Chủ đề này có 17 trả lời

[gogeta]

Cho $\dfrac{a}{b}= \dfrac{b}{c}= \dfrac{c}{a}$ và $a+ b+ c \neq 0$.
So sánh $a, b, c.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 02-11-2011 - 16:14

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Do a + b + c khác 0 nên:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{a + b + c }{b + c + a} = 1$

Do $\dfrac{a}{b} = 1 \Rightarrow a = b$

Do $\dfrac{b}{c} = 1 \Rightarrow b = c$

Do đó $a = b = c$

[gogeta]

Bài vừa rồi tương đối dễ. Làm thử bài này xem. Khó hơn đấy!
Chứng minh $A$ chia hết cho $100$, biết:
$$A = 75 . (4^{1999} + 4^{1998} + ... + 4^2 + 4 + 1) +25$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 04-10-2011 - 12:10
Chỉnh $\LaTeX$

[Zaraki]

$$A=75. (4^{1999}+4^{1998}+...+4^2+4+1)+25$$

Dễ dàng nhận thấy $4^{1999}+4^{1998}+...+4^2+4+1=4k+1 \ (k \in \mathbb{N})$.

$ \implies A=75(4k+1)+25=300k+75+25=300k+100 \ \vdots \ 100$.

Đây là đpcm.

[Yagami Raito]

mình có bài này Tìm m,n nguyên dương
$$2^{n}-2^{m}=2048$$
b) $$2^{n}+2^{m}=2^{m+n}$$

[Nguyễn Văn Bảo Kiên]

mình có bài này Tìm m,n nguyên dương
a)$$2^{n}-2^{m}=2048$$
$$2^{n}+2^{m}=2^{m+n}$$

Chém câu a trước
a) $$2^{n} - 2^{m} = 2048 > 0 \Rightarrow 2^{n} - 2^{m} > 0 \Rightarrow n>m $$
$$ 2^{n} - 2^{m} = 2^{11}$$
Đặt $$ n = m+k (k \in \mathsub{N}^*)$$
$$\Rightarrow 2^{m + k} - 2^{m} (2^{k} -1)= 2^{11} $$
$$\Rightarrow 2^{k} -1 = \dfrac{2^{11}}{2^{m}}$$
$$\Rightarrow 2^{k} -1 = 2^{11-m} $$
Nếu $k>1$ suy ra $2^{k}-1$ là số lẻ mà $2^{11-m}$ là số chẵn dẫn tới vô lí
$$\Rightarrow k = 1$$
$$\Rightarrow 2^{1}-1=2^{11-m}$$
$$\Rightarrow 1= 2^{11-m} \Rightarrow 11- m = 0 \Rightarrow m = 11$$
$$\Rightarrow n = 11+1 = 12$$
Vậy $m=11; n=12$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Văn Bảo Kiên: 10-10-2011 - 21:43
Chỉnh $\LaTeX$

[gogeta]

Nhầm rùi bạn ạ. n > m chứ không phải m > n.

[reddevil123]

mình có bài này Tìm m,n nguyên dương
b) $$2^{n}+2^{m}=2^{m+n}$$

Câu b: $2^m+2^n=2^{m+n}$ $2^{m+n}-2^m-2^n=0$

$2^m(2^n-1)-(2^n-1)=1$ $(2^n-1)(2^m-1)=1$

- $2^n-1=1$
- $2^m-1=1$

$m=n=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi reddevil123: 30-10-2011 - 14:19

[gogeta]

Mình có bài này khó hơn nữa:
Tính $E= \dfrac{a}{ab+a+2} + \dfrac{b}{bc+b+1} +\dfrac{2c}{ac+c+2}$ . Biết $abc=2$
-----------------------------------
MOD: Bạn học cách gõ $\LaTeX$ tại http://diendantoanhoc.net/index.php?showtopic=63579

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 17-11-2011 - 16:31

[Cao Xuân Huy]

Bạn có nhầm đề không. Mình nghĩ:

$$E= \dfrac{a}{ab+a+2} + \dfrac{b}{bc+b+1} +\dfrac{2c}{ac+2c+2}$$

Nếu sửa đề lại thì mình làm thế này.
Ta có:

$\dfrac{a}{{ab + a + 2}} = \dfrac{a}{{ab + a + abc}} = \dfrac{1}{{bc + b + c}}$

$\dfrac{{2c}}{{ac + 2c + 2}} = \dfrac{{2c}}{{\dfrac{2}{b} + 2c + 2}} = \dfrac{{bc}}{{bc + b + 1}}$

Vậy: $E = \dfrac{{bc + b + 1}}{{bc + b + 1}} = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 17-11-2011 - 16:59

[gogeta]

Mình xin lỗi, mình đánh nhầm đề. Mình có thêm bài này:
Cho $x+y$=$a+b$ và $x^2+y^2$=$a^2+b^2$. Chứng minh rằng: $x^n+y^n$=$a^n+b^n$ với n thuộc tập hợp các số nguyên dương.

[perfectstrong]

Mình xin lỗi, mình đánh nhầm đề. Mình có thêm bài này:
Cho $x+y$=$a+b$ và $x^2+y^2$=$a^2+b^2$. Chứng minh rằng: $x^n+y^n$=$a^n+b^n$ với n thuộc tập hợp các số nguyên dương.

$x+y=a+b \Rightarrow x-a=b-y$
$x^2+y^2=a^2+b^2 \Rightarrow x^2-a^2=b^2-y^2 \Rightarrow (x-a)(x+a)=(b-y)(b+y)(1)$
Nếu $x-a=0 \Rightarrow b-y=0 \Rightarrow x=a;y=b \Rightarrow x^n+y^n=a^n+b^n$
Nếu $x -a \neq 0 \Rightarrow b-y \neq 0$
$(1) \Rightarrow x+a=b+y \Rightarrow x-a+2a=b-y+2y \Rightarrow a=y \Rightarrow b=x \Rightarrow x^n+y^n=a^n+b^n$.
Vậy ta có đpcm trong mọi TH.

[gogeta]

Mình có thêm bài này:
Tìm tất cả các số nguyên n để $2^8$+$2^{11}$+$2^n$ là số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gogeta: 25-11-2011 - 10:04

[nguyenta98]

Mình sẽ giải đáp bài của bạn gogeta
Ta có $2^8+2^{11}+2^n=2304+2^n=48^2+2^n$
Vì $2^8+2^{11}+2^n$ là số chính phương nên đặt nó bằng $a^2$
Suy ra $48^2+2^n=a^2$ suy ra $2^n=(a-48)(a+48)$
Suy ra $a-48=2^x$ <1> và $a+48=2^y$ <2> với $2^x*2^y=2^n$ hay $x*y=n$
Từ <1> và <2> suy ra $2^y-2^x=96$ suy ra $2^x(2^{y-x}-1)=96$
Vì $2^{y-x}-1$ lẻ mà trong các ước cảu $96$ chỉ có $3$ là ước lẻ suy ra $2^{y-x}-1=3$ suy ra $2^x=96:3=32$ suy ra $x=5$
$2^{y-x}-1=3$ suy ra $y-x=2$ suy ra $y=7$ suy ra $n=5+7=12$
Vậy $n=12$ và số ở đề bài cho là $80^2$

[Crystal]

Mình có thêm bài này:
Tìm tất cả các số nguyên n để $2^8$+$2^{11}$+$2^n$ là số chính phương.

Giải:

* Xét $n \le 8:\,\,{2^8} + {2^{11}} + {2^n}$ không là số chính phương.

* Xét $n > 8:$ khi đó $\,{2^8} + {2^{11}} + {2^n} = {2^8}\left( {{2^{n - 8}} + 9} \right)$

Đặt: ${2^{n - 8}} + 9 = {m^2}\,,\,\,m \in N \Leftrightarrow \left( {m + 3} \right)\left( {m - 3} \right) = {2^{n - 8}}$ (1)

$(1) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 3 = {2^p}\\m - 3 = {2^q}\end{array} \right.\,\,\,;p,q \in N\,\,\,and\,\,\,p > q$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^p}{2^q} = {2^{n - 8}}\\{2^p} - {2^q} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}p = 3\\q = 1\end{array} \right. \Rightarrow n = 12$

Vậy n = 12.

Cách biến đổi khác cho bài 62

Giả sử ${2^8} + {2^{11}} + {2^n} = {a^2}\,\,,a \in N \Rightarrow {2^n} = {a^2} - {48^2} = \left( {a - 48} \right)\left( {a + 48} \right)$

$ \Rightarrow {2^p}{2^q} = \left( {a - 48} \right)\left( {a + 48} \right)\,\,,\,p,q \in N;\,p + q = n\,\,\,and\,\,\,p > q$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 48 = {2^p}\\a - 48 = {2^q}\end{array} \right. \Rightarrow {2^p} - {2^q} = 96 \Leftrightarrow {2^q}\left( {{2^{p - q}} - 1} \right) = {2^5}.3$

$ \Rightarrow q = 5\,,\,\,p = 7 \Rightarrow n = 12$. Thử lại thấy ${2^8} + {2^{11}} + {2^{12}} = {80^2}$

Vậy n = 12.

[nguyenta98]

Oài, cách của anh xusinst giống cách em mà!! Hình như anh có 2 cách thì phải.

[Crystal]

Oài, cách của anh xusinst giống cách em mà!! Hình như anh có 2 cách thì phải.

Đúng thế. Anh chỉ đưa ra cho mọi người tham khảo thôi. Bài đó anh post lâu rồi.

[Yagami Raito]

Em xin post tiếp một bài
Chứng minh rằng nếu $m,n$ là hai số thỏa mãn
$$19\left | m \right |+5\left | n \right |\geqslant 2000$$
thì phương trình sau có nghiệm
$$20mx^{2}+5nx+100-m=0$$