Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * - 17 Bình chọn

Chuyên đề: Tính giá trị biểu thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 140 trả lời

#1 Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
  • Sở thích:Grey's Anatomy, Shameless, Game of Thrones

Đã gửi 09-08-2011 - 09:32

Chuyên đề : Tính giá trị biểu thức



Yêu cầu về bài viết trong topic:
- Viết bằng Tiếng Việt có dấu, viết hoa đầu dòng, tuyệt đói không dùng ngôn ngữ chat.
- Viết rõ ràng bằng latex ( nếu không viết được có thể nhờ Mod sửa hộ nhưng phải đầy đủ thông tin). Không để font, size, màu quá lớn. Hạn chế tải thêm các hình ảnh không liên quan.
- Không SPAM.
- Bài viết đầy đủ thông tin. Phương pháp làm, Lo-gic và Kết quả. tránh tình trạng bỏ dở.

Bài 1: http://diendantoanho...showtopic=61533
Bài 2. Hãy tính tổng $ S = ab + cd$ biết rằng $ a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 2005$ và $ ac + bd = 0$

Bài 3. Cho $ a^2 + b^2 = 4282; c^2 + d^2 = 1658; ac + bd = 2384$.
Tính $ad - bc$

Bài 4. Cho $a + b + c = 0$.
Tính giá trị biểu thức: $ M = a^3 + b^3 + a^2c + b^2c - abc$

Bài 5. Tính tổng $ 1^3 + 5^3 + 9^3 + … + ( 4n + 1 )^3$

Bài 6. Tính tích số :
$ P = 101.10001.100000001… 1\underset{2^n - 1 }{\underbrace{00…00}1}$

Bài 7. Một dãy số tự nhiên được phân thành nhóm như sau:
(1), (2, 3), ( 4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), …
Gọi $ S_k$ là tổng các số ở nhóm thứ k.
Tính tổng $ S = S_1 + S_2 + S_3 + … + S_{2n - 1}$

Bài 8. Gọi n là số tự nhiên, $n \geq 1$. Tính tích số sau theo n:
$( 1 - \dfrac{1}{2} )( 1 - \dfrac{1}{3})( 1 - \dfrac{1}{4})…( 1 - \dfrac{1}{n + 1 })$
(Đề thi HSG toàn quốc 1977 - 1978)

Bài 9. Cho $f(x) = ax^2 + bx + c$ có tính chất:
f(x) nhận giá trị nguyên khi x là số nguyên.
Hỏi các hệ số a, b, c có nhất thiết là các số nguyên hay không?
Tại sao?
(Đề thi vào lớp 10 chuyên Trường Đại học KHTN Hà Nội năm học 2002 - 2003)

Bài 10. Cho
$\left\{\begin{array}{l}4\alpha^2 = 2( b^2 + c^2) - a^2\\4\beta^2 = 2( c^2 + a^2) - b^2\\ 4\gamma^2 = 2( a^2 + b^2) - c^2 \end{array}\right.$
Hãy tính các biểu thức sau theo a, b, c:
a, $T_1 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$
b, $T_2 =\alpha^2\beta^2 + \beta^2\gamma^2 + \alpha^2\gamma^2$
c, $ T_3 = \alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 30-09-2011 - 20:02

Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#2 pretty_sp2

pretty_sp2

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

Đã gửi 17-08-2011 - 08:23

Bài 10:
a, Ta có:
$\left\{\begin{array}{l}4\alpha^2 = 2( b^2 + c^2) - a^2\\4\beta^2 = 2( c^2 + a^2) - b^2\\ 4\gamma^2 = 2( a^2 + b^2) - c^2 \end{array}\right.$
$ \Rightarrow\alpha ^{2}+\beta ^{2}+ \gamma^{2} = \dfrac{3}{4}( a^{2} + b^{2}+ c^{2} )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 17-08-2011 - 09:47

maths!

#3 Hoa Hồng Lắm Gai

Hoa Hồng Lắm Gai

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-08-2011 - 09:29

Bài 8:

$( 1 - \dfrac{1}{2} )( 1 - \dfrac{1}{3})( 1 - \dfrac{1}{4})…( 1 - \dfrac{1}{n + 1 })$

$= \dfrac{1}{2}. \dfrac{2}{3}. \dfrac{3}{4}… \dfrac{n}{n + 1}$

$=\dfrac{1}{n + 1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 17-08-2011 - 09:48

Ác Ma Học Đường- Cá Sấu


#4 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 19-08-2011 - 10:16

Bài 2:
Ta có:
$(ac + b{\rm{d}})(a{\rm{d}} + bc) = 0 \Leftrightarrow a^2 c{\rm{d}} + abc^2 + ab{\rm{d}}^2 + c{\rm{d}}b^2 = 0 $

$\Leftrightarrow ab(c^2 + d^2 ) + c{\rm{d}}(a^2 + b^2 ) = 0 \Leftrightarrow 2005(ab + c{\rm{d}}) = 0 \Leftrightarrow ab + c{\rm{d}} = 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 03-09-2011 - 22:46

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#5 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 19-08-2011 - 10:53

Bài 5:

Ta có:

$1^3 + 5^3 + 9^3 + ... + \left( {4n + 1} \right)^3 = \sum\limits_{i = 0}^n {\left( {4i + 1} \right)^3 } $

$= \sum\limits_{i = 0}^n {\left( {64i^3 + 16i^2 + 4i + 1} \right) = 64} \sum\limits_{i = 0}^n {i^3 } + 16\sum\limits_{i = 0}^n {i^2 + 4\sum\limits_{i = 0}^n {i + n} } $


Mặt khác, ta có các công thức:

$\sum\limits_{i = 0}^n {i^3 } = \dfrac{{n^2 \left( {n + 1} \right)^2 }}{4};\,\,\,\,\sum\limits_{i = 0}^n {i^2 } = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6};\,\,\,\sum\limits_{i = 0}^n {i = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} $.


Do đó:

$S = \dfrac{{n^2 \left( {n + 1} \right)^2 }}{4} + \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6} + \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} + n$


Rút gọn BT cuối là xong.

Bài 9:

Ta có:

$f\left( 0 \right) = c \in Z \Rightarrow c \in Z$

$f\left( 1 \right) = a + b + c \in Z \Rightarrow a + b \in Z\,\,(1)$

$f\left( { - 1} \right) = a - b + c \in Z \Rightarrow a - b \in Z\,\,(2)$


Từ (1) và (2) $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a \in Z \\ 2b \in Z \\ \end{array} \right. \Rightarrow a = b = \dfrac{1}{2}$.

Vậy f(x) nguyên với mọi x nguyên thì c phải nguyên và a, b không nhất thiết phải nguyên.


#6 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 19-08-2011 - 11:09

Bài 6.
$P = 101.1001.100000001.1\underbrace {00..0}_{2^n - 1}1 = (10^2 + 1)(10^4 + 1)(10^8 + 1)...(10^{2^n } + 1)$

$= \dfrac{1}{{99}}(10^2 - 1)(10^2 + 1)(10^4 + 1)...(10^{2^n } + 1) $

$= \dfrac{1}{{99}}(10^4 - 1)(10^4 + 1)(10^8 + 1)...(10^{2^n } + 1)$

Tiếp tục làm như vậy ta được:
$P = \dfrac{1}{{99}}(10^{2^{n + 1} } - 1) = \dfrac{{\underbrace {999...99}_{2^{n + 1} }}}{{99}} $

$= \dfrac{{\underbrace {111...11}_{2^{n + 1} }}}{{11}} = \underbrace {1010..101}_{2^{n + 1} - 1 }$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 03-09-2011 - 22:48

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#7 Mr CrAzY

Mr CrAzY

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 01-09-2011 - 14:22

Bài 11. Tính giá trị của biểu thức
a. $ x^{30} - 2000x^{29} + 2000x^{28} - ... - 2000x + 2000 $
với $x = 2006$

b. $ x^{10} + 20x^{9} + 20x^{8} + ... + 20x$
với $x = -24$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 04-09-2011 - 06:36


#8 Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
  • Sở thích:Grey's Anatomy, Shameless, Game of Thrones

Đã gửi 03-09-2011 - 22:52

Bài 12. Với các giá trị x, y, z lần lượt là:

$x=\dfrac{a}{b+c}; y=\dfrac{b}{c+a}, z=\dfrac{c}{a+b}$

Tính GTBT: $xy+yz+zx+2xyz$

Bài 13.

$x=\dfrac{b+c}{a}; y=\dfrac{a+b}{c}; z=\dfrac{c+a}{b}$


Tính GTBT: $xyz - (x+y+z)$

Nguồn: Topic Các hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 04-09-2011 - 06:38

Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#9 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 04-09-2011 - 08:56

Bài 12:
$xy + x{\rm{z}} + y{\rm{z}} + 2xyz $
$= \dfrac{{ab}}{{(b + c)(c + a)}} + \dfrac{{bc}}{{(c + a)(a + b)}} + \dfrac{{ac}}{{(b + c)(a + b)}} + \dfrac{{2abc}}{{(b + c)(c + a)(a + b)}}$
$ = \dfrac{{ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c) + 2abc}}{{(b + c)(c + a)(a + b)}}$
Phân tích tử thức ta có:
$T = b^2 c + bc^2 + a^2 c + ac^2 + ab(a + b) + 2abc $
$= c(a^2 + b^2 + 2ab) + c^2 (a + b) + ab(a + b)$
$ = c(a + b)^2 + c^2 (a + b) + ab(a + b) = (a + b){\rm{[c(a + b) + ab + c}}^2 {\rm{]}}$
$ = (a + b){\rm{[}}(ac + ab) + (bc + c^2 ){\rm{]}}$
${\rm{ = (a + b)[a(b + c) + c(b + c)]}} = (a + b)(b + c)(a + c)$
Vì tử bằng mẫu nên biểu thức đã cho bằng 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 04-09-2011 - 09:01

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#10 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 04-09-2011 - 09:10

Bài 13:
$A=xy{\rm{z}} - (x + y + z) = \dfrac{{(a + b)(c + a)(b + c)}}{{abc}} - \dfrac{{b + c}}{a} - \dfrac{{a + b}}{c} - \dfrac{{c + a}}{b}$
$ = \dfrac{{(a + b)(b + c)(a + c) - bc(b + c) - ab(a + b) - ac(a + c)}}{{abc}}$
Ta có:
$bc(b + c) + ab(a + b) + ac(a + c) - 2abc$
$ = b^2 c + bc^2 + a^2 c + ac^2 + ab(a + b) + 2abc $
$= c(a^2 + b^2 + 2ab) + c^2 (a + b) + ab(a + b)$
$ = c(a + b)^2 + c^2 (a + b) + ab(a + b) = (a + b){\rm{[c(a + b) + ab + c}}^2 {\rm{]}}$
$ = (a + b){\rm{[}}(ac + ab) + (bc + c^2 ){\rm{]}}$
${\rm{ = (a + b)[a(b + c) + c(b + c)]}} = (a + b)(b + c)(a + c)$
Do đó:
$A = \dfrac{{(a + b)(c + a)(b + c) - (a + b)(c + a)(b + c) + 2abc}}{{abc}}$

Vậy $A = 2$

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#11 PRONOOBCHICKENHANDSOME

PRONOOBCHICKENHANDSOME

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-09-2011 - 15:35

Chuyên đề : Tính giá trị biểu thức


Yêu cầu về bài viết trong topic:
- Viết bằng Tiếng Việt có dấu, viết hoa đầu dòng, tuyệt đói không dùng ngôn ngữ chat.
- Viết rõ ràng bằng latex ( nếu không viết được có thể nhờ Mod sửa hộ nhưng phải đầy đủ thông tin). Không để font, size, màu quá lớn. Hạn chế tải thêm các hình ảnh không liên quan.
- Không SPAM.
- Bài viết đầy đủ thông tin. Phương pháp làm, Lo-gic và Kết quả. tránh tình trạng bỏ dở.

Bài 1: http://diendantoanho...showtopic=61533
Bài 2. Hãy tính tổng $ S = ab + cd$ biết rằng $ a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 2005$ và $ ac + bd = 0$

Bài 3. Cho $ a^2 + b^2 = 4282; c^2 + d^2 = 1658; ac + bd = 2384$.
Tính $ad - bc$

Bài 4. Cho $a + b + c = 0$.
Tính giá trị biểu thức: $ M = a^3 + b^3 + a^2c + b^2c - abc$

Bài 5. Tính tổng $ 1^3 + 5^3 + 9^3 + … + ( 4n + 1 )^3$

Bài 6. Tính tích số :
$ P = 101.10001.100000001… 1\underset{2^n - 1 }{\underbrace{00…00}1}$

Bài 7. Một dãy số tự nhiên được phân thành nhóm như sau:
(1), (2, 3), ( 4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), …
Gọi $ S_k$ là tổng các số ở nhóm thứ k.
Tính tổng $ S = S_1 + S_2 + S_3 + … + S_{2n - 1}$

Bài 8. Gọi n là số tự nhiên, $n \geq 1$. Tính tích số sau theo n:
$( 1 - \dfrac{1}{2} )( 1 - \dfrac{1}{3})( 1 - \dfrac{1}{4})…( 1 - \dfrac{1}{n + 1 })$
(Đề thi HSG toàn quốc 1977 - 1978)

Bài 9. Cho $f(x) = ax^2 + bx + c$ có tính chất:
f(x) nhận giá trị nguyên khi x là số nguyên.
Hỏi các hệ số a, b, c có nhất thiết là các số nguyên hay không?
Tại sao?
(Đề thi vào lớp 10 chuyên Trường Đại học KHTN Hà Nội năm học 2002 - 2003)

Bài 10. Cho
$\left\{\begin{array}{l}4\alpha^2 = 2( b^2 + c^2) - a^2\\4\beta^2 = 2( c^2 + a^2) - b^2\\ 4\gamma^2 = 2( a^2 + b^2) - c^2 \end{array}\right.$
Hãy tính các biểu thức sau theo a, b, c:
a, $T_1 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$
b, $T_2 =\alpha^2\beta^2 + \beta^2\gamma^2 + \alpha^2\gamma^2$
c, $ T_3 = \alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4$

Bài 3 :
$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=4282.1658=7099556$
$\Leftrightarrow (ac+bd)^2 +(ad-bc)^2 = 7099556$
Mà $ac+bd =2384$
$\Leftrightarrow (ad-bc)^2 = 7099556 - 2384^2 = 1416100$
$\Leftrightarrow \left | ad-bc \right | =1190$
Bài 4 :
$a+b+c=0$
$\Rightarrow a^3+b^3+c^3 = 3abc $
$\Rightarrow M = (a^3+b^3+c^3)-abc -c^3 +a^2c+b^2c = c(a^2+b^2+2ab -c^2) = 0 $
Bài 7 :
Nhận xét : $S_1$ có 1 số hạng , $S_2$ có 2 số hạng ...$ \Rightarrow$ $S_{2n-1}$ có $2n-1$ số hạng
$\Rightarrow$ Số hạng cuối cùng của $S_{2n-1}$ là :$\dfrac {(1+2n-1)(2n-1)}{2}=n(2n-1)$
$\Rightarrow S=\sum_{i=1}^{2n-1}S_i=\dfrac{[1+n(2n-1)]n(2n-1)}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 04-09-2011 - 15:37


#12 Minh Dao

Minh Dao

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 06-09-2011 - 15:23

Bài 14. Cho $x= \dfrac{1}{2}\sqrt{ \sqrt{2}+ \dfrac{1}{8} }-\sqrt{ \dfrac{1}{32}} $

Tính $S = x^2 + \sqrt{ x^4 + x +1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 01-10-2011 - 15:52


#13 hoa_giot_tuyet

hoa_giot_tuyet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 06-09-2011 - 17:32

Cho x= $ \dfrac{1}{2}$ * $ \sqrt{ \sqrt{2}+ \dfrac{1}{8} }$ - $ \sqrt{ \dfrac{1}{32} $

Tính S = $ \ x^2 $ + $ \sqrt{ x^4 + x +1} $

i.


$x = \dfrac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\dfrac{1}{8}}-\sqrt{\dfrac{1}{32}}$
:Rightarrow $x+\sqrt{\dfrac{1}{32}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{8\sqrt{2}+1}{8}}$

:Rightarrow $(x+\sqrt{\dfrac{1}{32}})^2=\dfrac{1}{4}.\dfrac{8\sqrt{2}+1}{8}$

:Rightarrow $x^2+\dfrac{x\sqrt{2}}{4}+\dfrac{1}{32}=\dfrac{8\sqrt{2}+1}{32}$

:Rightarrow $x^2+\dfrac{x\sqrt{2}}{4}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}=0$

:Rightarrow $x^2=\dfrac{\sqrt{2}(1-x)}{4}$

:Rightarrow $x^4+x+1 = \dfrac{(1-x)^2}{8} + x + 1 = \dfrac{(a+3)^2}{8}$

Sau đó khai căn r�ồi tiếp tục thay vào S tính tiếp (kq căn 2)

Tuy nhiên tớ có tham khảo ở một quyển sách thì thấy có một cách khác khá thông minh post lên bạn tham khảo :D

Ta tính đc $x^2=\dfrac{\sqrt{2}(1-x)}{4}$

Đặt $A = \sqrt{x^4+x+1} - x^2$

Ta có $S = \sqrt{x^4+x+1} + x^2$

Ta thấy SA = x + 1 nên S(-A) = -(x+1)

Và S - A = 2x^2 = ... ( thay vào)

Nên ta áp dụng công tính tìm 2 số khi biết tổng và tích r�ồi tính ra S :Rightarrow

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 10-09-2011 - 19:26

I can believe....

#14 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 21-09-2011 - 16:31

Xin đưa thêm một số bài toán khá là khó.

$\fbox{15}$. Tính tổng

$$S= \dfrac{4+ \sqrt{3}}{\sqrt{1}+ \sqrt{3}}+ \dfrac{6+ \sqrt{8}}{\sqrt{3}+ \sqrt{5}}+...+$$
$$\dfrac{2n+ \sqrt{n^2-1}}{ \sqrt{n-1}+ \sqrt{n+1}}+...+ \dfrac{240+ \sqrt{14399}}{ \sqrt{119}+ \sqrt{121}}$$

$\fbox{16}$. $P(x)=ax^2+bx+c, \ a \ne 0$.
Chứng minh rằng $\forall m \in \mathbb{R}$, ta có
$$P(m) = P\left( { - m - \dfrac{b}{a}} \right). $$
Từ đó tính giá trị biểu thức

$$(\sqrt {2009} - \sqrt {2008} )x^2 - (\sqrt 2 008 - \sqrt {2007} )x + 6\sqrt {2008} - 2\sqrt {2007}$$

với $x = \dfrac{2 \sqrt{2009}- 3\sqrt{2008}+ \sqrt{2007}}{ \sqrt{2008}- \sqrt{2009}}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 01-10-2011 - 15:54
gõ lại cho dễ nhìn

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#15 Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
  • Sở thích:Grey's Anatomy, Shameless, Game of Thrones

Đã gửi 23-09-2011 - 22:26

$S= \dfrac{4+ \sqrt{3}}{\sqrt{1}+ \sqrt{3}}+ \dfrac{6+ \sqrt{8}}{\sqrt{3}+ \sqrt{5}}+...+$
$ \dfrac{2n+ \sqrt{n^2-1}}{ \sqrt{n-1}+ \sqrt{n+1}}+...+ \dfrac{240+ \sqrt{14399}}{ \sqrt{119}+ \sqrt{121}}$

Đề bài nếu với quy luật là $\dfrac{2n+ \sqrt{n^2-1}}{ \sqrt{n-1}+ \sqrt{n+1}}$ thì số hạng thứ hai phải là:
$\dfrac{2.3+ \sqrt{3^2 - 1}}{\sqrt{3 - 1}+ \sqrt{3 + 1}} = \dfrac{6 + \sqrt{8}}{\sqrt{2} + \sqrt{4}}$
Bài 14:

Giải



Bài làm theo đề bài được sửa.
ĐK: $n \in N^*$
Ta thấy: $\dfrac{2n+ \sqrt{n^2-1}}{ \sqrt{n - 1}+ \sqrt{n+1}} $
$= \dfrac{( n - 1 ) + \sqrt{( n - 1 )( n + 1 )} + ( n + 1 )}{\sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 1}}$
$= \dfrac{(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1})(\sqrt{n - 1}^2 + \sqrt{( n - 1 )( n + 1 )} + \sqrt{n + 1}^2)}{(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n - 1})(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1})}$
$= \dfrac{\sqrt{n + 1}^3 - \sqrt{n - 1}^3}{n + 1 - (n - 1)}$
$= \dfrac{\sqrt{n + 1}^3 - \sqrt{n - 1}^3}{2}$

Do đó, ta có:
$\dfrac{4+ \sqrt{3}}{\sqrt{1}+ \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3^3} - \sqrt{1^3}}{2}$
$\dfrac{6+ \sqrt{8}}{\sqrt{2}+ \sqrt{4}} = \dfrac{\sqrt{4^3} - \sqrt{2^3}}{2}$
$\dfrac{8+ \sqrt{15}}{\sqrt{3}+ \sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5^3} - \sqrt{3^3}}{2}$
…………
$\dfrac{240+ \sqrt{14399}}{ \sqrt{119}+ \sqrt{121}} = \dfrac{\sqrt{121^3} - \sqrt{119}^3}{2}$
Do đó:
$S = \dfrac{\sqrt{3^3} - \sqrt{1^3} + \sqrt{4^3} - \sqrt{2^3} + \sqrt{5^3} - \sqrt{3^3} + . + \sqrt{121^3} - \sqrt{119}^3}{2}$
$S = \dfrac{\sqrt{121^3} - \sqrt{1^3} + \sqrt{120^3} - \sqrt{2^3}}{2}$
$S = \dfrac{1330 + 120\sqrt{120} - 2\sqrt{2}}{2} = 665 +120\sqrt{30} - \sqrt{2}$
Anh nghĩ chắc đề là thế này:
$S = \dfrac{4+ \sqrt{3}}{\sqrt{1}+ \sqrt{3}}+ \dfrac{8+ \sqrt{15}}{\sqrt{3}+ \sqrt{5}}+...$
Nhưng do đề bài không nói gì nên theo quy luật là phải làm thế.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 01-10-2011 - 15:59

Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#16 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 24-09-2011 - 13:40

Vâng, đúng như anh nói, số hạng thứ 2 là $\dfrac{8+ \sqrt{15}}{ \sqrt{3}+ \sqrt{5}}$. Như vậy kết quả mới tròn $\boxed{665}$.
Nhưng dù sao hướng giải cũng đúng rồi. :D
“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#17 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 24-09-2011 - 16:16

Một bài hay.
Bài 16: Cho $a, b, c$ là các số thực khác 0 và có tổng khác 0 thỏa mãn: $\dfrac{1}{{{a^m}}} + \dfrac{1}{{{b^m}}} + \dfrac{1}{{{c^m}}} = \dfrac{1}{{{a^m} + {b^m} + {c^m}}},\,\,m \in {N^*}$\

Tính giá trị của biểu thức: $S = \left( {{a^n} + {b^n} + {c^n}} \right)\left( {\dfrac{1}{{{a^n}}} + \dfrac{1}{{{b^n}}} + \dfrac{1}{{{c^n}}}} \right)$ với n là số nguyên dương lẻ nào đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 01-10-2011 - 16:00


#18 Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
  • Sở thích:Grey's Anatomy, Shameless, Game of Thrones

Đã gửi 26-09-2011 - 09:35

Có nghĩa là với mọi $m \in N^*$ thì
$\dfrac{1}{{{a^m}}} + \dfrac{1}{{{b^m}}} + \dfrac{1}{{{c^m}}} = \dfrac{1}{{{a^m} + {b^m} + {c^m}}}$ phải không ạ?

Giải



Ta có:
$S = \left( {{a^n} + {b^n} + {c^n}} \right)\left( {\dfrac{1}{{{a^n}}} + \dfrac{1}{{{b^n}}} + \dfrac{1}{{{c^n}}}} \right)$

$S = 1 + \dfrac{a^n}{b^n} + \dfrac{a^n}{c^n} + \dfrac{b^n}{a^n} + 1 + \dfrac{b^n}{c^n} + \dfrac{c^n}{a^n} + \dfrac{c^n}{b^n} + 1$

$S = 3 + a^n(\dfrac{1}{b^n} + \dfrac{1}{c^n}) + b^n( \dfrac{1}{a^n} + \dfrac{1}{c^n}) + c^n(\dfrac{1}{a^n} + \dfrac{1}{b^n})$

$S = 3 + a^n( \dfrac{1}{a^n + b^n + c^n} - \dfrac{1}{a^n}) + b^n(\dfrac{1}{a^n + b^n + c^n} - \dfrac{1}{b^n}) + c^n(\dfrac{1}{a^n + b^n + c^n} - \dfrac{1}{c^n})$

$S = 3 + \dfrac{- b^n - c^n}{a^n + b^n + c^n} + \dfrac{- a^n - c^n}{a^n + b^n + c^n} + \dfrac{- a^n - b^n}{a^n + b^n + c^n}$
$S = 3 + \dfrac{-2( a^n + b^n + c^n)}{a^n + b^n + c^n} = 1$
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#19 maikhai

maikhai

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Thanh Hoá
  • Sở thích:Đá bóng mệt thật!

Đã gửi 29-09-2011 - 06:08

Bài 1. Cho
$$x+y+z=1$$
$$x^2+y^2+z^2=1$$
$$x^3+y^3+z^3=1$$
Tính $x+y^2+z^3$
Bài 2. Cho $x, y, z \geq 0$ thỏa mãn

xy+x+y=3 ;

yz+z+y=8;

xz+x+z=15.

Tính P = x + y + z

Bài 3. Cho x,y,z thỏa mãn: xyz=1 và
$$x+y+z=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$$
Tính P=$(x^{19}-1)(y^{15}-1)(z^{1890}-1)$

Bài 4. Cho $A+B+C=1; A^2+B^2+C^2=1$ và
$$ \dfrac{x}{A}=\dfrac{y}{B}=\dfrac{z}{C}$$
Tính P = xy + yz + zx

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 29-09-2011 - 10:24

Đừng cười khi người khác bị vấp ngã!

Vì bạn cũng có thể vấp ngã giống như họ!



Ai ơi chớ vội cười người


Cười người hôm trước hôm sau người cười


#20 Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
  • Sở thích:Grey's Anatomy, Shameless, Game of Thrones

Đã gửi 29-09-2011 - 11:04

Bài 1.

Giải



Chú ý các hằng đẳng thức sau:
$( x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2( xy + yz + zx)$

$x^3 + y^3 + z^3 = ( x + y + z )( x^2 + y^2 + z^2 – xy – yz – zx) + 3xyz$

Ta có:
$x+y+z=1 \Leftrightarrow ( x + y + z)^2 = 1 $

$\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 + 2( xy + yz + zx) = 1$

$\Rightarrow 1 + 2(xy + yz + zx) = 1 \Leftrightarrow xy + yz + zx = 0 \,\,\,\, (1)$

$\Leftrightarrow (xy + yz + zx)^2 = 0 $

$\Leftrightarrow x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + 2(xy^2z + xyz^2 + x^2yz) = 0$

$\Leftrightarrow (x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) + 2xyz( x + y + z ) = 0$

$\Rightarrow x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = - 2xyz \,\,\,\,\,\,\,\,\, (1)$

Lại có:
$x^3+y^3+z^3=1 \Leftrightarrow ( x + y + z )( x^2 + y^2 + z^2 – xy – yz – zx) + 3xyz = 1$

$\Rightarrow 1.(1 - 0) + 3xyz = 1 \Leftrightarrow xyz = 0 \,\,\,\,\,\,(2)$
Từ (1) và (2), suy ra: $x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = 0$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}xy = 0\\yz = 0\\xz = 0\end{array}\right.$
Do đó, trong 3 số có 2 số bằng 0, một số bằng 1.
Vậy $x+y^2+z^3= 1$
Bài 2.

Giải




Ta có:
$xy+x+y=3 \Leftrightarrow ( x +1 )( y + 1 ) = 4 \,\,\,\, (1)$

$yz+z+y=8 \Leftrightarrow (y + 1)( z + 1) = 9 \,\,\,\, (2)$

$xz+x+z=15 \Leftrightarrow ( x + 1)( z + 1) = 16 \,\,\,\, (3)$

$\Rightarrow ( x +1 )( y + 1 ).( y + 1 )( z + 1 )( x + 1)( z + 1) = 4.9.16$

$\Rightarrow [(x + 1)(y + 1)(z + 1)]^2 = (24)^2$

$\Rightarrow (x + 1)(y + 1)(z + 1) = \pm 24$
  • Nếu $(x + 1)(y + 1)(z + 1) = 24$
Chia vế theo vế của đẳng thức (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 24 cho lần lượt (1); (2); (3), ta được:

$ z + 1 = 6; x + 1 = \dfrac{24}{9}; y + 1 = \dfrac{3}{2}$

$\Rightarrow x + 1 + y + 1 + z + 1 = \dfrac{61}{6} \Rightarrow P = \dfrac{43}{6}$

Tương tự với trường hợp còn lại

Bài 3.
Ta có:
$x + y + z = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}$
$\Leftrightarrow x + y + z = \dfrac{xyz}{x} + \dfrac{xyz}{y} + \dfrac{xyz}{z}$

$\Leftrightarrow x + y + z = xy + yz + zx $

$\Leftrightarrow x + y + z - xy - yz - zx = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1)$

Chú ý hằng đẳng thức sau:
$$(x - 1)(y - 1)(z - 1) = x + y + z - xy - yz - zx + xyz - 1$$
Do xyz = 1 nên xyz - 1 = 0.
Cộng VT của 1 cho $xyz - 1$, ta có:

$x + y + z - xy - yz - zx + xyz - 1= 0 + 0 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)(y - 1)(z - 1) = 0$

Do đó có ít nhất một trong 3 thừa số trên bằng 0 hay trong 3 số x, y, z có ít nhất một số bằng 1.
Khi đó:

P = (x19- 1)( y15- 1)( z1890- 1) = 0


Bài 4.
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$$\dfrac{x}{A}=\dfrac{y}{B}=\dfrac{z}{C} = \dfrac{x + y + z}{A + B + C} $$
Do A + B + C = 1,

$$\Rightarrow \dfrac{x}{A}=\dfrac{y}{B}=\dfrac{z}{C} = x + y + z \,\,\,\,\, (1)$$
Ta có:
$\dfrac{x}{A}=\dfrac{y}{B}=\dfrac{z}{C} \Rightarrow (\dfrac{x}{A})^2 = (\dfrac{y}{B})^2 = (\dfrac{z}{C})^2$

$\Rightarrow \dfrac{x^2}{A^2}=\dfrac{y^2}{B^2}=\dfrac{z^2}{C^2} $
Tiếp tục áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x^2}{A^2}=\dfrac{y^2}{B^2}=\dfrac{z^2}{C^2} = \dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{A^2 + B^2 + C^2}$

Do $A^2 + B^2 + C^2 = 1$ nên:
$$\dfrac{x^2}{A^2}=\dfrac{y^2}{B^2}=\dfrac{z^2}{C^2} = x^2 + y^2 + z^2 \,\,\,\,\, (2)$$
Từ (1), ta thấy:
$$\dfrac{x}{A} = x + y + z \Rightarrow \dfrac{x^2}{A^2} = (x + y + z)^2$$
Từ (2), ta thấy:
$$\dfrac{x^2}{A^2} = x^2 + y^2 + z^2$$
Do đó: $x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 $
$\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)$
$\Rightarrow xy + yz + zx = 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 30-09-2011 - 17:46

Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh