Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi kết thúc phần phương trình lượng giác

Đánh lại nguyên văn......

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 14 trả lời

#1
khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết

Đề thi kết thúc phần phương trình lượng giác

Khối 11 năm 2011-2012

Thời gian làm bài 120 phút






Câu 1: Giải phương trình: $\sqrt 3 \left( {2{{\cos }^2}x + \cos x - 2} \right) + \left( {3 - 2\cos x} \right)\sin x = 0$
Câu 2: Tìm min, max của $y = \dfrac{{2 + \cos x}}{{\sin x + \cos x - 2}}$
Câu 3: Giải phương trình: $\sin \left( {\dfrac{{5x}}{2} - \dfrac{\pi }{4}} \right) - \cos \left( {\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \cos \dfrac{{3x}}{2}$
Câu 4: Giải phương trình: $2{\cos ^2}x + 2\sqrt 3 \sin x\cos x + 1 = 3\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)$
Câu 5: Giải phương trình: $\cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) + 4\sin x = \sqrt 2 \left( {\sqrt 2 + 1 - \sin x} \right)$
Câu 6: Giải phương trình: $3 - \tan 2x(\tan 2x + 2\sin 2x) + 6\cos 2x = 0$ với $x \in \left( {0;4\pi } \right)$
Câu 7: Giải phương trình: $3{\cot ^2}x + 2\sqrt 2 {\sin ^2}x = \left( {2 + 3\sqrt 2 } \right)\cos x$
Câu 8: Giải phương trình: $2\cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right) + 2\sin x\left( {2\sin 3x - \sin x} \right) = \cos 2x$
Câu 9: Giải phương trình: $2\sqrt 2 \cos 2x + \sin 2x\cos \left( {x + \dfrac{{3\pi }}{4}} \right) - 4\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0$
Câu 10: Cho tam giác ABC, với BC = a, CA = b, AB = c. Thõa mãn điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
a\left( {a + c} \right) = {b^2}\\
b\left( {b + a} \right) = {c^2}
\end{array} \right.$
CMR: $\dfrac{1}{{\sin A}} = \dfrac{1}{{\sin B}} + \dfrac{1}{{\sin C}}$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Thí sinh không được trao đổi, sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Gv ra đề: Thạc sĩ. Nguyễn Thuật


THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#2
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

Câu 1: Giải phương trình: $\sqrt 3 \left( {2{{\cos }^2}x + \cos x - 2} \right) + \left( {3 - 2\cos x} \right)\sin x = 0$


$\sqrt 3 \left( {2{{\cos }^2}x + \cos x - 2} \right) + \left( {3 - 2\cos x} \right)\sin x = 0$

<=> $\sqrt 3$ (cosx - 2sin2x) + (3 - 2cosx)sinx = 0
<=> $\sqrt 3$cosx - 2$\sqrt 3$sin2x + 3sinx - 2sinxcosx = 0
<=> cosx($\sqrt 3$ - 2sinx) + $\sqrt 3$ sinx($\sqrt 3$ - 2sinx) = 0
<=> ($\sqrt 3$sinx + cosx) ($\sqrt 3$ - 2sinx) = 0
<=>$\sqrt 3$sinx + cosx = 0 hay $\sqrt 3$ - 2sinx = 0
<=>$cos(\dfrac{\pi }{3}-x)=0$ hay $sinx = sin\dfrac{\pi }{3}$
<=>$x=-\dfrac{\pi }{6}+k2\pi$ hay $x=\dfrac{\pi }{3}+k2\pi$ hay $x=\dfrac{2\pi }{3}+k2\pi$ $(k\epsilon Z)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 09-10-2011 - 21:16

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#3
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

Câu 2: Tìm min, max của $y = \dfrac{{2 + \cos x}}{{\sin x + \cos x - 2}}$

$y = \dfrac{{2 + \cos x}}{{\sin x + \cos x - 2}}$
điều kiện: sinx+cosx\neq 2
<=>$1\leqslant 2+cosx\leqslant 3$
......$-1\leqslant sinx\leqslant 1$
......$-3\leqslant cosx-2\leqslant -1$
<=>$1\leqslant 2+cosx\leqslant 3$
......$-4\leqslant sinx+cosx-2<0$
<=>$-\dfrac{1}{4}\geqslant \dfrac{2+cosx}{sinx+cosx-2}>0$
<=>$maxy=-\dfrac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 09-10-2011 - 19:53

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#4
khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết

$y = \dfrac{{2 + \cos x}}{{\sin x + \cos x - 2}}$
điều kiện: sinx+cosx\neq 2
<=>$1\leqslant 2+cosx\leqslant 3$
......$-1\leqslant sinx\leqslant 1$
......$-3\leqslant cosx-2\leqslant -1$
<=>$1\leqslant 2+cosx\leqslant 3$
......$-4\leqslant sinx+cosx-2<0$
<=>$-\dfrac{1}{4}\l\geqslant \dfrac{2+cosx}{sinx+cosx-2}<0$
<=>$maxy=-\dfrac{1}{4}$

Bạn đã làm sai bài này, lời giải của bài này như thế này:
$\begin{array}{l}
y = \dfrac{{2 + \cos x}}{{\sin x + \cos x - 2}} \Leftrightarrow y\sin x + \left( {y - 1} \right)\cos x = 2 + 2y\\
\Rightarrow {y^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \ge {\left( {2 + 2y} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 2{y^2} + 10y + 3 \le 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{ - 5 - \sqrt {19} }}{2} \le y \le \dfrac{{ - 5 + \sqrt {19} }}{2}\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\min x = \dfrac{{ - 5 - \sqrt {19} }}{2}\\
\max y = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {19} }}{2}
\end{array} \right.
\end{array}$

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#5
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết
oops, sorry
P/S

Bạn đã làm sai bài này, lời giải của bài này như thế này:
$\begin{array}{l}
y = \dfrac{{2 + \cos x}}{{\sin x + \cos x - 2}} \Leftrightarrow y\sin x + \left( {y - 1} \right)\cos x = 2 + 2y\\ (1)
\Rightarrow {y^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \ge {\left( {2 + 2y} \right)^2}\\ (2)

bạn có thể giải thích cho mình từ dòng (1) xuống dòng (2) được ko zạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 09-10-2011 - 20:21

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#6
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

Câu 3: Giải phương trình: $sin/ left( {dfrac{{5x}}{2} - dfrac{pi }{4}}/ right) - cos/ left( {dfrac{x}{2} - dfrac{pi }{4}}/ right) = sqrt 2/ cos /dfrac{{3x}}{2}$


$sin/ left( {dfrac{{5x}}{2} - dfrac{pi }{4}}/ right) - cos/ left( {dfrac{x}{2} - dfrac{pi }{4}}/ right) = sqrt 2/ cos /dfrac{{3x}}{2}$

$sqrt 2/sin/ left( {dfrac{{5x}}{2} - dfrac{pi }{4}}/ right) - cos/ left( {dfrac{x}{2} - dfrac{pi }{4}} /right) = 2 cos/ dfrac{{3x}}{2}$

$sin/dfrac{5x}{2}-cos/dfrac{5x}{2}-cos/dfrac{x}{2}-sin/dfrac{x}{2}=2cos/dfrac{3x}{2}$

$(sin/dfrac{5x}{2}-sin/dfrac{x}{2})-(cos/dfrac{5x}{2}+cos/dfrac{x}{2})-2cos/dfrac{3x}{2}=0$

$cos/dfrac{3x}{2}sinx/-cos/dfrac{3x}{2}cosx/-cos/dfrac{3x}{2}=0$

$cos/dfrac{3x}{2}[sqrt 2/sin(x-dfrac{pi }{4})/-1]=0$

$cos/dfrac{3x}{2}=0$

......$sin(x-dfrac{pi }{4})=sindfrac{pi }{4}$


$x=dfrac{pi }{3}+dfrac{k2pi }{3}$

......$x=k2pi $

......$x=dfrac{pi }{2}+k2pi (kepsilon mathbb{Z})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 09-10-2011 - 21:02

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#7
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

Câu 4: Giải phương trình: $2{\cos ^2}x + 2\sqrt 3 \sin x\cos x + 1 = 3\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)$


$2{\cos ^2}x + 2\sqrt 3 \sin x\cos x + 1 = 3\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)$
<=>3cos2x + 2$\sqrt 3$ sin xcosx + sin2x = 3(sin x + $\sqrt 3$ cos x)

<=>($\sqrt 3$cosx+sinx )2-3($\sqrt 3$ cosx+sinx ) = 0

<=>cos($\dfrac{\pi }{6}$-x)=$\dfrac{3\sqrt 2 }{2}$(loại)

......cos($\dfrac{\pi }{6}$-x)=0(nhận)

<=>x=$-\dfrac{\pi }{3}$+k$\pi$ ($k\epsilon \mathbb{Z}$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 09-10-2011 - 21:23

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#8
phuonganh_lms

phuonganh_lms

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
Câu 5: Giải phương trình: $\cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) + 4\sin x = \sqrt 2 \left( {\sqrt 2 + 1 - \sin x} \right)$
$\Leftrightarrow \sqrt{2}.cos 2x+4sin x=2+\sqrt{2}-\sqrt{2}.sin x$
$\Leftrightarrow -2\sqrt{2}.sin^2{x}+(4+\sqrt{2}).sin x-2=0$
Giải pt....
Câu 9: Giải phương trình: $2\sqrt 2 \cos 2x + \sin 2x\cos \left( {x + \dfrac{{3\pi }}{4}} \right) - 4\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{2}.(cos^2{x}-sin^2{x})-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.sin 2x.(cos x+sin x)-2\sqrt{2}.(sin x+cos x)$
$\Leftrightarrow \sqrt{2}.(cos x+sin x).(2cos x-2sin x-cos x.sin x-2)=0$
....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuonganh_lms: 09-10-2011 - 21:20

Hình đã gửi


#9
hathanh123

hathanh123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết

oops, sorry
P/S


bạn có thể giải thích cho mình từ dòng (1) xuống dòng (2) được ko zạ

Bạn ấy sử dụng Bunhiacopski
$ysinx+(y-1)cosx\leq (y^{2}+(y-1)^{2})(sin^{2}x+cos^{2}x)$

#10
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

Bạn ấy sử dụng Bunhiacopski
$ysinx+(y-1)cosx\leq (y^{2}+(y-1)^{2})(sin^{2}x+cos^{2}x)$


àh ra vậy, nhưng giả sử nếu giải theo cách thông thường thì sao, vì đối với những học sinh bt thì biết cauchy nhưng Bunhiacopski thì chưa bik đến (như mình :P)

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#11
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

Câu 6: Giải phương trình: $3 - \tan 2x(\tan 2x + 2\sin 2x) + 6\cos 2x = 0$ với $x \in \left( {0;4\pi } \right)$


$3 - \tan 2x(\tan 2x + 2\sin 2x) + 6\cos 2x = 0$ với $x \in \left( {0;4\pi } \right)$

điều kiện \[
\cos 2x \ne 0 < = > x \ne \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;(k \in Z )
\]



\[
\begin{array}{l}
< = > 3\cos 2x - \sin 2x(\sin 2x + 2\sin 2x\cos 2x) + 6\cos ^2 2x = 0 \\
< = > 3\cos 2x - \sin ^2 2x - 2\sin ^2 2x\cos 2x + 6\cos ^2 2x = 0 \\
< = > 3\cos 2x - (1 - \cos ^2 2x) - 2(1 - \cos ^2 2x)\cos 2x + 6\cos ^2 2x = 0 \\
< = > 2\cos ^3 2x + 7\cos ^2 2x + \cos 2x - 1 = 0 \\
< = > (\cos 2x + \dfrac{1}{2})(\cos ^2 2x + 3\cos 2x - 1) = 0 \\
< = > \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = - \dfrac{1}{2}(nhan) \\
\cos 2x = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {13} }}{2} = \cos \alpha (nhan) \\
\cos 2x = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}(loai) \\
\end{array} \right. \\
< = > \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \\
x = \dfrac{\alpha }{2} + k\pi \\
\end{array} \right.(k \in Z)
\end{array}
\]
do \[
x \in (0;4\pi )
\]


\[
= > x \in (\dfrac{\pi }{3};\dfrac{{4\pi }}{3};\dfrac{{7\pi }}{3};\dfrac{{10\pi }}{3})
\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 11-10-2011 - 09:39

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#12
hathanh123

hathanh123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết

àh ra vậy, nhưng giả sử nếu giải theo cách thông thường thì sao, vì đối với những học sinh bt thì biết cauchy nhưng Bunhiacopski thì chưa bik đến (như mình :P)

Srr, Bạn Khanh đưa về pt cơ bản:
asinx + b cosx = c.
PT có nghiệm :$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}\geq c^{2}$ .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hathanh123: 11-10-2011 - 09:31


#13
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

Câu 7: Giải phương trình: $3{\cot ^2}x + 2\sqrt 2 {\sin ^2}x = \left( {2 + 3\sqrt 2 } \right)\cos x$

$3{\cot ^2}x + 2\sqrt 2 {\sin ^2}x = \left( {2 + 3\sqrt 2 } \right)\cos x$
điều kiện: \[
\sin x \ne 0 < = > x \ne k\pi ;k \in Z
\]

\[
\begin{array}{l}
< = > 3\cos ^2 x + 2\sqrt 2 (1 - \cos ^2 x)^2 - (2 + 3\sqrt 2 )\cos x = 0 \\
< = > 3\cos ^2 x + 2\sqrt 2 - 4\sqrt 2 \cos ^2 x + 2\sqrt 2 \cos ^4 x - (2 + 3\sqrt 2 )\cos x = 0 \\
< = > 2\sqrt 2 \cos ^4 x + (3 - 4\sqrt 2 )\cos ^2 x - (2 + 3\sqrt 2 )\cos x + 2\sqrt 2 = 0 \\
\end{array}
\]
(đang nghiên cứu giải phương trình ra)

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#14
khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết

$3{\cot ^2}x + 2\sqrt 2 {\sin ^2}x = \left( {2 + 3\sqrt 2 } \right)\cos x$
điều kiện: \[
\sin x \ne 0 < = > x \ne k\pi ;k \in Z
\]

\[
\begin{array}{l}
< = > 3\cos ^2 x + 2\sqrt 2 (1 - \cos ^2 x)^2 - (2 + 3\sqrt 2 )\cos x = 0 \\
< = > 3\cos ^2 x + 2\sqrt 2 - 4\sqrt 2 \cos ^2 x + 2\sqrt 2 \cos ^4 x - (2 + 3\sqrt 2 )\cos x = 0 \\
< = > 2\sqrt 2 \cos ^4 x + (3 - 4\sqrt 2 )\cos ^2 x - (2 + 3\sqrt 2 )\cos x + 2\sqrt 2 = 0 \\
\end{array}
\]
(đang nghiên cứu giải phương trình ra)

Có cần gợi ý câu này không vậy!
Nếu nhìn vào thì ta sẽ thấy được có thể chuyển pt về hàm cos nhưng việc giải pt này sẽ khó khăn và chưa chắc đã ra nghiệm đẹp vì lỡ nó ra nghiệm lẻ nhưng đối với lượng giác nó lại là nghiệm chẵn. Nếu để ý một chút, bạn sẽ thấy được nhân tử chung đấy!

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#15
bugatti

bugatti

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

&#224;h ra vậy, nhưng giả sử nếu giải theo c&#225;ch th&#244;ng thường th&#236; sao, v&#236; đối với những học sinh bt th&#236; biết cauchy nhưng Bunhiacopski th&#236; chưa bik đến (như m&#236;nh :P)

bài nay thì cần gì phải cần đến kiến thức cao siêu như vậy? chỉ cần sử dụng diều kiện để phương thình asinx + bcosx =c là:$a^{2}+b^{2}\geq c^{2}$ là ra thôi àk!
Nếu bạn thích bài viết của tôi hãy chọn "LIKE" nhé,
còn nếu không thích hãy chọn "LIKE" coi như đó là 1 viên gạch :))




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh