Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI

Thời gian: 150 min ( không kể thời gian phát đề)


Bài 1: Cho 3 số thực $x, y, z \ge 0$ và thỏa mãn điều kiện $x + y + z = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$x^3 + y^3 + \dfrac{1}{2}z^3$$
Bài 2: Cho tứ diện $ABCD$ và $I$ là một điểm nằm trong tứ diện đó. Các đường thẳng $AI, BI, CI, DI$ cắt các mặt đối diện của tứ diện tại $A', B', C', D'$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{IA}{AA'} + \dfrac{IB}{BB'} + \dfrac{IC}{CC'} + \dfrac{ID}{DD'} = 3$$
Bài 3: Cho hai số thực $a$ và $b$. Xét dãy số $(x_n)$: $\begin{cases}x_0 = a\\x_{n + 1} = 1 + b.x_n; \forall n \in \mathbb{N}\end{cases}$.
Tìm điều kiện của $a, b$ để $(x_n)$ có giới hạn tìm $\lim x_n$.
Bài 4: Tìm tất cả các số chính phương $S$ có tính chất: $S$ có thể biểu diễn dưới dạng: $S = 2^8 + 2^{11} + 2^m$ với $m$ là số nguyên dương nào đó.
Bài 5. Giải phương trình
$$4x - x^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{1 + \sqrt{x^4 - 8x^3 + 16x^2 + 1}}$$
Bài 6: Cho tập hợp $S = \{1;2;3;...;2011\}$. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho tập hợp $S$ có tính chất sau: nếu ta xóa $n$ số trong tập hợp $S$ thì trong các số còn lại của $S$, không có số nào là tích của 2 số khác.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 25-09-2011 - 07:56

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Bài 4 nhớ đã được anh xusinst post lời giải ở topic nào đó. Anh có thể dẫn link không (hình như ở Mỗi ngày một chút thì phải).

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#3
Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết

Bài 4: Tìm tất cả các số chính phương $ S $ có tính chất: $ S$ có thể biểu diễn dưới dạng: $ S = 2^8 + 2^{11} + 2^m$ với $ m$ là số nguyên dương nào đó.

$ 2^{8}+2^{11}+2^{m}$ thay $ m=1,2,...,11$ thấy ko có số nào tm
vậy $ m> 8$
$ S=2^{8}+2^{11}+2^{m}=2^{8}(1+2^{3}+2^{m-8})$
vì $ 2^{8}$là số chính phương nên $ 1+2^{3}+2^{m-8}$ phải là số chính phương
đăt $ a^{2}=1+2^{3}+2^{m-8}$
$ \Leftrightarrow (a-1)(a+1)=2^{3}(2^{m-11}+1)$
lại có $ a-1$ và $ a+1$ cùng tính chẵn lẻ
2TH $ a-1=2^{2}$
$ a+1=2(2^{m-11}+1)$
hoặc$ a-1=2$
$ a+1=2^{2}(2^{m-11}+1)$


#4
Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết

Bài 5. Giải phương trình

$ 4x - x^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{1 + \sqrt{x^4 - 8x^3 + 16x^2 + 1}}$

đặt
$ (4-x)x=a(4\geq a\geq 0)$
$ PT\Leftrightarrow a=\dfrac{3\sqrt{3}}{1+\sqrt{a^{2}+1}}$
$ \Leftrightarrow a+a\sqrt{a^{2}+1}=3\sqrt{3}$
$ \Leftrightarrow a^{4}+6\sqrt{3}a-27=0$ $ \Leftrightarrow (a-\sqrt{3})(a^{3}+\sqrt{3}a^{2}+3a+9\sqrt{3})=0$
vậy có nghiệm$ a=\sqrt{3}$
xét $ f(a)=a^{3}+\sqrt{3}a^{2}+3a+9\sqrt{3}$
vậy$ f(a)$ đồng biến
xét trên khoảng$ (4\geq a\geq 0)$ thấy $ f(a)\geq 9\sqrt{3}$
f(a) trên vô no
vậy chỉ có $ a=\sqrt{3}$


#5
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Bài 4 nhớ đã được anh xusinst post lời giải ở topic nào đó. Anh có thể dẫn link không (hình như ở Mỗi ngày một chút thì phải).

Bài 4 đây. Link: http://diendantoanho...ic=60778&st=120

#6
Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết

Bài 1: Cho 3 số thực $ x, y, z \ge 0$ và thỏa mãn điều kiện $ x + y + z = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$ x^3 + y^3 + \dfrac{1}{2}z^3$

$ f(x,y,z)=x^{3}+y^{3}+\dfrac{1}{2}z^{3}$
$ f(\dfrac{x+y}{2},\dfrac{x+y}{2},z)=\dfrac{(x+y)^{3}}{4}+\dfrac{1}{2}z^{3}$
$ f(x,y,z)-f(\dfrac{x+y}{2},\dfrac{x+y}{2},z)=x^{3}+y^{3}-\dfrac{(x+y)^{3}}{4}=\dfrac{3(x^{3}+y^{3}-x^{2}y-y^{2}x)}{4}\geq 0\forall x,y,z\geq 0$
vậy $ f(x,y,z)\geq f(\dfrac{x+y}{2},\dfrac{x+y}{2},z)$
ta có $ f(\dfrac{x+y}{2},\dfrac{x+y}{2},z)=\dfrac{(x+y)^{3}}{4}+\dfrac{1}{2}z^{3}=\dfrac{(1-z)^{3}}{4}+\dfrac{1}{2}z^{3}=\dfrac{z^{3}+3z^{2}-3z+1}{4}$
xét $ f(x)=z^{3}+3z^{2}-3z+1$
có $ f'(z)=3z^{2}+6z-3=3(z^{2}+2z-1)$
khảo sát hàm số ta tìm được min
còn bài 6 tổ hợp chắc sử dụng phương pháp xây dựng song ánh ai có cách giải post lên để mọi người tham khảo nhé
@: nếu có thẻ $ thì gõ nhanh hơn biết mấy


#7
¸.¤°•Rajn•°¤.¸

¸.¤°•Rajn•°¤.¸

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết

Bài 1: Cho 3 số thực $x, y, z \ge 0$ và thỏa mãn điều kiện $x + y + z = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức













$ x^3 + y^3 + \dfrac{1}{2}z^3$


Để e góp cách này


$ x^3 + y^3 + \dfrac{1}{2}z^3$
$ =x^3+\dfrac{2}{(2+\sqrt{2})^3}+y^3+\dfrac{2}{(2+\sqrt{2})^3}+\dfrac{z^3}{2}+\dfrac{2\sqrt{2}}{(2+\sqrt{2})^3}-\dfrac{4}{(2+\sqrt{2})^3}-\dfrac{2\sqrt{2}}{(2+\sqrt{2})^3}$
$ \geq\dfrac{3}{(2+\sqrt{2})^2}$
$ -\dfrac{4}{(2+\sqrt{2})^3}-\dfrac{2\sqrt{2}}{(2+\sqrt{2})^3}$
$ Đẳng thức <=>x=y=\dfrac{1}{2+\sqrt{2}},z=\dfrac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 27-09-2011 - 20:49

ıllıllı_●±‡±●_♪ε[-ิิ_•ิ]з♪_[....VMF....]_♪ε[-ิิ_•ิ]з♪_●±‡±●_ıllıllı


Hình đã gửi

#8
Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết




Bài 3: Cho hai số thực $a$ và $b$. Xét dãy số $(x_n)$: $\begin{cases}x_0 = a\\x_{n + 1} = 1 + b.x_n; \forall n \in \mathbb{N}\end{cases}$.
Tìm điều kiện của $a, b$ để $(x_n)$ có giới hạn tìm $\lim x_n$.


Bài này bên Mathscrope có lời giải rồi , mình chỉ viết lại ý tưởng đó thôi :
Với $ b=1 $ thì dãy $(x_n)$ là cấp số cộng với công sai $ d=1 $ , do đó không tồn tại giới hạn .
Với $ b \neq 1 $ Ta có:
$ x_{n+1} = 1+bx_n \Leftrightarrow x_{n+1} - \dfrac{1}{1-b} = b(x_n-\dfrac{1}{1-b}) $
Do đó :
$ x_{n+1}=b^{n}(x_1-\dfrac{1}{1-b})=b^n(a-\dfrac{1}{1-b}) $
Đến đây chỉ cần dựa vào kiến thức về giới hạn trong SGK ta có thể tìm ra điều kiện của $a,b$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 27-09-2011 - 21:01

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#9
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

 

Bài 1: Cho 3 số thực $x, y, z \ge 0$ và thỏa mãn điều kiện $x + y + z = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=x^3 + y^3 + \dfrac{1}{2}z^3$$

Vì $x,y$ vai trò tương đương nhau nên đẳng thức xảy ra khi $x=y=a$ và $z=b$.

Áp dụng BĐT $AM-GM$ :

$$b^2(x^{3}+a^{3}+a^{3})\geq 3xa^{2}b^2$$

$$b^2(y^{3}+a^{3}+a^{3})\geq 3ya^{2}b^2$$

$$a^{2}(z^{3}+b^{3}+b^{3})\geq 3za^{2}b^{2}$$

Cộng các BĐT trên vế theo vế :

$$b^{2}(x^{3}+y^{3})+a^{2}z^{3}+4a^{3}b^{2}+2b^{3}a^{2}\geq 3a^{2}b^{2}(x+y+z)=3a^{2}b^{2}\Rightarrow b^{2}(x^{3}+y^{3})+a^{2}z^{3}\geq 3a^{2}b^{2}-4a^{3}b^{2}-2b^{3}a^{2}$$

Ta sẽ chọn $a,b,c$ sao cho $\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{1/2}=2$

Như vậy ta sẽ giải hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix} b^{2}=2a^{2} & & \\ 2a+b=1& & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{2-\sqrt{2}}{2} & & \\ b=-1+\sqrt{2}& & \end{matrix}\right.$$

Khi đó $$(3-2\sqrt{2})(x^{3}+y^{3})+\frac{3-2\sqrt{2}}{2}z^{3}\geq \frac{17-12\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x^{3}+y^{3}+\frac{1}{2}z^{3}\geq \frac{3-2\sqrt{2}}{2}$$

Vậy : $MinP=\frac{3-2\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{2-\sqrt{2}}{2},z=-1+\sqrt{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 01-09-2013 - 18:34

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh