Chủ đề này có 8 trả lời

[wasukigialoc]

a) sin3x.cot5x = cos7x

b) tanx.cot5x = 1

c) sin2x/cos3x =1

d) sinx.cot5x/cos9x = 1

Các bạn chỉ cần trình bày rõ cách làm phần loại nghiệm lượng giác (so điều kiện) thôi. Nhớ trình bày rõ ràng nhé (nhất là câu a, b)!

Mình cảm ơn trước!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wasukigialoc: 23-09-2011 - 11:00

[vantho302]

\[\begin{array}{l}
a)\sin 3x\cot 5x = \cos 7x \\
DK:\sin 5x \ne 0 \Leftrightarrow 5x \ne k\Pi \Leftrightarrow x \ne k\dfrac{\Pi }{5},k \in Z \\
\Leftrightarrow \sin 3x\dfrac{{\cos 5x}}{{\sin 5x}} = \cos 7x \\
\Leftrightarrow \sin 3x\cos 5x = \cos 7x\sin 5x \\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \left( {8x} \right) + \sin \left( { - 2x} \right)} \right] = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \left( {12x} \right) + \sin \left( { - 2x} \right)} \right] \\
\Leftrightarrow \sin \left( {8x} \right) = \sin \left( {12x} \right) \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
8x = 12x + k2\Pi \\
8x = \Pi - 12x + k2\Pi \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\dfrac{\Pi }{2} \\
x = \dfrac{\Pi }{{20}} + k\dfrac{\Pi }{{10}} \\
\end{array} \right.k \in Z \\
\end{array}\]

Những điểm trên đường tròn lượng giác mà mình đánh dấu. Nếu các nghiệm của ta mà trùng các điểm trên thì ta sẽ loại.
Rõ ràng, nghiệm $x = \dfrac{\Pi }{{20}} + k\dfrac{\Pi }{{10}}$ luôn luôn không trùng với các điểm trên với mọi k thuộc Z
Còn nghiệm $x = k\dfrac{\Pi }{2}$ sẽ có những giá trị k làm cho nghiệm trùng với các điểm trên như
$\begin{array}{l}
k = 0 \to x = 0 \equiv A \\
k = 2 \to x = \Pi \equiv F \\
k = 4 \to x = 2\Pi \equiv A \\
\end{array}$
Như vậy thì theo qui nạp ta sẽ nhận thấy với k là một số chẵn thì nghiệm $x = k\dfrac{\Pi }{2}$
sẽ bị loại, còn k lẻ thì ta nhận
Hay nghiệm là $x = \left( {2l + 1} \right)\dfrac{\Pi }{2} = \dfrac{\Pi }{2} + l\Pi ,l \in Z$
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
$\left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{\Pi }{2} + l\Pi ,l \in Z \\
x = \dfrac{\Pi }{{20}} + k\dfrac{\Pi }{{10}},k \in Z \\
\end{array} \right.$

Bài tiếp theo
$b.\tan {\rm{x}}\cot 5x = 1$
Điều kiện
\[\left\{ \begin{array}{l}
\cos x \ne 0 \\
\sin 5x \ne 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \dfrac{\Pi }{2} + k\Pi \\
x \ne k\dfrac{\Pi }{5} \\
\end{array} \right.;k \in Z\]
Phương trình đã cho tương đương
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \cot 5x = \dfrac{1}{{{\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}}}} = {\mathop{\rm c}\nolimits} {\rm{otx}} \\
\Leftrightarrow {\rm{5x = x + k}}\Pi \Leftrightarrow {\rm{x = k}}\dfrac{\Pi }{4},k \in Z \\
\end{array}$


Như vậy thì tất cả các điểm trên đường tròn lượng giác trên là điểm của điều kiện. Nếu nghiệm của chúng ta mà trùng với các điểm trên thì ta sẽ loại nghiệm ra.
Nghiệm của ta là $x = k\dfrac{\Pi }{4},k \in Z$
Nếu $\begin{array}{l}
k = 0 \to x = 0 \equiv A \\
k = 2 \to x = \dfrac{\Pi }{2} \equiv M \\
k = 4 \to x = \Pi \equiv F \\
k = 6 \to x = \dfrac{{3\Pi }}{2} \equiv N \\
k = 8 \to x = 2\Pi \equiv A \\
\end{array}$
Cứ qui nạp như vậy thì ta nhận thấy nếu k là số chẵn thì nghiệm sẽ bị trùng với điều kiện nên ta loại, còn k lẻ thì ta nhận nghiệm
Vậy nghiệm của phương trình đã cho sẽ là
\[x = \left( {2l + 1} \right)\dfrac{\Pi }{4} = \dfrac{\Pi }{4} + l\dfrac{\Pi }{2};l \in Z\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vantho302: 24-09-2011 - 23:10

[wasukigialoc]

Bạn ơi, sao bạn không trình bày phần loại nghiệm như thế nào?? Mình đâu yêu cầu bạn giải ra đâu?

[wasukigialoc]

Còn cách nào để so điều kiện nữa không bạn . Cách này có vẻ khó với những bài còn lại!

[vantho302]

Ta có 2 cách so nghiệm của bài toán với điều kiện: cách mà mình vừa trình bày và cách viết tất cả các nghiệm và điều kiện của bài toán lên chung một đường tròn lượng giác sau đó xem thử nếu có nghiệm nào trùng với điều kiên thì ta loại ra. Nhưng cách này so với cách tôi trình bày là phức tạp hơn nhiều. Cách trên cũng đơn giản chứ đâu khó gì đâu

[vantho302]

Ví dụ trong sách giáo khoa lớp 11 có bài toán sau
$\dfrac{{2\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0$
Điều kiện nghiệm là
$1 - \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow \sin 2x \ne 1 \Leftrightarrow 2x \ne \dfrac{\Pi }{2} + k2\Pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\Pi }{4} + k\Pi ,k \in Z$

Nghiệm phương trình sẽ là
$ \Leftrightarrow c{\rm{os}}2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\Pi }{2} + k\Pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\Pi }{4} + k\dfrac{\Pi }{2},k\Pi \in Z$

Bây giờ ta sẽ so sánh nghiệm và điều kiện để biết được nghiệm nào loại và nghiệm nào nhận bằng đường tròn lượng giác

• k=0 thì điểm nghiệm và điểm điều kiện $A \equiv B = \dfrac{\Pi }{4}$ nhau nên ta sẽ loại giá trị k=0
• k=1 thì tại thì nghiệm là $A = \dfrac{{3\Pi }}{4} \ne B = \dfrac{{5\Pi }}{4}$ nên ta sẽ nhận giá trị k=1
• k=2 thì điểm nghiệm và điểm điều kiện $A = \dfrac{{5\Pi }}{4} \equiv B$ nhau nên ta sẽ loại giá trị k=2
• k=-1 thì điểm nghiệm là $A = - \dfrac{\Pi }{4} \ne B = - \dfrac{{3\Pi }}{4}$ nên ta sẽ nhận k=-1
• Cứ như quy nạp như vậy thì ta sẽ thấy được nếu như k là một số lẻ $k = 2l - 1$ thì nghiệm ta sẽ nhận, còn nếu k là một số chẵn $k = 2l$ thì ta loại nghiệm
• Như vậy cuối cùng nghiệm của bài toán luôn luôn nằm ở hai điểm là $ - \dfrac{\Pi }{4} + k\Pi ,\dfrac{{3\Pi }}{4} + k\Pi $
  Kết luận $x = \dfrac{\Pi }{4} + \left( {2l - 1} \right)\dfrac{\Pi }{2} = - \dfrac{\Pi }{4} + l\Pi ,l \in Z$ Hay $x = \dfrac{\Pi }{4} + \left( {2l + 1} \right)\dfrac{\Pi }{2} = \dfrac{{3\Pi }}{4} + l\Pi ,l \in Z$
  
  Bạn hãy làm nhiều bài tập dạng này thì sẽ quen tay thôi. chúc bạn thành công

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vantho302: 24-09-2011 - 09:02

[hoang45]

Loại nghiệm bằng phương pháp hình học thế này nếu nghiệm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là 20 điểm, 30 điểm thì làm thế nào cho kịp thời gian?? Theo mình bạn nên sử dụng cách làm đại số

[conlocsanco]

bạn ơi, thường thi đại học không đề nào có kết quả nhiều nghiệm như vậy đâu, theo mình cách này là cách đơn giản và hiệu quả

[kaoriko612]

\[\begin{array}{l}
a)\sin 3x\cot 5x = \cos 7x \\
DK:\sin 5x \ne 0 \Leftrightarrow 5x \ne k\Pi \Leftrightarrow x \ne k\dfrac{\Pi }{5},k \in Z \\
\Leftrightarrow \sin 3x\dfrac{{\cos 5x}}{{\sin 5x}} = \cos 7x \\
\Leftrightarrow \sin 3x\cos 5x = \cos 7x\sin 5x \\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \left( {8x} \right) + \sin \left( { - 2x} \right)} \right] = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \left( {12x} \right) + \sin \left( { - 2x} \right)} \right] \\
\Leftrightarrow \sin \left( {8x} \right) = \sin \left( {12x} \right) \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
8x = 12x + k2\Pi \\
8x = \Pi - 12x + k2\Pi \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\dfrac{\Pi }{2} \\
x = \dfrac{\Pi }{{20}} + k\dfrac{\Pi }{{10}} \\
\end{array} \right.k \in Z \\
\end{array}\]

Những điểm trên đường tròn lượng giác mà mình đánh dấu. Nếu các nghiệm của ta mà trùng các điểm trên thì ta sẽ loại.
Rõ ràng, nghiệm $x = \dfrac{\Pi }{{20}} + k\dfrac{\Pi }{{10}}$ luôn luôn không trùng với các điểm trên với mọi k thuộc Z
Còn nghiệm $x = k\dfrac{\Pi }{2}$ sẽ có những giá trị k làm cho nghiệm trùng với các điểm trên như
$\begin{array}{l}
k = 0 \to x = 0 \equiv A \\
k = 2 \to x = \Pi \equiv F \\
k = 4 \to x = 2\Pi \equiv A \\
\end{array}$
Như vậy thì theo qui nạp ta sẽ nhận thấy với k là một số chẵn thì nghiệm $x = k\dfrac{\Pi }{2}$
sẽ bị loại, còn k lẻ thì ta nhận
Hay nghiệm là $x = \left( {2l + 1} \right)\dfrac{\Pi }{2} = \dfrac{\Pi }{2} + l\Pi ,l \in Z$
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
$\left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{\Pi }{2} + l\Pi ,l \in Z \\
x = \dfrac{\Pi }{{20}} + k\dfrac{\Pi }{{10}},k \in Z \\
\end{array} \right.$

Bài tiếp theo
$b.\tan {\rm{x}}\cot 5x = 1$
Điều kiện
\[\left\{ \begin{array}{l}
\cos x \ne 0 \\
\sin 5x \ne 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \dfrac{\Pi }{2} + k\Pi \\
x \ne k\dfrac{\Pi }{5} \\
\end{array} \right.;k \in Z\]
Phương trình đã cho tương đương
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \cot 5x = \dfrac{1}{{{\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}}}} = {\mathop{\rm c}\nolimits} {\rm{otx}} \\
\Leftrightarrow {\rm{5x = x + k}}\Pi \Leftrightarrow {\rm{x = k}}\dfrac{\Pi }{4},k \in Z \\
\end{array}$


Như vậy thì tất cả các điểm trên đường tròn lượng giác trên là điểm của điều kiện. Nếu nghiệm của chúng ta mà trùng với các điểm trên thì ta sẽ loại nghiệm ra.
Nghiệm của ta là $x = k\dfrac{\Pi }{4},k \in Z$
Nếu $\begin{array}{l}
k = 0 \to x = 0 \equiv A \\
k = 2 \to x = \dfrac{\Pi }{2} \equiv M \\
k = 4 \to x = \Pi \equiv F \\
k = 6 \to x = \dfrac{{3\Pi }}{2} \equiv N \\
k = 8 \to x = 2\Pi \equiv A \\
\end{array}$
Cứ qui nạp như vậy thì ta nhận thấy nếu k là số chẵn thì nghiệm sẽ bị trùng với điều kiện nên ta loại, còn k lẻ thì ta nhận nghiệm
Vậy nghiệm của phương trình đã cho sẽ là
\[x = \left( {2l + 1} \right)\dfrac{\Pi }{4} = \dfrac{\Pi }{4} + l\dfrac{\Pi }{2};l 

cho em hỏi một tí về câu b ạ

trong sgk 11 có bài tập là tan3xtanx=1 nhưng tụi em làm bằng cách tan3x=1/tanx <=>tan3x=cotx thì giáo viên không chấp nhận. tại sao ạ? câu này với câu b khác nhau chỗ nào ạ? tai sao câu b trên sử dụng được cách đó mà bài tập trong sgk lại không áp dụng được ạ?