Chủ đề này có 3 trả lời

[kingsaha]

Cho x,y,z > 0 .CMR:

\[
\sqrt {x^2 + xy + y^2 } + \sqrt {y^2 + yz + z^2 } + \sqrt {z^2 + xz + x^2 } \ge \sqrt 3 \left( {x + y + z} \right)
\]

[Didier]

$ \sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \dfrac{\sqrt{3}}{2}(x+y)$
$ \Leftrightarrow 4(x^{2}+xy+y^{2})\geq 3(x^{2}+2xy+y^{2})$
$ \Leftrightarrow x^{2}-2xy+y^{2}\geq 0$
$ \Leftrightarrow (x-y)^{2}\geq 0(luôn đúng \forall x,y)$
vậy $ \sum \sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \sqrt{3}(x+y+z)$
dấu bằng đạt$ \Leftrightarrow x=y=z$
PS:mong ban quản trị cố gắng sửa lại diễn đàn cho màn hình full ra môt tí nhá
mà tớ ko hiểu cái dấu gạch này để làm gì

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 20-09-2011 - 20:12

[taminhhoang10a1]

bạn có thể dùng cách khác là sử dung bất đẳng thức

*** Cannot compile formula:
$\sqrt {x_1 ^2  + y_1 ^2 }  + \sqrt {x_2 ^2  + y_2 ^2 }  + \sqrt {x_3 ^2  + y_3 ^2 }  \ge \sqrt {(x_1  + x_2  + x_3 )^2  + (y_1  + y_2  + y_3 )^2 } $

*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi taminhhoang10a1: 21-09-2011 - 19:53

[Ispectorgadget]

\[
\begin{array}{l}
\sum {\sqrt {x^2 + xy + y^2 } } = \sum {\sqrt {\dfrac{3}{4}(x + y)^2 + \dfrac{1}{4}(x - y)^2 } } \ge \sum {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}(x + y)} \\
\\
\end{array}
\]
=> điều phải cm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 12-10-2011 - 17:41