#41
Đã gửi 17-10-2011 - 21:56
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#42
Đã gửi 17-10-2011 - 22:00
Mời bạn trình bày cách của mình.Bài 26 là đề của tuyển sinh đại học. Có thể dùng BĐT Bernoulli chứng minh được không nhỉ ??
Nhưng theo mình thì BĐT Bernoulli không được sử dụng trong thi ĐH đâu.
Dù sao bạn cứ trình bày lời giải của mình đi nhé!
- Tham Lang yêu thích
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
#43
Đã gửi 17-10-2011 - 22:34
BĐT <=>$(1+4^a)^b\leq (1+4^b)^a$ lấy Ln 2 vế
\[
b.\ln (1 + 4^a ) \le a.\ln (1 + 4^b )
\]
<=>$\dfrac{ln(1+4^a)}{a}\leq \dfrac{ln(1+4^b)}{b}$
Xét hàm số:f(x)
\[
\dfrac{{\ln (1 + 4^x )}}{x}(x > 0)
\]
Lấy đạo hàm ta được: f'(x)=
\[
\dfrac{1}{{x^2 }}[x.\dfrac{{4^x .\ln 4}}{{1 + 4^x }} - \ln (1 + 4^x )] = \dfrac{{4^x \ln 4^x - (1 + 4^x )\ln (1 + 4^x )}}{{x^2 (1 + 4^x )}} < 0
\]
=> f(x) nghịch biến trên
\[
(0; + \infty )
\]
và do $a\geq b> 0$
=>f(a)=<f(b)=>$\dfrac{ln(1+4^b)}{a}\leq \dfrac{ln(1+4^b)}{b}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 18-10-2011 - 18:49
- hoahuongduong96 yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#44
Đã gửi 17-10-2011 - 22:41
Sao ông thầy dạy thêm em bảo BĐT Bernoulli là bất đẳng thức quan trọng =.=
Tuy đó là một bất đẳng thức quan trọng nhưng nó không được phép dùng trong thi Đại học đâu. Nói thêm, trong nhiều lĩnh vực khác thì BĐT Bernoulli có rất nhiều ứng dụng, đặc biệt là trong các ngành Vật lí, trong các bài toán Kinh tế như so sánh lãi suất tương đương và lãi suất tỉ lệ.
- Tham Lang yêu thích
#45
Đã gửi 19-10-2011 - 19:58
Bài 27:
Cho $x;y$ là các số dương. Chứng minh rằng:
\[\dfrac{{2{x^2} + 3{y^2}}}{{2{x^3} + 3{y^3}}} + \dfrac{{2{y^2} + 3{x^2}}}{{2{y^3} + 3{x^3}}} \le \dfrac{4}{{x + y}}\]
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
#46
Đã gửi 03-11-2011 - 12:17
Bài 28: (Bất đẳng thức Holder cho hai số)
Cho $a,b \ge 0\,\,;\,\,p,q > 1\,\,;\,\,\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{{{a^p}}}{p} + \dfrac{{{a^q}}}{q} \ge ab$$
#48
Đã gửi 17-12-2011 - 15:44
#49
Đã gửi 17-12-2011 - 16:13
Anh frog vs anh xusint có thể up luôn bản word của mấy tài liệu trong topic này được không...
Xin lỗi bạn! Mình không có bản word cho tài liệu này. Bạn thông cảm.
@ kelangthang: Mình tò mò một chút. Bạn tìm file word của những tài liệu này để làm gì vậy. Mình thấy bạn đã có gửi yêu cầu về một số tài liệu khác.
#50
Đã gửi 18-12-2011 - 10:21
Minh kiếm file word phóng to chữ vs mấy cái công thức lên chuyển thành ảnh jpg copy qua dt đọc...tại mình lười ngồi nhìn màn hình máy tính đau mắt lắm...^^! Đặc biệt là những tài liệu dài...Xin lỗi bạn! Mình không có bản word cho tài liệu này. Bạn thông cảm.
@ kelangthang: Mình tò mò một chút. Bạn tìm file word của những tài liệu này để làm gì vậy. Mình thấy bạn đã có gửi yêu cầu về một số tài liệu khác.
#51
Đã gửi 29-12-2011 - 11:45
#52
Đã gửi 06-01-2012 - 13:41
Xin post một bài bất đẳng thức đơn giản để làm nóng lại Topic.
Cho 3 số $a,b,c$ là 3 số thực dương.
Chứng minh rằng:
$$\dfrac{{a^3 }}{{a^2 + ab + b^2 }} + \dfrac{{b^3 }}{{b^2 + ab + c^2 }} + \dfrac{{c^3 }}{{c^2 + ac + a^2 }} \ge \dfrac{{a + b + c}}{3}$$
P/s: Bài này có thể làm nhiều cách.
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
#53
Đã gửi 06-01-2012 - 13:50
Chứng minh tương tự ta có:
$\dfrac{b^3}{b^2+cb+c^2}\geq b-\dfrac{b+c}{3}$ (2)
$\dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2}\geq c-\dfrac{a+c}{3}$ (3)
Cộng (1)(2)(3) ta có: $\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^2}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2}\geq a+b+c-\dfrac{a+c}{3}-\dfrac{a+b}{3}-\dfrac{b+c}{3}=\dfrac{a+b+c}{3}$(đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c
- minhtuyb yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#54
Đã gửi 06-01-2012 - 15:56
Cách Cauchy ngược của Kiên khá hay.Bài 30:
Cho 3 số $a,b,c$ là 3 số thực dương.
Chứng minh rằng:
$$\dfrac{{a^3 }}{{a^2 + ab + b^2 }} + \dfrac{{b^3 }}{{b^2 + ab + c^2 }} + \dfrac{{c^3 }}{{c^2 + ac + a^2 }} \ge \dfrac{{a + b + c}}{3}$$
P/s: Bài này có thể làm nhiều cách.
Xin post cách dùng pp hàm số .
Cách giải này hoàn toàn không dựa trên kết quả của Kiên
Giả sử:
\[{\dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \ge \dfrac{{2a - b}}{3}}\]
\[{ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} - {a^2}b - a{b^2} \ge 0}\]
\[{ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right){{\left( {a - b} \right)}^2} \ge 0\,\,(*)}\]
Do $ a,b>0 $ nên bất đẳng thức $ (*) $ hiển nhiên đúng. Như vậy giả sử đúng.
Xây dựng 2 bất đẳng thức tương tự với $ b,c $ rồi cộng theo vế ta được:
$$\dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + ab + {c^2}}} + \dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + ac + {a^2}}} \ge \dfrac{{2a - b}}{3} + \dfrac{{2b - c}}{3} + \dfrac{{2c - a}}{3} = \dfrac{{a + b + c}}{3}$$
Đẳng thức xảy ra khi xảy ra khi $a=b=c$
@Kiên: Kiên có vẻ rất khá với kiểu Cauchy ngược này. Anh đang định tổng hợp một số bài về Cauchy ngược dấu. Giúp anh một tay nhé .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 06-01-2012 - 15:58
- Ispectorgadget, Tham Lang, huutrongpro95 và 1 người khác yêu thích
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
#55
Đã gửi 09-03-2012 - 18:27
Em tìm được cách chứng minh cho bài toán tổng quát từ đây moị người suy ra trong TH 2 sốGần 1 tháng rồi topic không hoạt động. Sao mọi người lại bỏ quên một pic hay như thế này. Hôm nay, anh góp cho pic của vietfrog một bài đơn giản (nhằm lấy lại không khí sôi nổi trước kia của pic). Hi vọng mọi người ủng hộ!
Bài 28: (Bất đẳng thức Holder cho hai số)
Cho $a,b \ge 0\,\,;\,\,p,q > 1\,\,;\,\,\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{{{a^p}}}{p} + \dfrac{{{a^q}}}{q} \ge ab$$
Sử dụng BĐT AM-GM suy rộng
Nếu $a,b\ge0$ thì $\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\geq ab$ (1)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a^p=b^q$
Áp dụng (1) với \[
a = \frac{{a_k }}{{(\sum\limits_{k = 1}^n {a_k^p )^{\frac{1}{p}} } }},b = \frac{{b_k }}{{(\sum\limits_{k = 1}^n {b_k^q )^{\frac{1}{q}} } }},k = 1,2,...,n
\]
Ta được:\[
\frac{1}{p}.\frac{{a_k^p }}{{\sum\limits_{k = 1}^n {a_k^p } }} + \frac{1}{q}.\frac{{a_k^q }}{{\sum\limits_{k = 1}^n {a_k^q } }} \ge \frac{{a_k b_k }}{{(\sum\limits_{k = 1}^n {a_k^p )^{\frac{1}{p}} } .(\sum\limits_{k = 1}^n {a_k^q )^{\frac{1}{q}} } }}(2)
\]
Vì (2) đúng với mọi k = 1,2,...,n nên cộng từng vế n BĐT trên ta được \[
\frac{1}{q} + \frac{1}{p} \ge \frac{{a_k b_k }}{{(\sum\limits_{k = 1}^n {a_k^p )^{\frac{1}{p}} .(\sum\limits_{k = 1}^n {b_k^q )^{\frac{1}{q}} } } }} \ge 0 (3)
\]
Từ $\frac{1}{q}+\frac{1}{p}=1$
Nên từ (3) suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi n bất đẳng thức trong (2) đều thành đẳng thức, theo (1), có điều này khi và chỉ khi\[
\frac{{a_k^p }}{{a_1^p + a_2^p + ... + a_n^p }} = \frac{{b_k^q }}{{b_1^q + b_2^q + ... + b_n^q }},k = \overline {1,n}
\]
Tức là \[
\frac{{a_1^p }}{{b_1^q }} = \frac{{a_2^p }}{{b_2^q }} = ... = \frac{{a_n^p }}{{b_n^q }}
\]
Quy ước nếu $b_k=0$ với 1 số k nào đó thì $a_k =0$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#56
Đã gửi 09-03-2012 - 20:06
Topic: Phương pháp hàm số.
#57
Đã gửi 09-03-2012 - 20:57
Còn 1 cách mà dùng Jensen được không anhEm có lời giải sử dụng phương pháp hàm số cho bài toán trên không.
Topic: Phương pháp hàm số.
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#58
Đã gửi 20-03-2012 - 22:26
$$P=\frac{1}{3+a^2}+\frac{1}{3+b^2}+\frac{1}{c^2+3}$$
Bài 32: Cho a,b,c thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=3$ Chứng minh rằng
$$\frac{1}{6-ab}+\frac{1}{6-bc}+\frac{1}{6-ac}\leq \frac{3}{5}$$
Nếu trùng xóa hộ
Chỉ dùng phương pháp tuyến tuyến nhé
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#59
Đã gửi 20-03-2012 - 23:49
Lời giảiBài 31: Cho a,b,c thực dương thỏa $a+b+c=9$. Tìm GTNN của biểu thức sau
$$P=\frac{1}{3+a^2}+\frac{1}{3+b^2}+\frac{1}{c^2+3}$$
Ta có đánh giá: \[\frac{1}{{{a^2} + 3}} \le \frac{{ - 77}}{{1875}}a + \frac{{1549}}{{7509}}\]
Từ đó suy ra:
\[\sum\limits_{sum}^{a,b,c} {\frac{1}{{{a^2} + 3}}} \le \frac{{ - 77}}{{1875}}.\sum a + \frac{{1549}}{{7509}}.3 = \frac{1}{4}\]
Gợi ý:Bài 31: Cho a,b,c thực dương thỏa $a+b+c=9$. Tìm GTNN của biểu thức sau
$$P=\frac{1}{3+a^2}+\frac{1}{3+b^2}+\frac{1}{c^2+3}$$
\[\frac{1}{{6 - ab}} \le \frac{1}{{6 - \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}}} = \frac{1}{{6 - \frac{{3 - {c^2}}}{2}}}\]
Giả thiết: ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 3$ ta dễ dàng xử lý giống bài 1.
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
#60
Đã gửi 20-03-2012 - 23:53
Bài 33:
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 9 \\
x \ge 5;x + y \ge 8 \\
\end{array} \right.$
Chứng minh rằng: $xyz \le 15$
P/s: Hãy giải bài này bằng phương pháp hàm số tương tự 2 bài toán trên nhé!
- Ispectorgadget yêu thích
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh