Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 10 Bình chọn

Bổ đề hoán vị $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2099 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-09-2011 - 02:07

*
Phổ biến

Bổ đề (Võ Quốc Bá Cẩn)
Với mọi $ a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$, đặt $ab+bc+ca=q$ $ (1 \ge 3q >0)$, khi đó
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \ge \dfrac{2(27q^2-9q+1)}{9q^2-2q+(1-3q)\sqrt{q(1-3q)}}+\dfrac{1}{q}-6$$



Chứng minh 

(Lê Hữu Điền Khuê)

Ta sẽ tìm hàm số $f(q)$ sao cho
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge f(q) \forall a,b,c>0.$$
Bất đẳng thức tương đương với
$$\sum \dfrac{a}{b}+\sum \dfrac{b}{a}\ge 2f(q)+\sum \dfrac{b}{a}-\sum \dfrac{a}{b}$$
hay
$$\sum ab(a+b)-2abc\cdot f(q)\ge (a-b)(b-c)(c-a).$$
Như vậy ta chỉ cần chứng minh
$$\sum ab(a+b)-2abc\cdot f(q)\ge \sqrt{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}.$$
(thủ thuật đối xứng hóa)
Chuyển sang $p,q,r$ với $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc$:
$$(pq-3r)-2f(q)\cdot r \ge \sqrt{p^2q^2+18pqr-27r^2-4q^3-4p^3r}.$$
Vì $p=1$ nên BĐT trở thành
$$(q-3r)-2f(q)\cdot r \ge \sqrt{q^2+18qr-27r^2-4q^3-4r}.$$
Bây giờ ta đặt $k=3+2f(q)$ và bình phương hai vế
$$(q-kr)^2\ge q^2+18qr-27r^2-4q^3-4r$$
Rút gọn đưa về đa thức bậc hai theo $r$:
$$(27+k^2)r^2+2(2-kq-9q)r+4q^3 \ge 0.$$
Bước quan trọng: ta sẽ tìm mối liên hệ giữa $k$ và $q$ sao cho hệ thức $\Delta_r$ bằng 0 (khi đó đẳng thức sẽ xảy ra khi $r$ là một hàm theo $q$, nghĩa là có vô số bộ số $(a,b,c)$ để đẳng thức xảy ra).
Tính
\begin{eqnarray*}
\Delta_r '&=&(2-kq-9q)^2-4q^3(27+k^2)\\
&=&q^2(1-4q)k^2+2q(9q-2)k+(9q-2)^2-108q^3.
\end{eqnarray*}
Giải phương trình $\Delta_r '=0$ để tìm $k$. Ta có
$$\Delta_k '=q^2(9q-2)^2-q^2(1-4q)[(9q-2)^2-108q^3]=16q^3(1-3q)^3 \ge 0$$
Do đó phương trình có hai nghiệm
$$k=\dfrac{2-9q\pm 4\sqrt{q(1-3q)^3}}{q(1-4q)}.$$
Ta sẽ chọn dấu cộng để có nghiệm dương (khử được $(1-4q)$ ở mẫu !)
Vậy
$$k=\dfrac{2-9q+ 4\sqrt{q(1-3q)^3}}{q(1-4q)}.$$
Do đó
$$f(q)=\dfrac{k-3}{2}=\dfrac{1-6q+6q^2+ 2\sqrt{q(1-3q)^3}}{q(1-4q)}.$$
Nhiệm vụ cuối cùng là rút gọn $f(q)$. Lưu ý rằng
\begin{eqnarray*}
1-6q+6q^2+ 2\sqrt{q(1-3q)^3}&=&\left[2\sqrt{q(1-3q)^3}-2(9q^2-2q)\right]+(24q^2-10q+1)\\
&=&2\cdot \dfrac{q(1-3q)^3-(9q^2-2q)^2}{\sqrt{q(1-3q)^3}+2(9q^2-2q)}+(4q-1)(6q-1)\\
&=&2\cdot \dfrac{q(1-4q)(27q^2-9q+1)}{\sqrt{q(1-3q)^3}+2(9q^2-2q)}+(4q-1)(6q-1)\\
\end{eqnarray*}
Vậy
$$f(q)=\dfrac{2(27q^2-9q+1)}{\sqrt{q(1-3q)^3}+2(9q^2-2q)}+\dfrac{1-6q}{q}.$$
Đây chính là điều phải chứng minh.


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#2 HoangTrongHien

HoangTrongHien

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 17-01-2014 - 21:17

Mình chỉ có thể nói: “Bài viết này là1 công trình đồ sộ và mang tính đột phá cao trong việc tìm hiểu các đại lượng hoán vị.” Bái phục! Và chân thành cảm ơn vì bài viết đáng quý này của bạn!



#3 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2099 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-02-2016 - 22:58

Nhân dịp có bạn nhắc đến post này, nhận xét thêm một tí.

 

Những gì mình đã trình bày ở trên không chỉ đơn giản là một chứng minh cho một kết quả có sẵn, mà nó còn là con đường để đi đến kết quả. 

 

Ngay câu đầu tiên, các bạn đã thấy: "Ta sẽ tìm hàm số $f(q)$ sao cho...", và thú thật với các bạn, đó chính là những gì mình đã nghĩ lúc bắt tay vào bài toán. Mình không bận tâm đến cái biểu thức phức tạp trong đề bài, mà muốn tìm một đại lượng tối ưu nhất có thể. 

 

Các bạn có thể thấy biểu thức đầu tiên mình tìm được là 

$$f(q)=\dfrac{1-6q+6q^2+ 2\sqrt{q(1-3q)^3}}{q(1-4q)},$$

chứ không phải là biểu thức đã cho trong đề bài. 

 

Trong lời giải mình ghi "Nhiệm vụ cuối cùng là rút gọn...", thực ra lúc đó mình đang kiểm tra xem cái nào mạnh hơn giữa hai thằng (chả ai đi rút gọn một biểu thức "đẹp" về một biểu thức xấu hơn :P ), và cuối cùng thấy rằng chúng là một.


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#4 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 19-11-2016 - 13:15

Em cũng xin đăng vài bổ đề khác : 

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 

  1. $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{21(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)^{2}} \right )$
  2. $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9(a^{2}+b^{2}+ c^{2})}{(a+b+c)^{2}}$
  3. $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{1}{3}\left ( 11-\frac{2(ab+bc+ca)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \right )$
  4. $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{17}{3}-\frac{8(ab+bc+ca)}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
  5. $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3\sqrt[4]{\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3abc}}$
  6. $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \sqrt{5+\frac{4(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}}$


#5 Ben Beck

Ben Beck

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 18 Bài viết

Đã gửi 21-07-2017 - 21:06

 

Em cũng xin đăng vài bổ đề khác : 

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 

  1. $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{21(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)^{2}} \right )$
  2. $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9(a^{2}+b^{2}+ c^{2})}{(a+b+c)^{2}}$
  3. $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{1}{3}\left ( 11-\frac{2(ab+bc+ca)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \right )$
  4. $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{17}{3}-\frac{8(ab+bc+ca)}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
  5. $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3\sqrt[4]{\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3abc}}$
  6. $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \sqrt{5+\frac{4(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}}$

 

bạn có link cm các bổ đề trên k



#6 AnhTran2911

AnhTran2911

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên PBC , Vinh, Nghệ An.
  • Sở thích:pp

Đã gửi 22-07-2017 - 11:12

bạn có link cm các bổ đề trên k

Cái này có trong sách, về nhà coi thử xem .


        AQ02

                                 


#7 Ben Beck

Ben Beck

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 18 Bài viết

Đã gửi 22-07-2017 - 14:13

Cái này có trong sách, về nhà coi thử xem .

Sách gì v anh






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh