Chủ đề này có 140 trả lời

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Chuyên đề : Tính giá trị biểu thức

Yêu cầu về bài viết trong topic:
- Viết bằng Tiếng Việt có dấu, viết hoa đầu dòng, tuyệt đói không dùng ngôn ngữ chat.
- Viết rõ ràng bằng latex ( nếu không viết được có thể nhờ Mod sửa hộ nhưng phải đầy đủ thông tin). Không để font, size, màu quá lớn. Hạn chế tải thêm các hình ảnh không liên quan.
- Không SPAM.
- Bài viết đầy đủ thông tin. Phương pháp làm, Lo-gic và Kết quả. tránh tình trạng bỏ dở.

Bài 1: http://diendantoanho...showtopic=61533
Bài 2. Hãy tính tổng $ S = ab + cd$ biết rằng $ a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 2005$ và $ ac + bd = 0$

Bài 3. Cho $ a^2 + b^2 = 4282; c^2 + d^2 = 1658; ac + bd = 2384$.
Tính $ad - bc$

Bài 4. Cho $a + b + c = 0$.
Tính giá trị biểu thức: $ M = a^3 + b^3 + a^2c + b^2c - abc$

Bài 5. Tính tổng $ 1^3 + 5^3 + 9^3 + … + ( 4n + 1 )^3$

Bài 6. Tính tích số :
$ P = 101.10001.100000001… 1\underset{2^n - 1 }{\underbrace{00…00}1}$

Bài 7. Một dãy số tự nhiên được phân thành nhóm như sau:
(1), (2, 3), ( 4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), …
Gọi $ S_k$ là tổng các số ở nhóm thứ k.
Tính tổng $ S = S_1 + S_2 + S_3 + … + S_{2n - 1}$

Bài 8. Gọi n là số tự nhiên, $n \geq 1$. Tính tích số sau theo n:
$( 1 - \dfrac{1}{2} )( 1 - \dfrac{1}{3})( 1 - \dfrac{1}{4})…( 1 - \dfrac{1}{n + 1 })$
(Đề thi HSG toàn quốc 1977 - 1978)

Bài 9. Cho $f(x) = ax^2 + bx + c$ có tính chất:
f(x) nhận giá trị nguyên khi x là số nguyên.
Hỏi các hệ số a, b, c có nhất thiết là các số nguyên hay không?
Tại sao?
(Đề thi vào lớp 10 chuyên Trường Đại học KHTN Hà Nội năm học 2002 - 2003)

Bài 10. Cho
$\left\{\begin{array}{l}4\alpha^2 = 2( b^2 + c^2) - a^2\\4\beta^2 = 2( c^2 + a^2) - b^2\\ 4\gamma^2 = 2( a^2 + b^2) - c^2 \end{array}\right.$
Hãy tính các biểu thức sau theo a, b, c:
a, $T_1 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$
b, $T_2 =\alpha^2\beta^2 + \beta^2\gamma^2 + \alpha^2\gamma^2$
c, $ T_3 = \alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 30-09-2011 - 20:02

[pretty_sp2]

Bài 10:
a, Ta có:
$\left\{\begin{array}{l}4\alpha^2 = 2( b^2 + c^2) - a^2\\4\beta^2 = 2( c^2 + a^2) - b^2\\ 4\gamma^2 = 2( a^2 + b^2) - c^2 \end{array}\right.$
$ \Rightarrow\alpha ^{2}+\beta ^{2}+ \gamma^{2} = \dfrac{3}{4}( a^{2} + b^{2}+ c^{2} )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 17-08-2011 - 09:47

[Hoa Hồng Lắm Gai]

Bài 8:

$( 1 - \dfrac{1}{2} )( 1 - \dfrac{1}{3})( 1 - \dfrac{1}{4})…( 1 - \dfrac{1}{n + 1 })$

$= \dfrac{1}{2}. \dfrac{2}{3}. \dfrac{3}{4}… \dfrac{n}{n + 1}$

$=\dfrac{1}{n + 1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 17-08-2011 - 09:48

[Cao Xuân Huy]

Bài 2:
Ta có:
$(ac + b{\rm{d}})(a{\rm{d}} + bc) = 0 \Leftrightarrow a^2 c{\rm{d}} + abc^2 + ab{\rm{d}}^2 + c{\rm{d}}b^2 = 0 $

$\Leftrightarrow ab(c^2 + d^2 ) + c{\rm{d}}(a^2 + b^2 ) = 0 \Leftrightarrow 2005(ab + c{\rm{d}}) = 0 \Leftrightarrow ab + c{\rm{d}} = 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 03-09-2011 - 22:46

[Crystal]

Bài 5:

Ta có:

$1^3 + 5^3 + 9^3 + ... + \left( {4n + 1} \right)^3 = \sum\limits_{i = 0}^n {\left( {4i + 1} \right)^3 } $

$= \sum\limits_{i = 0}^n {\left( {64i^3 + 16i^2 + 4i + 1} \right) = 64} \sum\limits_{i = 0}^n {i^3 } + 16\sum\limits_{i = 0}^n {i^2 + 4\sum\limits_{i = 0}^n {i + n} } $

Mặt khác, ta có các công thức:

$\sum\limits_{i = 0}^n {i^3 } = \dfrac{{n^2 \left( {n + 1} \right)^2 }}{4};\,\,\,\,\sum\limits_{i = 0}^n {i^2 } = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6};\,\,\,\sum\limits_{i = 0}^n {i = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} $.

Do đó:

$S = \dfrac{{n^2 \left( {n + 1} \right)^2 }}{4} + \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6} + \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} + n$

Rút gọn BT cuối là xong.

Bài 9:

Ta có:

$f\left( 0 \right) = c \in Z \Rightarrow c \in Z$

$f\left( 1 \right) = a + b + c \in Z \Rightarrow a + b \in Z\,\,(1)$

$f\left( { - 1} \right) = a - b + c \in Z \Rightarrow a - b \in Z\,\,(2)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a \in Z \\ 2b \in Z \\ \end{array} \right. \Rightarrow a = b = \dfrac{1}{2}$.

Vậy f(x) nguyên với mọi x nguyên thì c phải nguyên và a, b không nhất thiết phải nguyên.

[Cao Xuân Huy]

Bài 6.
$P = 101.1001.100000001.1\underbrace {00..0}_{2^n - 1}1 = (10^2 + 1)(10^4 + 1)(10^8 + 1)...(10^{2^n } + 1)$

$= \dfrac{1}{{99}}(10^2 - 1)(10^2 + 1)(10^4 + 1)...(10^{2^n } + 1) $

$= \dfrac{1}{{99}}(10^4 - 1)(10^4 + 1)(10^8 + 1)...(10^{2^n } + 1)$

Tiếp tục làm như vậy ta được:
$P = \dfrac{1}{{99}}(10^{2^{n + 1} } - 1) = \dfrac{{\underbrace {999...99}_{2^{n + 1} }}}{{99}} $

$= \dfrac{{\underbrace {111...11}_{2^{n + 1} }}}{{11}} = \underbrace {1010..101}_{2^{n + 1} - 1 }$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 03-09-2011 - 22:48

[Mr CrAzY]

Bài 11. Tính giá trị của biểu thức
a. $ x^{30} - 2000x^{29} + 2000x^{28} - ... - 2000x + 2000 $
với $x = 2006$

b. $ x^{10} + 20x^{9} + 20x^{8} + ... + 20x$
với $x = -24$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 04-09-2011 - 06:36

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 12. Với các giá trị x, y, z lần lượt là:

$x=\dfrac{a}{b+c}; y=\dfrac{b}{c+a}, z=\dfrac{c}{a+b}$

Tính GTBT: $xy+yz+zx+2xyz$

Bài 13.

$x=\dfrac{b+c}{a}; y=\dfrac{a+b}{c}; z=\dfrac{c+a}{b}$

Tính GTBT: $xyz - (x+y+z)$

Nguồn: Topic Các hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 04-09-2011 - 06:38

[Cao Xuân Huy]

Bài 12:
$xy + x{\rm{z}} + y{\rm{z}} + 2xyz $
$= \dfrac{{ab}}{{(b + c)(c + a)}} + \dfrac{{bc}}{{(c + a)(a + b)}} + \dfrac{{ac}}{{(b + c)(a + b)}} + \dfrac{{2abc}}{{(b + c)(c + a)(a + b)}}$
$ = \dfrac{{ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c) + 2abc}}{{(b + c)(c + a)(a + b)}}$
Phân tích tử thức ta có:
$T = b^2 c + bc^2 + a^2 c + ac^2 + ab(a + b) + 2abc $
$= c(a^2 + b^2 + 2ab) + c^2 (a + b) + ab(a + b)$
$ = c(a + b)^2 + c^2 (a + b) + ab(a + b) = (a + b){\rm{[c(a + b) + ab + c}}^2 {\rm{]}}$
$ = (a + b){\rm{[}}(ac + ab) + (bc + c^2 ){\rm{]}}$
${\rm{ = (a + b)[a(b + c) + c(b + c)]}} = (a + b)(b + c)(a + c)$
Vì tử bằng mẫu nên biểu thức đã cho bằng 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 04-09-2011 - 09:01

[Cao Xuân Huy]

Bài 13:
$A=xy{\rm{z}} - (x + y + z) = \dfrac{{(a + b)(c + a)(b + c)}}{{abc}} - \dfrac{{b + c}}{a} - \dfrac{{a + b}}{c} - \dfrac{{c + a}}{b}$
$ = \dfrac{{(a + b)(b + c)(a + c) - bc(b + c) - ab(a + b) - ac(a + c)}}{{abc}}$
Ta có:
$bc(b + c) + ab(a + b) + ac(a + c) - 2abc$
$ = b^2 c + bc^2 + a^2 c + ac^2 + ab(a + b) + 2abc $
$= c(a^2 + b^2 + 2ab) + c^2 (a + b) + ab(a + b)$
$ = c(a + b)^2 + c^2 (a + b) + ab(a + b) = (a + b){\rm{[c(a + b) + ab + c}}^2 {\rm{]}}$
$ = (a + b){\rm{[}}(ac + ab) + (bc + c^2 ){\rm{]}}$
${\rm{ = (a + b)[a(b + c) + c(b + c)]}} = (a + b)(b + c)(a + c)$
Do đó:
$A = \dfrac{{(a + b)(c + a)(b + c) - (a + b)(c + a)(b + c) + 2abc}}{{abc}}$

Vậy $A = 2$

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Chuyên đề : Tính giá trị biểu thức

Yêu cầu về bài viết trong topic:
- Viết bằng Tiếng Việt có dấu, viết hoa đầu dòng, tuyệt đói không dùng ngôn ngữ chat.
- Viết rõ ràng bằng latex ( nếu không viết được có thể nhờ Mod sửa hộ nhưng phải đầy đủ thông tin). Không để font, size, màu quá lớn. Hạn chế tải thêm các hình ảnh không liên quan.
- Không SPAM.
- Bài viết đầy đủ thông tin. Phương pháp làm, Lo-gic và Kết quả. tránh tình trạng bỏ dở.

Bài 1: http://diendantoanho...showtopic=61533
Bài 2. Hãy tính tổng $ S = ab + cd$ biết rằng $ a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 2005$ và $ ac + bd = 0$

Bài 3. Cho $ a^2 + b^2 = 4282; c^2 + d^2 = 1658; ac + bd = 2384$.
Tính $ad - bc$

Bài 4. Cho $a + b + c = 0$.
Tính giá trị biểu thức: $ M = a^3 + b^3 + a^2c + b^2c - abc$

Bài 5. Tính tổng $ 1^3 + 5^3 + 9^3 + … + ( 4n + 1 )^3$

Bài 6. Tính tích số :
$ P = 101.10001.100000001… 1\underset{2^n - 1 }{\underbrace{00…00}1}$

Bài 7. Một dãy số tự nhiên được phân thành nhóm như sau:
(1), (2, 3), ( 4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), …
Gọi $ S_k$ là tổng các số ở nhóm thứ k.
Tính tổng $ S = S_1 + S_2 + S_3 + … + S_{2n - 1}$

Bài 8. Gọi n là số tự nhiên, $n \geq 1$. Tính tích số sau theo n:
$( 1 - \dfrac{1}{2} )( 1 - \dfrac{1}{3})( 1 - \dfrac{1}{4})…( 1 - \dfrac{1}{n + 1 })$
(Đề thi HSG toàn quốc 1977 - 1978)

Bài 9. Cho $f(x) = ax^2 + bx + c$ có tính chất:
f(x) nhận giá trị nguyên khi x là số nguyên.
Hỏi các hệ số a, b, c có nhất thiết là các số nguyên hay không?
Tại sao?
(Đề thi vào lớp 10 chuyên Trường Đại học KHTN Hà Nội năm học 2002 - 2003)

Bài 10. Cho
$\left\{\begin{array}{l}4\alpha^2 = 2( b^2 + c^2) - a^2\\4\beta^2 = 2( c^2 + a^2) - b^2\\ 4\gamma^2 = 2( a^2 + b^2) - c^2 \end{array}\right.$
Hãy tính các biểu thức sau theo a, b, c:
a, $T_1 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$
b, $T_2 =\alpha^2\beta^2 + \beta^2\gamma^2 + \alpha^2\gamma^2$
c, $ T_3 = \alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4$

Bài 3 :
$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=4282.1658=7099556$
$\Leftrightarrow (ac+bd)^2 +(ad-bc)^2 = 7099556$
Mà $ac+bd =2384$
$\Leftrightarrow (ad-bc)^2 = 7099556 - 2384^2 = 1416100$
$\Leftrightarrow \left | ad-bc \right | =1190$
Bài 4 :
$a+b+c=0$
$\Rightarrow a^3+b^3+c^3 = 3abc $
$\Rightarrow M = (a^3+b^3+c^3)-abc -c^3 +a^2c+b^2c = c(a^2+b^2+2ab -c^2) = 0 $
Bài 7 :
Nhận xét : $S_1$ có 1 số hạng , $S_2$ có 2 số hạng ...$ \Rightarrow$ $S_{2n-1}$ có $2n-1$ số hạng
$\Rightarrow$ Số hạng cuối cùng của $S_{2n-1}$ là :$\dfrac {(1+2n-1)(2n-1)}{2}=n(2n-1)$
$\Rightarrow S=\sum_{i=1}^{2n-1}S_i=\dfrac{[1+n(2n-1)]n(2n-1)}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 04-09-2011 - 15:37

[Minh Dao]

Bài 14. Cho $x= \dfrac{1}{2}\sqrt{ \sqrt{2}+ \dfrac{1}{8} }-\sqrt{ \dfrac{1}{32}} $

Tính $S = x^2 + \sqrt{ x^4 + x +1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 01-10-2011 - 15:52

[hoa_giot_tuyet]

Cho x= $ \dfrac{1}{2}$ * $ \sqrt{ \sqrt{2}+ \dfrac{1}{8} }$ - $ \sqrt{ \dfrac{1}{32} $

Tính S = $ \ x^2 $ + $ \sqrt{ x^4 + x +1} $

i.

$x = \dfrac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\dfrac{1}{8}}-\sqrt{\dfrac{1}{32}}$
$x+\sqrt{\dfrac{1}{32}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{8\sqrt{2}+1}{8}}$

$(x+\sqrt{\dfrac{1}{32}})^2=\dfrac{1}{4}.\dfrac{8\sqrt{2}+1}{8}$

$x^2+\dfrac{x\sqrt{2}}{4}+\dfrac{1}{32}=\dfrac{8\sqrt{2}+1}{32}$

$x^2+\dfrac{x\sqrt{2}}{4}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}=0$

$x^2=\dfrac{\sqrt{2}(1-x)}{4}$

$x^4+x+1 = \dfrac{(1-x)^2}{8} + x + 1 = \dfrac{(a+3)^2}{8}$

Sau đó khai căn r�ồi tiếp tục thay vào S tính tiếp (kq căn 2)

Tuy nhiên tớ có tham khảo ở một quyển sách thì thấy có một cách khác khá thông minh post lên bạn tham khảo

Ta tính đc $x^2=\dfrac{\sqrt{2}(1-x)}{4}$

Đặt $A = \sqrt{x^4+x+1} - x^2$

Ta có $S = \sqrt{x^4+x+1} + x^2$

Ta thấy SA = x + 1 nên S(-A) = -(x+1)

Và S - A = 2x^2 = ... ( thay vào)

Nên ta áp dụng công tính tìm 2 số khi biết tổng và tích r�ồi tính ra S

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 10-09-2011 - 19:26

[Zaraki]

Xin đưa thêm một số bài toán khá là khó.

$\fbox{15}$. Tính tổng

$$S= \dfrac{4+ \sqrt{3}}{\sqrt{1}+ \sqrt{3}}+ \dfrac{6+ \sqrt{8}}{\sqrt{3}+ \sqrt{5}}+...+$$
$$\dfrac{2n+ \sqrt{n^2-1}}{ \sqrt{n-1}+ \sqrt{n+1}}+...+ \dfrac{240+ \sqrt{14399}}{ \sqrt{119}+ \sqrt{121}}$$

$\fbox{16}$. $P(x)=ax^2+bx+c, \ a \ne 0$.
Chứng minh rằng $\forall m \in \mathbb{R}$, ta có
$$P(m) = P\left( { - m - \dfrac{b}{a}} \right). $$
Từ đó tính giá trị biểu thức

$$(\sqrt {2009} - \sqrt {2008} )x^2 - (\sqrt 2 008 - \sqrt {2007} )x + 6\sqrt {2008} - 2\sqrt {2007}$$

với $x = \dfrac{2 \sqrt{2009}- 3\sqrt{2008}+ \sqrt{2007}}{ \sqrt{2008}- \sqrt{2009}}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 01-10-2011 - 15:54
gõ lại cho dễ nhìn

[Phạm Hữu Bảo Chung]

$S= \dfrac{4+ \sqrt{3}}{\sqrt{1}+ \sqrt{3}}+ \dfrac{6+ \sqrt{8}}{\sqrt{3}+ \sqrt{5}}+...+$
$ \dfrac{2n+ \sqrt{n^2-1}}{ \sqrt{n-1}+ \sqrt{n+1}}+...+ \dfrac{240+ \sqrt{14399}}{ \sqrt{119}+ \sqrt{121}}$

Đề bài nếu với quy luật là $\dfrac{2n+ \sqrt{n^2-1}}{ \sqrt{n-1}+ \sqrt{n+1}}$ thì số hạng thứ hai phải là:
$\dfrac{2.3+ \sqrt{3^2 - 1}}{\sqrt{3 - 1}+ \sqrt{3 + 1}} = \dfrac{6 + \sqrt{8}}{\sqrt{2} + \sqrt{4}}$
Bài 14:

Giải

Bài làm theo đề bài được sửa.
ĐK: $n \in N^*$
Ta thấy: $\dfrac{2n+ \sqrt{n^2-1}}{ \sqrt{n - 1}+ \sqrt{n+1}} $
$= \dfrac{( n - 1 ) + \sqrt{( n - 1 )( n + 1 )} + ( n + 1 )}{\sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 1}}$
$= \dfrac{(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1})(\sqrt{n - 1}^2 + \sqrt{( n - 1 )( n + 1 )} + \sqrt{n + 1}^2)}{(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n - 1})(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1})}$
$= \dfrac{\sqrt{n + 1}^3 - \sqrt{n - 1}^3}{n + 1 - (n - 1)}$
$= \dfrac{\sqrt{n + 1}^3 - \sqrt{n - 1}^3}{2}$

Do đó, ta có:
$\dfrac{4+ \sqrt{3}}{\sqrt{1}+ \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3^3} - \sqrt{1^3}}{2}$
$\dfrac{6+ \sqrt{8}}{\sqrt{2}+ \sqrt{4}} = \dfrac{\sqrt{4^3} - \sqrt{2^3}}{2}$
$\dfrac{8+ \sqrt{15}}{\sqrt{3}+ \sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5^3} - \sqrt{3^3}}{2}$
…………
$\dfrac{240+ \sqrt{14399}}{ \sqrt{119}+ \sqrt{121}} = \dfrac{\sqrt{121^3} - \sqrt{119}^3}{2}$
Do đó:
$S = \dfrac{\sqrt{3^3} - \sqrt{1^3} + \sqrt{4^3} - \sqrt{2^3} + \sqrt{5^3} - \sqrt{3^3} + . + \sqrt{121^3} - \sqrt{119}^3}{2}$
$S = \dfrac{\sqrt{121^3} - \sqrt{1^3} + \sqrt{120^3} - \sqrt{2^3}}{2}$
$S = \dfrac{1330 + 120\sqrt{120} - 2\sqrt{2}}{2} = 665 +120\sqrt{30} - \sqrt{2}$
Anh nghĩ chắc đề là thế này:
$S = \dfrac{4+ \sqrt{3}}{\sqrt{1}+ \sqrt{3}}+ \dfrac{8+ \sqrt{15}}{\sqrt{3}+ \sqrt{5}}+...$
Nhưng do đề bài không nói gì nên theo quy luật là phải làm thế.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 01-10-2011 - 15:59

[Zaraki]

Vâng, đúng như anh nói, số hạng thứ 2 là $\dfrac{8+ \sqrt{15}}{ \sqrt{3}+ \sqrt{5}}$. Như vậy kết quả mới tròn $\boxed{665}$.
Nhưng dù sao hướng giải cũng đúng rồi.

[Crystal]

Một bài hay.
Bài 16: Cho $a, b, c$ là các số thực khác 0 và có tổng khác 0 thỏa mãn: $\dfrac{1}{{{a^m}}} + \dfrac{1}{{{b^m}}} + \dfrac{1}{{{c^m}}} = \dfrac{1}{{{a^m} + {b^m} + {c^m}}},\,\,m \in {N^*}$\

Tính giá trị của biểu thức: $S = \left( {{a^n} + {b^n} + {c^n}} \right)\left( {\dfrac{1}{{{a^n}}} + \dfrac{1}{{{b^n}}} + \dfrac{1}{{{c^n}}}} \right)$ với n là số nguyên dương lẻ nào đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 01-10-2011 - 16:00

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Có nghĩa là với mọi $m \in N^*$ thì
$\dfrac{1}{{{a^m}}} + \dfrac{1}{{{b^m}}} + \dfrac{1}{{{c^m}}} = \dfrac{1}{{{a^m} + {b^m} + {c^m}}}$ phải không ạ?

Giải

Ta có:
$S = \left( {{a^n} + {b^n} + {c^n}} \right)\left( {\dfrac{1}{{{a^n}}} + \dfrac{1}{{{b^n}}} + \dfrac{1}{{{c^n}}}} \right)$

$S = 1 + \dfrac{a^n}{b^n} + \dfrac{a^n}{c^n} + \dfrac{b^n}{a^n} + 1 + \dfrac{b^n}{c^n} + \dfrac{c^n}{a^n} + \dfrac{c^n}{b^n} + 1$

$S = 3 + a^n(\dfrac{1}{b^n} + \dfrac{1}{c^n}) + b^n( \dfrac{1}{a^n} + \dfrac{1}{c^n}) + c^n(\dfrac{1}{a^n} + \dfrac{1}{b^n})$

$S = 3 + a^n( \dfrac{1}{a^n + b^n + c^n} - \dfrac{1}{a^n}) + b^n(\dfrac{1}{a^n + b^n + c^n} - \dfrac{1}{b^n}) + c^n(\dfrac{1}{a^n + b^n + c^n} - \dfrac{1}{c^n})$

$S = 3 + \dfrac{- b^n - c^n}{a^n + b^n + c^n} + \dfrac{- a^n - c^n}{a^n + b^n + c^n} + \dfrac{- a^n - b^n}{a^n + b^n + c^n}$
$S = 3 + \dfrac{-2( a^n + b^n + c^n)}{a^n + b^n + c^n} = 1$

[maikhai]

Bài 1. Cho
$$x+y+z=1$$
$$x^2+y^2+z^2=1$$
$$x^3+y^3+z^3=1$$
Tính $x+y^2+z^3$
Bài 2. Cho $x, y, z \geq 0$ thỏa mãn

xy+x+y=3 ;

yz+z+y=8;

xz+x+z=15.

Tính P = x + y + z

Bài 3. Cho x,y,z thỏa mãn: xyz=1 và
$$x+y+z=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$$
Tính P=$(x^{19}-1)(y^{15}-1)(z^{1890}-1)$

Bài 4. Cho $A+B+C=1; A^2+B^2+C^2=1$ và
$$ \dfrac{x}{A}=\dfrac{y}{B}=\dfrac{z}{C}$$
Tính P = xy + yz + zx

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 29-09-2011 - 10:24

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 1.

Giải

Chú ý các hằng đẳng thức sau:
$( x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2( xy + yz + zx)$

$x^3 + y^3 + z^3 = ( x + y + z )( x^2 + y^2 + z^2 – xy – yz – zx) + 3xyz$

Ta có:
$x+y+z=1 \Leftrightarrow ( x + y + z)^2 = 1 $

$\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 + 2( xy + yz + zx) = 1$

$\Rightarrow 1 + 2(xy + yz + zx) = 1 \Leftrightarrow xy + yz + zx = 0 \,\,\,\, (1)$

$\Leftrightarrow (xy + yz + zx)^2 = 0 $

$\Leftrightarrow x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + 2(xy^2z + xyz^2 + x^2yz) = 0$

$\Leftrightarrow (x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) + 2xyz( x + y + z ) = 0$

$\Rightarrow x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = - 2xyz \,\,\,\,\,\,\,\,\, (1)$

Lại có:
$x^3+y^3+z^3=1 \Leftrightarrow ( x + y + z )( x^2 + y^2 + z^2 – xy – yz – zx) + 3xyz = 1$

$\Rightarrow 1.(1 - 0) + 3xyz = 1 \Leftrightarrow xyz = 0 \,\,\,\,\,\,(2)$
Từ (1) và (2), suy ra: $x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = 0$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}xy = 0\\yz = 0\\xz = 0\end{array}\right.$
Do đó, trong 3 số có 2 số bằng 0, một số bằng 1.
Vậy $x+y^2+z^3= 1$
Bài 2.

Giải

Ta có:
$xy+x+y=3 \Leftrightarrow ( x +1 )( y + 1 ) = 4 \,\,\,\, (1)$

$yz+z+y=8 \Leftrightarrow (y + 1)( z + 1) = 9 \,\,\,\, (2)$

$xz+x+z=15 \Leftrightarrow ( x + 1)( z + 1) = 16 \,\,\,\, (3)$

$\Rightarrow ( x +1 )( y + 1 ).( y + 1 )( z + 1 )( x + 1)( z + 1) = 4.9.16$

$\Rightarrow [(x + 1)(y + 1)(z + 1)]^2 = (24)^2$

$\Rightarrow (x + 1)(y + 1)(z + 1) = \pm 24$

• Nếu $(x + 1)(y + 1)(z + 1) = 24$

Chia vế theo vế của đẳng thức (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 24 cho lần lượt (1); (2); (3), ta được:

$ z + 1 = 6; x + 1 = \dfrac{24}{9}; y + 1 = \dfrac{3}{2}$

$\Rightarrow x + 1 + y + 1 + z + 1 = \dfrac{61}{6} \Rightarrow P = \dfrac{43}{6}$

Tương tự với trường hợp còn lại

Bài 3.
Ta có:
$x + y + z = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}$
$\Leftrightarrow x + y + z = \dfrac{xyz}{x} + \dfrac{xyz}{y} + \dfrac{xyz}{z}$

$\Leftrightarrow x + y + z = xy + yz + zx $

$\Leftrightarrow x + y + z - xy - yz - zx = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1)$

Chú ý hằng đẳng thức sau:
$$(x - 1)(y - 1)(z - 1) = x + y + z - xy - yz - zx + xyz - 1$$
Do xyz = 1 nên xyz - 1 = 0.
Cộng VT của 1 cho $xyz - 1$, ta có:

$x + y + z - xy - yz - zx + xyz - 1= 0 + 0 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)(y - 1)(z - 1) = 0$

Do đó có ít nhất một trong 3 thừa số trên bằng 0 hay trong 3 số x, y, z có ít nhất một số bằng 1.
Khi đó:

P = (x¹⁹- 1)( y¹⁵- 1)( z¹⁸⁹⁰- 1) = 0

Bài 4.
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$$\dfrac{x}{A}=\dfrac{y}{B}=\dfrac{z}{C} = \dfrac{x + y + z}{A + B + C} $$
Do A + B + C = 1,

$$\Rightarrow \dfrac{x}{A}=\dfrac{y}{B}=\dfrac{z}{C} = x + y + z \,\,\,\,\, (1)$$
Ta có:
$\dfrac{x}{A}=\dfrac{y}{B}=\dfrac{z}{C} \Rightarrow (\dfrac{x}{A})^2 = (\dfrac{y}{B})^2 = (\dfrac{z}{C})^2$

$\Rightarrow \dfrac{x^2}{A^2}=\dfrac{y^2}{B^2}=\dfrac{z^2}{C^2} $
Tiếp tục áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x^2}{A^2}=\dfrac{y^2}{B^2}=\dfrac{z^2}{C^2} = \dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{A^2 + B^2 + C^2}$

Do $A^2 + B^2 + C^2 = 1$ nên:
$$\dfrac{x^2}{A^2}=\dfrac{y^2}{B^2}=\dfrac{z^2}{C^2} = x^2 + y^2 + z^2 \,\,\,\,\, (2)$$
Từ (1), ta thấy:
$$\dfrac{x}{A} = x + y + z \Rightarrow \dfrac{x^2}{A^2} = (x + y + z)^2$$
Từ (2), ta thấy:
$$\dfrac{x^2}{A^2} = x^2 + y^2 + z^2$$
Do đó: $x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 $
$\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)$
$\Rightarrow xy + yz + zx = 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 30-09-2011 - 17:46