Chủ đề này có 2 trả lời

[dothanhtungct]

Trong cuốn sách "Các bài tóan hàm số qua các kì thi Olimpic " của thầy Nguyễn Trọng Tuấn , bài tóan 6, trang 132, có bài tóan sau :
Tìm tất cả các hàm số f(x) liên tục : R_R thỏa mãn :
xf(x)-y(y)=(x-y)f(x+y) với mọi x,y thuộc R
Tác giả đã cho đáp số : f(x)=ax+b nhưng phải sử dụng đến giả thiết là f(x) liên tục trên R. Liệu chúng ta có thể giải quyết bài tóan này mà không cần sử dụng đến giả thiết là hàm số f(x) liên tục được hay không ?
Rất mong được sự trao đổi của các bạn.

[euler]

Tìm tất cả các hàm số f(x) liên tục : R_R thỏa mãn :
xf(x)-y(y)=(x-y)f(x+y) với mọi x,y thuộc R

Thứ nhất :
Theo tớ biết , đề ra là như thế này mới đúng chứ :
Tìm tất cả các hàm số f(x) liên tục thỏa mãn :


Thứ hai : tớ không nhớ bài đó nằm trang mấy , nhưng có một bài như vậy nằm ở phần bài tập , không sử dụng giả thiết liên tục
theo cậu nói thì cũng đúng , chẳng qua là tác giả cố tình để thừa giả thiết , vì lúc đó đang học những bài toán mang tính liên tục (trang 132)

[lehoan]

Với mọi http://dientuvietnam...metex.cgi?x;y;z ta có

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?xf(x)-yf(y)=xf(x)-zf(z)+zf(z)-yf(y)
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?=(x-z)f(x+z)+(z-y)f(z+y)

Từ đó suy ra

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x-y)f(x+y)=(x-z)f(x+z)+(z-y)f(z+y) (1)

Đặt http://dientuvietnam...y=c;y z=a;z x=b

Ta có http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(x)=Ax+B