Tìm min, max của $f(x) = a^x+a^{\sqrt {1 - {x^2}}},x \in [0;1],0 < a \ne 1$
#1
Đã gửi 07-09-2011 - 16:30
Tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các hàm số:
1) $y = {3^{\left| {\sin x} \right|}} + {3^{\left| {\cos x} \right|}}$
2) $y = {4^{\left| {\sin x} \right|}} + {4^{\left| {\cos x} \right|}}$
Với một bài toán nhìn có vẻ đơn giản như vậy nhưng sự thực để tìm đến lời giải hoàn toàn không phải là điều dễ dàng. Tuy nhiên, khi tìm được lời giải trọn vẹn của bài toán là một điều thú vị và kích thích sự tìm tòi, sáng tạo. Câu hỏi đặt ra là có phương pháp chung nào giải các bài toán cùng loại? Chúng ta hãy cùng tìm hiểu nhé.
Bài toán tổng quát:
Tìm GTLN, GTNN của hàm số: $f\left( x \right) = {a^x} + {a^{\sqrt {1 - {x^2}} }},\,\,\,x \in \left[ {0;1} \right],\,\,0 < a \ne 1$ cho trước.
- NguyThang khtn, perfectstrong, le_hoang1995 và 2 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 13-12-2011 - 22:08
#3
Đã gửi 21-12-2011 - 17:15
Có $f'\left( x \right) = {a^x}\ln a - \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{a^{\sqrt {1 - {x^2}} }}\ln a$
$$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {a^x} = \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{a^{\sqrt {1 - {x^2}} }}$$
$$\Leftrightarrow a^{x-\sqrt{1-x^{2}}}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} $$
$$\Leftrightarrow log_{a}\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}=x-\sqrt{1-x^{2}}$$
$$\Leftrightarrow log_{a}x-log_{a}\sqrt{1-x^{2}}=x-\sqrt{1-x^{2}}$$
$$ \Leftrightarrow lo{g_a}x - x = lo{g_a}\sqrt {1 - {x^2}} - \sqrt {1 - {x^2}} \,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
+$ 0< a< 1$, $ f(t)=log_{a}t-t$ ($0< t< 1$)
Có $f'(t)=\dfrac{1}{t.lna}-1 < 0$
$\Rightarrow$ Hàm nghịch biến
$ \Rightarrow x= \sqrt{1-x^{2}}$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $
+$1< a\leq e $, $f(t)=log_{a}t-t$ ($0< t< 1$)
Có $f'(t)=\dfrac{1}{t.lna}-1 > 0$
$\Rightarrow $ Hàm số đồng biến
$\Rightarrow x= \sqrt{1-x^{2}}$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$+a\in (e;+\infty )$
-Xét $f(x)=log_{a}x-x $($0< x< 1$)
$f'(x)=\dfrac{1}{x.lna}-1$
$f'(x)=0$ $\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{lna}$
Khi đó có $f_{CĐ}=a^{\dfrac{1}{lna}}+a^{\sqrt{1-\dfrac{1}{ln^{2}a}}}$
-Mặt khác: $f(\sqrt{1-x^{2}})=log_{a}\sqrt{1-x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}$ ($0< x< 1$)
$f'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^{2}}.lna}+\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$f'(x)=0\Leftrightarrow $$ x=0$ (loại) hoặc $x=\sqrt{1-\dfrac{1}{ln^{2}a}} $
$f_{CT}=a^{\dfrac{1}{lna}}+a^{\sqrt{1-\dfrac{1}{ln^{2}a}}}$
Để pt(1) có nghiệm $\Rightarrow \dfrac{1}{lna}=\sqrt{1-\dfrac{1}{ln^{2}a}} $
$\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy giải pt f'(x)=0 ta tìm được nghiệm $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Từ đó có:
$f(0)=1+a$
$f(\dfrac{\sqrt{2}}{2})=2a^{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$
$f(1)=1+a$
Vẽ BBT và dựa vào từng trường hợp của a, ta tìm được Max, Min của hàm số.
p/s: Em làm vậy không biết có được không. Thấy bài này lâu quá rùi mà không có ai vào thảo luân.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 21-12-2011 - 17:33
I'll always smile.
Try my best.
#4
Đã gửi 28-04-2012 - 09:40
Bài toán này thực sự rất khó. Được đăng trên báo THTT số 387 9-2009Bài toán mở đầu:
Tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các hàm số:
1) $y = {3^{\left| {\sin x} \right|}} + {3^{\left| {\cos x} \right|}}$
2) $y = {4^{\left| {\sin x} \right|}} + {4^{\left| {\cos x} \right|}}$
Với một bài toán nhìn có vẻ đơn giản như vậy nhưng sự thực để tìm đến lời giải hoàn toàn không phải là điều dễ dàng. Tuy nhiên, khi tìm được lời giải trọn vẹn của bài toán là một điều thú vị và kích thích sự tìm tòi, sáng tạo. Câu hỏi đặt ra là có phương pháp chung nào giải các bài toán cùng loại? Chúng ta hãy cùng tìm hiểu nhé.
Bài toán tổng quát:
Tìm GTLN, GTNN của hàm số: $f\left( x \right) = {a^x} + {a^{\sqrt {1 - {x^2}} }},\,\,\,x \in \left[ {0;1} \right],\,\,0 < a \ne 1$ cho trước.
Vì lời giải rất dài 3 (trang) nên mình không trích dẫn ra được.
Để giải bài này cần chia ra 3 trường hợp
Trường hợp 1: $0<a<1$
Trường hợp 2: $1<a\le e$
Trường hợp 3: $e<a<e^{\sqrt2}$
- Tham Lang yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh