Bài 30: Cho $f$ không âm, liên tục và đồng biến trên $[0;c] (c>0)$. Chứng minh rằng $$\int_0^a f(x)dx+\int_{f(0)}^bf^{-1}(y)dy \ge ab$$ Với $a\in [0;c];b\in [f(0);c]$
Bài 31: Chứng minh $$e^x-1 <\int_0^x \sqrt{e^{2t}+e^{-t}}<\sqrt{(e^x-1)(e^x-\frac{1}{2})}\;\; \forall x>0$$
Bài 32: Tìm giá trị nhỏ nhất của $$f(n)=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{8}}\left(\frac{\sin^{n+2}x}{\cos^n x} +\frac{\cos^{n+2}}{\sin^nx}\right )dx,n\in \mathbb{Z}^+$$
Bài 33: Cho $m\in \mathbb{N}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$f(x)=\int_1^x t^m.e^{2t}dt-2\left(\frac{x^{m+3}}{m+3}+\frac{x^{m+2}}{m+2} \right ),\, x\ge 1$$
Bài 30: Đã chứng minh
ở đây. Đây là bất đẳng thức
YoungBài 31:Hiển nhiên $$\int_0^x \sqrt{e^{2t}+e^{-t}}> \int_0^x e^t=e^x-1$$
Đặt $$f(x)=\int_0^x \sqrt{e^{2t}+e^{-t}}-\sqrt{(e^x-1)(e^x-\frac{1}{2})} \;\;, x>0$$
$$f'(x)=\sqrt{e^2x+e^{-x}}-\dfrac{e^x}{2} \left(\sqrt{\dfrac{e^2-1}{e^x-\frac{1}{2}}} +\sqrt{\dfrac{e^x-\frac{1}{2}}{e^x-1}}\right)$$
Đặt $t=e^x >1 $
Xét bất phương trình $f'(x)<0$
$$\Leftrightarrow \sqrt{t^2+\frac{1}{t}}<\dfrac{t}{2}\left( \sqrt{t-\dfrac{1}{2(t-\frac{1}{2})}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{2(t-1)}} \right)$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{8}{t^3}<\dfrac{1}{t-1}+\dfrac{1}{t-\frac{1}{2}}$$
$$\Leftrightarrow 4t^4+24t-3t^3-16t^2-8>0$$
Luôn đúng $\forall t>1$
Vậy $f'(x)<0 \;\;, \forall x>0$ , suy ra $f(x)$ nghịch biến trên $(0;+\infty)$
do đó $f(x)<f(0)=0$ , vậy có đpcm.
Bài 32:Do $x \in [\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{8}] $ thì $\sin x >0 \;, \cos x >0$ nên ta có thể thác triển $f$ lên $\mathbb{R}$
Xét $f^1(n)=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{8}}\left(\frac{\sin^{n+2}x}{\cos^n x} +\frac{\cos^{n+2}}{\sin^nx}\right )dx \;, n \in \mathbb{R}_+$
$${f^{1}}^{'}(n)=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{8}} \ln \tan x \left( \frac{\sin^{n+2}x}{\cos^n x} -\frac{\cos^{n+2}}{\sin^nx}\right )dx $$
$$\forall x \in [\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{8}] ,\; \ln \tan x \ge 0 \;, \sin x \ge \cos x$$
$$\Rightarrow \frac{\sin^{n+2}x}{\cos^n x} -\frac{\cos^{n+2}}{\sin^nx} \ge \cos^2 x-\cos^2 x=0$$
$$\Rightarrow {f^{1}}^{'}(n) \ge 0$$
Vậy $f^1(n)$ đồng biến trên $[0+\infty)$ , suy ra $f^1(n) \ge f^1(0)=\dfrac{\pi}{8}$
Suy ra $f(n) \ge f(0) \dfrac{\pi}{8}$
Bài 33:$$f'(x)=x^me^{2x}-2\left(x^{m+2}+x^{m+1} \right )=x^m\left( e^{2x}-2x-2x^2 \right) $$
Lại có $e^x \ge 1+x+\dfrac{x^2}{2} \;, \forall x \ge 0$
suy ra $e^{2x} >1+2x+2x^2 \;, \forall x \ge 1$
Do đó $f'(x) >x^m>0$ , suy ra $f(x)$ đồng biến trên $[1;+\infty)$
Suy ra $f(x) \ge f(1)=-2\left( \dfrac{1}{m+2}+\dfrac{1}{m+3} \right) $