Chủ đề này có 140 trả lời

[Beautifulsunrise]

Tính: $\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}+\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Tính:
$\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}+\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Giải

Đặt:
$A = \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}+\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Ta có:
$\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}$

$= \dfrac{\dfrac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}$

$= \dfrac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2}} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

$= \dfrac{4 + 2\sqrt{3}}{2.\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{3}}$

Tương tự, ta có:
$\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}$

$= \dfrac{2 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \dfrac{4 - 2\sqrt{3}}{2.\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}$

$= \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{3}}$

Do đó:
$A = \dfrac{\sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} - 1}{2\sqrt{3}} = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 24-06-2012 - 13:50

[Beautifulsunrise]

Cho x, y thỏa: $\left\{\begin{matrix} x^3+2y^2-4y+3=0 & \\ x^2+x^2y^2-2y=0 & \end{matrix}\right.$
Tính: Q = $x^2+y^2$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Cho x, y thỏa: $\left\{\begin{matrix} x^3+2y^2-4y+3=0 \,\, (1) & \\ x^2+x^2y^2-2y=0 \,\, (2) & \end{matrix}\right.$
Tính: Q = $x^2+y^2$

Giải

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$x^3 = -2(y^2 - 2y) - 3 = -2(y - 1)^2 - 1$

$\Rightarrow x^3 \leq -1 \Leftrightarrow x \leq -1 \,\, (1')$

Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của hệ. Với $x \neq 0$:
Ta có thể viết lại phương trình (2) dưới dạng phương trình bậc 2 ẩn y tham số x:
$$x^2y^2 - 2y + x^2 = 0$$
PT này có biệt thức $\Delta_{(2)} = (-1)^2 - x^2.x^2 = 1 - x^4$

Điều kiện để nó có nghiệm là: $\Delta_{(2)} \geq 0$

$\Leftrightarrow 1 - x^4 \geq 0 \Leftrightarrow -1 \leq x \leq 1 \,\, (2')$

Từ (1') và (2'), suy ra: $x = -1 \Rightarrow y = 1$

Khi đó: $x^2 + y^2 = 2$

[BoFaKe]

Cho x, y thỏa: $\left\{\begin{matrix} x^3+2y^2-4y+3=0 \,\, (1) & \\ x^2+x^2y^2-2y=0 \,\, (2) & \end{matrix}\right.$
Tính: Q = $x^2+y^2$

Giải

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$x^3 = -2(y^2 - 2y) - 3 = -2(y - 1)^2 - 1$

$\Rightarrow x^3 \leq -1 \Leftrightarrow x \leq -1 \,\, (1')$

Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của hệ. Với $x \neq 0$:
Ta có thể viết lại phương trình (2) dưới dạng phương trình bậc 2 ẩn y tham số x:
$$x^2y^2 - 2y + x^2 = 0$$
PT này có biệt thức $\Delta_{(2)} = (-1)^2 - x^2.x^2 = 1 - x^4$

Điều kiện để nó có nghiệm là: $\Delta_{(2)} \geq 0$

$\Leftrightarrow 1 - x^4 \geq 0 \Leftrightarrow -1 \leq x \leq 1 \,\, (2')$

Từ (1') và (2'), suy ra: $x = -1 \Rightarrow y = 1$

Khi đó: $x^2 + y^2 = 2$

Đoạn đó ta có thể dùng cách khác nhanh hơn rất nhiều ,biến đổi phương trình $(2)$ thành:
$x^{2}(y^{2}+1)= 2y\Leftrightarrow x^{2}= \frac{2y}{y^{2}+1}\leq 1$(Theo côsi)
Đến đó rồi tương tự...

[BoFaKe]

Để mình cho thêm 1 bài nữa .Cho$x,y$ thõa mãn:
$\left\{\begin{matrix} x^{3}+xy^{2}= 17 & & \\ y^{3}+x^{2}y= 98 & & \end{matrix}\right.$
Tính $x^{2}+y^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 19-07-2012 - 15:54

[BoFaKe]

Chứng minh đẳng thức sau :$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}= \sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}$

[triethuynhmath]

Chứng minh đẳng thức sau :$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}= \sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}$

Ta có:
$\frac{1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}}=\frac{2+1}{(\sqrt[3]{2}+1)\sqrt[3]{9}}=\frac{3}{\sqrt[3]{9}(\sqrt[3]{2}+1)}=\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}+1}=\sqrt[3]{\frac{3}{3+3\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{2}+1)}}=\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}}=\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{2}-1}{(\sqrt[3]{2}-1)(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1)}}=\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{2}-1}{2-1}}=\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}(Q.E.D)$
P/s:Bài này chẳng qua là nắm vững phương pháp trục căn thức mà thôi!!!

[henry0905]

Để mình cho thêm 1 bài nữa .Cho$x,y$ thõa mãn:
$\left\{\begin{matrix} x^{3}+xy^{2}= 17 & & \\ y^{3}+x^{2}y= 98 & & \end{matrix}\right.$
Tính $x^{2}+y^{2}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x(x^{2}+y^{2})=17 & \\ y(x^{2}+y^{2})=98 & \end{matrix}\right.$
Xét x=y=0 (loại)
$\Rightarrow x,y\neq 0$
$\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{17}{98}$
$\Rightarrow x=\frac{17}{98}y$
$\Rightarrow \frac{17}{98}y(\frac{9893}{9604}y^{2})=17$
Đến đây ta tìm được y và với $\frac{x}{y}=\frac{17}{98}$ thì ta tìm được x

[tkvn97]

Để mình cho thêm 1 bài nữa .Cho$x,y$ thõa mãn:
$\left\{\begin{matrix} x^{3}+xy^{2}= 17 & & \\ y^{3}+x^{2}y= 98 & & \end{matrix}\right.$
Tính $x^{2}+y^{2}$

Hệ đã cho tương đương với $\left\{\begin{matrix} (x^{3}+xy^{2})^{3}=17^{3}\\ (y^{3}+x^{2}y)^{3}=98^{3} \end{matrix}\right. \rightarrow (x^{3}+xy^{2})^{3}+(y^{3}+x^{2}y)^{3} = 17^{3}+98^{3}\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{3}=17^{3}+98^{3}\rightarrow x^{2}+y^{2}=\sqrt[3]{17^{3}+98^{3}}$

[BlueKnight]

Tính $\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+...+\sqrt{\frac{1}{2011^{^{^{2}}}}+\frac{1}{2012^{2}}+\frac{1}{2013^{2}}}$

[BlueKnight]

Áp dụng kết quả bài toán này là ra.

sao em thử trên máy thì không chính xác nhỉ
Kết quả đó chỉ đúng khi $a+b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlueKnight: 23-09-2012 - 11:05

[kimphu]

Tính giúp mình bài này với:
$\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\\ \sqrt[3]{26 +15\sqrt{3}}-\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}$

[kenvuong]

Tính giúp mình bài này với:
$\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\\ \sqrt[3]{26 +15\sqrt{3}}-\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}$

Câu a:


Đặt: $A= \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\\\\=>A^{3}=5\sqrt{2}+7-5\sqrt{2}+7-3\sqrt[3]{(5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}-7)}.A\\\\=>A^{3}=14-3\sqrt[3]{1}.A\\=>A^{3}+3A-14=0\\=>(A-2)(A^{2}+2A+7)=0\\=>A=2 \\\\Vậy:\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=2$

Câu b:Tương tự

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kenvuong: 07-10-2012 - 17:08

[kenvuong]

Mình xin góp một bài nha.

Tính giá trị biểu thức:

a, $P(x)=3x^{4}-8x^{3}-7x^{2}+6x+1$ (Với: $x=1-\sqrt{5}$)

b, $G(x)=3x^{5}+12x^{4}-8x^{3}-23x^{2}-7x+1$ (Với: $x=\sqrt{5}-2$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kenvuong: 22-10-2012 - 23:09

[nk0kckungtjnh]

Bài 4

. Cho $a + b + c = 0$.

Tính giá trị biểu thức: $ M = a^3 + b^3 + a^2c + b^2c - abc$

Giải:

Từ

$a + b + c = 0$ ta có: $a+b=-c$

$\Rightarrow (a+b)^3=(-c)^3$
$\Rightarrow a^3+b^3= -c^3-3ab(a+b)$
$\Rightarrow a^2+b^2=c^2-2ab$
$M= -c^3-3ab(a+b)+c(a^2+b^2)-abc$
$\Rightarrow M=c(a^2+b^2-c^2)-ab(3a+3b+c)$
$\Rightarrow M=-2abc- 2ab(a+b)$
$\Rightarrow M=-(2b(a+b+c))$
Vậy $M=0$
( Không biết có ai giải chưa?)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nk0kckungtjnh: 14-10-2012 - 18:16

[tramyvodoi]

[mấy bài như bài 8 có cách tổng quát k

[Khanh 6c Hoang Liet]

Cho các số $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện : $\left\{\begin{matrix} a + b + c = 0 \\ a^{2} + b^{2} +c^{2} = 14 \end{matrix}\right.$.
Tính giá trị biểu thức : $a^4 + b^4 + c^4$.

[DarkBlood]

Cho các số $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện : $\left\{\begin{matrix} a + b + c = 0 \\ a^{2} + b^{2} +c^{2} = 14 \end{matrix}\right.$.
Tính giá trị biểu thức : $a^4 + b^4 + c^4$.

Ta có:
$a+b+c=0$
$\Rightarrow$ $a^2+b^2+c^2=-2(ab+ac+bc)$
$\Rightarrow$ $-2(ab+ac+bc)=14$
$\Rightarrow$ $ab+ac+bc=-7$

Ta có:
$a^2+b^2+c^2=14$
$\Rightarrow$ $a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)=196$
$\Rightarrow$ $a^4+b^4+c^4=196-2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)$
$\Rightarrow$ $a^4+b^4+c^4=196-2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+abc(a+b+c)$ (vì $a+b+c=0$)
$\Rightarrow$ $a^4+b^4+c^4=196-2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+a^2bc+ab^2c+abc^2)$
$\Rightarrow$ $a^4+b^4+c^4=196-2(ab+ac+bc)^2$
$\Rightarrow$ $a^4+b^4+c^4=196-2(-7)^2$
$\Rightarrow$ $a^4+b^4+c^4=98$

[Kwon Simonster]

Bài 1: Tìm các cạnh nguyên của tam giác vuông có số đo diện tích bằng số đo chu vi

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của PT
xy=P(x+y) (P là số nguyên tố)
Bài 3: Cho hệ phương trình sau
a+b+c=1
a²+b²+c²=1
$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$
Tính giá trị biểu thức: A = xy + yz + zx

Mọi người giúp mình bài này với nhé, mình cảm ơn trước ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kwon Simonster: 16-12-2012 - 13:24