quả thật không khó :) Để ý rằng $x \ge x^2;\forall x \in [0;1]$,suy ra:$\frac{1}{2+x+x^2} \le \frac{1}{2(1+x^2)}$
Vậy:
$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{2+x+x^2} \le \int_{0}^{1}\frac{dx}{2(1+x^2)}=\frac{1}{2}\arctan{x}\Big|_{0}^{1}=\frac{\pi}{8}$$

Thêm bài này đơn giản, mọi người ủng hộ nhé (các bạn THPT có thể tham gia)

Bài 7: Chứng minh rằng: $$\int\limits_0^1 {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + x\sin x}}dx < 1 - \ln 2} $$

Viết lại BĐT cần chứng minh dưới dạng sau:
$$\int_{0}^{1}\left(1-\frac{1}{1+x\sin{x}} \right)dx <1-\ln 2$$
Hay:
$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x\sin{x}} >\ln 2$$
Sử dụng 1 kết quả quen thuộc sau:
$$\sin{x}<x;\forall x>0$$
Suy ra:
$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x\sin{x}} >\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^2}=\arctan{x}\Big|_{0}^{1}=\frac{\pi}{4}>\ln 2$$

Bài 8: Chứng minh rằng: $$\mathbf{\int_{1}^{e}\frac{(lnx)^{2009}}{x^{2}}dx>\frac{1}{2010.2011.2012}}$$

Còn bài này tính hơi phê :D
Sử dụng 1 BĐT hiển nhiên sau:
$$\ln {x} >1-\frac{1}{x};\forall x>0$$
Suy ra:
$$\int_{1}^{e}\frac{\ln {x}^{2009}}{x^2}dx >\int_{1}^{e}\frac{\left(1-\frac{1}{x} \right)^{2009}}{x^2}dx$$
Đặt $$I=\int_{1}^{e}\frac{\left(1-\frac{1}{x} \right)^{2009}}{x^2}dx$$
Đỗi biến $t=\frac{1}{x} \rightarrow dt=\frac{-dx}{x^2}$
$x=1 \rightarrow t=1$
$x=e \rightarrow t=\frac{1}{e}$
Suy ra:
$$I=-\int_{1}^{\frac{1}{e}}(1-t)^{2009}dt=\frac{(1-t)^{2010}}{2010}\Big|_{1}^{\frac{1}{e}}=\frac{\left(1-\frac{1}{e} \right)^{2010}}{2010}>\frac{1}{2010.2011.2012}$$
Có vẻ như bài 8 em làm sai rồi,anh Thành kiểm lại giùm em nhé :P

Ủng hộ bài mới:
Bài 9: Chứng minh:
$$\frac{\pi}{6} \le \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{4-x^2-x^3}} \le \frac{\pi \sqrt{2}}{8}$$
Bài này có thể tổng quát được :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 20-01-2012 - 19:20

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#19 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-01-2012 - 19:05

...
Suy ra:
$$I=-\int_{1}^{\frac{1}{e}}(1-t)^{2009}dt=\frac{(1-t)^{2010}}{2010}\Big|_{1}^{\frac{1}{e}}=\frac{\left(1-\frac{1}{e} \right)^{2010}}{2010}>\frac{1}{2010.2011.2012}$$

Bất đẳng thức cuối cùng làm sao chứng minh được vậy dark_templar?
Còn nữa Vì sao $\dfrac{\pi}{4}>\ln 2\;\;?$
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#20 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-01-2012 - 19:22

Như thế này, không biết có đúng không:

$\sin x < 1, \forall x\in[0,1] \Rightarrow \dfrac{1}{1+x\sin x}> \dfrac{1}{x+1}$

Suy ra: $\int\limits_0^1 \dfrac{dx}{1+x\sin x} >\int\limits_0^1 \dfrac{dx}{1+x}=\ln 2$
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh