Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * - 5 Bình chọn

Topic về Bất đẳng thức trong Tích phân


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 123 trả lời

#21 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 20-01-2012 - 19:25

Bất đẳng thức cuối cùng làm sao chứng minh được vậy dark_templar?
Còn nữa Vì sao $\dfrac{\pi}{4}>\ln 2\;\;?$

$\frac{\pi}{4}> \ln 2$ cái này là bấm máy tính mà anh :D
Còn cái BĐT cuối cùng thì em nghĩ là nó đúng nhưng...... Cái này anh thử lên Wolffram Alpha bấm thử xem :P
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#22 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 20-01-2012 - 20:46

@ Phúc: Đúng như thầy Thanh nói, để bài toán được giải quyết hoàn toàn thì em cần phải chứng minh được bất đẳng thức $\frac{{{{\left( {1 - \frac{1}{e}} \right)}^{2010}}}}{{2010}} > \frac{1}{{2010.2011.2012}}$ đúng :D

#23 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 20-01-2012 - 21:03

@ Phúc: Đúng như thầy Thanh nói, để bài toán được giải quyết hoàn toàn thì em cần phải chứng minh được bất đẳng thức $\frac{{{{\left( {1 - \frac{1}{e}} \right)}^{2010}}}}{{2010}} > \frac{1}{{2010.2011.2012}}$ đúng :D

Vậy anh có nghĩ BĐT đó đúng không :P
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#24 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 20-01-2012 - 21:13

Bài 9: Chứng minh:
$$\frac{\pi}{6} \le \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{4-x^2-x^3}} \le \frac{\pi \sqrt{2}}{8}$$


Ta có $$x \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow 0 \le {x^3} \le {x^2} \Rightarrow - {x^2} \le - {x^3} \le 0 \Rightarrow 4 - 2{x^2} \le 4 - {x^2} - {x^3} \le 4 - {x^2}$$
Suy ra $$\frac{1}{{\sqrt {4 - 2{x^2}} }} \ge \frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2} - {x^3}} }} \ge \frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}$$
Do đó: $$\underbrace {\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx} }_I \le \int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2} - {x^3}} }}dx \le \underbrace {\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4 - 2{x^2}} }}dx} }_J} $$
Đặt $x = 2\sin t \Rightarrow dx = 2\cos tdt$, suy ra $$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos t}}{{\sqrt {4 - {{\left( {2\sin t} \right)}^2}} }}dt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {dt = \frac{\pi }{6}} $$
Đặt $x = \sqrt 2 \sin t \Rightarrow dx = \sqrt 2 \cos tdt$, suy ra $$J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sqrt 2 \cos t}}{{\sqrt {4 - 2{{\left( {\sqrt 2 \sin t} \right)}^2}} }}dt = \left. {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{\pi \sqrt 2 }}{8}} $$
Vậy $\frac{\pi }{6} \le \int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2} - {x^3}} }}dx \le } \frac{{\pi \sqrt 2 }}{8} \Rightarrow Q.E.D$.
------------------------
P/s: hơi lạm dụng dấu $ \Rightarrow $ :P

#25 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 20-01-2012 - 21:17

Vậy anh có nghĩ BĐT đó đúng không :P


Cái này thì anh chịu. Em hãy cho biết cách chứng minh :P

#26 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 20-01-2012 - 21:36

Ta có $$x \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow 0 \le {x^3} \le {x^2} \Rightarrow - {x^2} \le - {x^3} \le 0 \Rightarrow 4 - 2{x^2} \le 4 - {x^2} - {x^3} \le 4 - {x^2}$$
Suy ra $$\frac{1}{{\sqrt {4 - 2{x^2}} }} \ge \frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2} - {x^3}} }} \ge \frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}$$
Do đó: $$\underbrace {\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx} }_I \le \int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2} - {x^3}} }}dx \le \underbrace {\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4 - 2{x^2}} }}dx} }_J} $$
Đặt $x = 2\sin t \Rightarrow dx = 2\cos tdt$, suy ra $$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos t}}{{\sqrt {4 - {{\left( {2\sin t} \right)}^2}} }}dt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {dt = \frac{\pi }{6}} $$
Đặt $x = \sqrt 2 \sin t \Rightarrow dx = \sqrt 2 \cos tdt$, suy ra $$J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sqrt 2 \cos t}}{{\sqrt {4 - 2{{\left( {\sqrt 2 \sin t} \right)}^2}} }}dt = \left. {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{\pi \sqrt 2 }}{8}} $$
Vậy $\frac{\pi }{6} \le \int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2} - {x^3}} }}dx \le } \frac{{\pi \sqrt 2 }}{8} \Rightarrow Q.E.D$.
------------------------
P/s: hơi lạm dụng dấu $ \Rightarrow $ :P

Bài này anh hãy thử làm bài tổng quát xem :D.
Tổng quát:TÌm các chặn trên và chặn dưới của :
$$I=\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{a-\sum\limits_{k=2}^{n}x^{k}}}$$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#27 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3330 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-01-2012 - 21:51

@ Phúc: Đúng như thầy Thanh nói, để bài toán được giải quyết hoàn toàn thì em cần phải chứng minh được bất đẳng thức $\frac{{{{\left( {1 - \frac{1}{e}} \right)}^{2010}}}}{{2010}} > \frac{1}{{2010.2011.2012}}$ đúng :D

Rất tiếc là sai rồi thưa quý vị -> đây này
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#28 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 20-01-2012 - 22:01

Rất tiếc là sai rồi thưa quý vị -> đây này

Nếu vậy chỉ còn mong anh Thành post lời giải thôi :( BUồn quá,giải sai rồi :(
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#29 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 20-01-2012 - 22:05

Ủng hộ tiếp 1 bài: :D
Bài 10:(Khó) Cho $n$ số thực $a_1;a_2;....;a_n$.Chứng minh rằng:
$$\left(\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k} \right)^2 \le \sum\limits_{i;j=1}^{n}\frac{ij}{i+j-1}a_{i}a_{j}$$
Gợi ý: Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz trong Tích Phân :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 20-01-2012 - 22:06

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#30 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 20-01-2012 - 22:15

Rất tiếc là sai rồi thưa quý vị -> đây này


Cái này em đâu biết đúng hay sai :D

#31 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 20-01-2012 - 22:34

Bài 8: Chứng minh rằng: $$\mathbf{\int_{1}^{e}\frac{(lnx)^{2009}}{x^{2}}dx>\frac{1}{2010.2011.2012}}$$


Nếu vậy chỉ còn mong anh Thành post lời giải thôi :( BUồn quá,giải sai rồi :(


$\mathbf{\text{Lời giải:}}$
Trước hết ta chứng minh: $$\int\limits_1^e {\frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^{2010}}}}{{{x^2}}}dx} > \frac{1}{{2011.2012}}$$
Thật vậy, đặt $t = \ln x$, khi đó $$\int\limits_1^e {\frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^{2010}}}}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_0^1 {{t^{2010}}{e^{ - t}}dt > \int\limits_0^1 {{t^{2010}}\left( {1 - t} \right)dt = \frac{1}{{2011.2012}}} } $$
Mặt khác: $$\int\limits_1^e {\frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^{2010}}}}{{{x^2}}}dx = \int\limits_1^e {{{\left( {\ln x} \right)}^{2010}}d\left( { - \frac{1}{x}} \right) = \left. {\left[ { - \frac{1}{x}{{\left( {\ln x} \right)}^{2010}}} \right]} \right|} } _1^e + \int\limits_1^e {\frac{1}{x}2010{{\left( {\ln x} \right)}^{2009}}\frac{1}{x}dx} $$
$$ = - \frac{1}{e} + 2010\int\limits_1^e {\frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^{2009}}}}{{{x^2}}}dx > \frac{1}{{2011.2012}}} $$
Do đó: $$ \Rightarrow \int\limits_1^e {\frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^{2009}}}}{{{x^2}}}dx > \frac{1}{{2010.2011.2012}}} + \frac{1}{{2010e}} > \frac{1}{{2010.2011.2012}}\,\,\text{(đpcm)}$$

#32 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3330 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-01-2012 - 23:55

Thật là hay!

Mình cũng mới nghĩ ra cách tính chính xác luôn $I_n$, tương tự như vậy:

$I_n=\int\limits_1^e \dfrac{(\ln x)^n}{x^2}dx=-\dfrac{1}{e}+nI_{n-1},\;\;(1)$

Với $I_1=\int\limits_1^e \dfrac{\ln x}{x^2}dx=-\dfrac{1+\ln x}{x}\left|\begin{align*} ^e \\ _1\end{align*}\right.=1-\dfrac{2}{e},\;\;(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp biểu thức sau:

$I_n=n!-\dfrac{n!}{e}\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}$

Kết hợp với kết quả của Thành, ta có được một "ước lượng" khá "mỹ mãn" sau:

$\boxed{\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}< e-\dfrac{e}{(n+3)!}}$
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#33 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 21-01-2012 - 10:46

Cảm ơn thầy Thanh và bạn Phúc. Mong hai người sẽ tiếp tục ủng hộ topic. Các bạn khác cùng tham gia nào.

Bài 11: Chứng minh rằng: $$\mathbf{\int\limits_1^2 {{x^x}dx.\int\limits_1^2 {\left( {1 + \ln x} \right)dx \leqslant 3} } }$$

#34 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 22-01-2012 - 07:59

Cảm ơn thầy Thanh và bạn Phúc. Mong hai người sẽ tiếp tục ủng hộ topic. Các bạn khác cùng tham gia nào.

Bài 11: Chứng minh rằng: $$\mathbf{\int\limits_1^2 {{x^x}dx.\int\limits_1^2 {\left( {1 + \ln x} \right)dx \leqslant 3} } }$$

Bài này chỉ cần tinh ý 1 chút :D
Để ý rằng:
$$VP=3=x^{x}\Big|_{1}^{2}=\int_{1}^{2}x^{x}(\ln{x}+1)dx$$
Nên ta có thể viết lại BĐT dưới dạng sau:
$$\int_{1}^{2}x^{x}dx,\int_{1}^{2}(\ln{x}+1)dx \le \int_{1}^{2}x^{x}(\ln{x}+1)dx(1)$$
Để ý rằng:$f(x)=x^{x}$ và $g(x)=\ln{x}+1$ đều là các hàm tăng trên $[1;2]$ nên (1) chính là hệ quả trực tiếp của BĐT Chebyshev trong Tích phân:
$$\int_{a}^{b}f(x)dx.\int_{a}^{b}g(x)dx \le (b-a)\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx(b>a)$$.
Xong :D

Bài 12: Chứng minh rằng:
$$\int_{0}^{\pi}e^{\sin^2{x}}dx>\frac{3\pi}{2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 22-01-2012 - 08:01

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#35 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 29-01-2012 - 21:04

Bài 13: Chứng minh rằng: $$\frac{1}{{2\cos 1}}\int\limits_1^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x}}{x}dx \leqslant \frac{{\ln \pi - \ln 2}}{{\pi - 2}}} $$

#36 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 03-02-2012 - 21:39

Bài 13: Chứng minh rằng: $$\frac{1}{{2\cos 1}}\int\limits_1^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x}}{x}dx \leqslant \frac{{\ln \pi - \ln 2}}{{\pi - 2}}} $$

Tiếp tục Chebyshev :D
Để ý rằng:
$$\frac{\ln{\pi}-\ln{2}}{\pi-2}=\frac{\ln{x}\Big|_{1}^{\frac{\pi}{2}}}{2\left(\frac{\pi}{2}-1 \right)}=\frac{\int\limits_{1}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{x}}{2\left(\frac{\pi}{2}-1 \right)}$$
Nên BĐT:
$$\iff \left(\frac{\pi}{2}-1 \right)\int\limits_{1}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{x}dx}{x} \le \int\limits_{1}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{x}.\cos{1}$$
Mặt khác,ta có:
$$\cos{1}=(-\cos{x})\Big|_{1}^{\frac{\pi}{2}}=\int\limits_{1}^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}dx$$
Nên BĐT:
$$\iff \left(\frac{\pi}{2}-1 \right)\int\limits_{1}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{x}dx}{x} \le \int\limits_{1}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{x}.\int\limits_{1}^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}dx(1)$$
Lại có hàm $f(x)=\sin{x}$ là hàm tăng trên $\left[1;\frac{\pi}{2} \right]$,trong khi hàm $g(x)=\frac{1}{x}$ là hàm giảm trên $\left[1;\frac{\pi}{2} \right]$ nên (1) cũng chỉ là hệ quả của BĐT Chebyshev trong Tích Phân ;)
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#37 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 19-03-2012 - 17:02

Khởi động lại topic.

Bài 14. Chứng minh rằng $$\frac{1}{2} \leqslant \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^{2n}}} }}} \leqslant \frac{\pi }{6},\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$$

#38 tuithichtoan

tuithichtoan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-03-2012 - 10:55

Thấy $x^{2n}\geq 0\Rightarrow 1\leq \frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}$
$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{1}{2}}dx\leq \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}dx$
$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}dx\geq \frac{1}{2}$ (Vế 1 được cm) Dấu "=" xảy ra khi x=1
Vì$ n\in \mathbb{N}*$,$ x\in [0;\frac{1}{2}]$
$\Rightarrow x^{2n}\leq x^{2} $
$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}dx\leq \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$
Tính $ \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$
Đặt x=sint $\Rightarrow dx=costdt$
Đổi cận $x\in [0;\frac{1}{2}]\Rightarrow t\in [0;\frac{\Pi }{6}]$
Khi đó: $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int_{0}^{\frac{\Pi }{6}}\frac{costdt}{\sqrt{1-sin^{2}t}}dx= \int_{0}^{\frac{\Pi }{6}}dt=\frac{\Pi }{6}$ (Vế 2 được cm)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow n=1$
Refresh..........................
I'll always smile.
Try my best.

#39 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 12-05-2012 - 00:10

Tiếp tục ...

Bài 15. Chứng minh rằng:

Nếu$ \int_{0}^{1}f^{2}(x) dx\leq 1 $ thì $ \left|\int_{-1}^{1}f(x)\left\{\int_{-x}^{x}f(t)\hspace{1mm}\textrm{d}t\right\}\textrm{d}x\right|\leq\frac{2}{\pi}. $



#40 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 09-06-2012 - 01:33

Bài 16. Chứng minh rằng: $$\bf{2\sqrt{3}<\int_{-2}^{0}\sqrt{x^{3}-\frac{3x^{2}}{2}-6x+5}\; dx<\sqrt{34}} $$




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh