Chủ đề này có 140 trả lời

[DarkBlood]

Bài 3: Cho hệ phương trình sau:
$a+b+c=1$
$a^2+b^2+c^2=1$
$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$
Tính giá trị biểu thức: $A=xy+yz+zx.$

Ta có:
$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$
$\Leftrightarrow$ $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$
Đặt $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=k$ $(k\neq 0)$
Ta có:
$a=xk;b=yk;c=zk$

Ta có:
$a+b+c=1$
$\Rightarrow$ $a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1$
$\Rightarrow$ $1+2(ab+bc+ca)=1$
$\Rightarrow$ $ab+bc+ca=0$
$\Rightarrow$ $k^2(xy+yz+zx)=0$
$\Rightarrow$ $xy+yz+zx=0.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 16-12-2012 - 13:47

[Kwon Simonster]

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của PT
xy=P(x+y) (P là số nguyên tố)

Mình tự chữa bài này vậy, hì hì
- TH1: P = 2 => xy = 2x + 2y
=> 2x + 2y - xy = 0
=> x (2 - y) + 2y = 0
=> x (2 - y) + 2y - 4 = -4
=> (x - 2)(y - 2) = 4 = 1 * 4 = (-1)(-4) = 2 * 2 = (-2)(-2)

- TH2:$P \geq 3$ => P là số lẻ vì P là số nguyên tố
=> $\frac{xy}{x+y}$ là số lẻ
+ Nếu x và y đều là số lẻ => x + y là một số chẵn => loại
+ Nếu x và y đều là số chẵn => loại
+ Nếu trong hai số x và y có một số chẵn và số còn lại là số lẻ => xy là số chẵn => loại

Vậy PT có 6 nghiệm (x ; y) = (0 ; 0) , (3 ; 6) , (4 ; 4) , (1 ; -2) , (6 ; 3) , (-2 ; 1)

[DarkBlood]

Bài 1: Tìm các cạnh nguyên của tam giác vuông có số đo diện tích bằng số đo chu vi

Gọi cạnh huyền của tam giác đó là $z,$ hai cạnh góc vuông là $x,$ $y.$ $(x,y,z\in Z^+)$
Theo đề, ta có:
$x+y+z=\frac{1}{2}xy$ $(1)$
$x^2+y^2=z^2$
Từ $(1),$ ta có:
$2z=xy-2x-2y$
$4z^2=x^2y^2+4x^2+4y^2-4x^2y-4xy^2+8xy$
$4x^2+4y^2=x^2y^2+4x^2+4y^2-4x^2y-4xy^2+8xy$
$x^2y^2-4x^2y-4xy^2+8xy=0$
$xy(xy-4x-4y+8)=0$
Vì $x\neq 0, y\neq 0$ nên $xy\neq 0$
Do đó $xy-4x-4y+8=0$
$(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4=4.2=8.1=$
$=(-1).(-8)=(-2).(-4)=(-4).(-2)=(-8).(-1)$
Vì $x,y\in Z^+$ nên ta chỉ xét các trường hợp:
Trường hợp 1: $x-4=8,$ $y-4=1,$ từ đó tính được $x=12,$ $y=5,$ $z=13.$
Trường hợp 2: $x-4=2,$ $y-4=4,$ từ đó tính được $x=6,$ $y=8,$ $z=10.$
Trường hợp 3: $x-4=4,$ $y-4=2,$ từ đó tính được $x=8,$ $y=6,$ $z=10.$
Trường hợp 4: $x-4=1,$ $y-4=8,$ từ đó tính được $x=5,$ $y=12,$ $z=13.$
Vậy ......... ^^~

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 17-12-2012 - 07:25

[Kwon Simonster]

Cả nhà làm thêm bài này cho vui nhé

Cho x > 0. Thoả mãn: $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7$
Tính giá trị biểu thức: $A=x^{5}+\frac{1}{x^{5}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kwon Simonster: 17-12-2012 - 12:43

[DarkBlood]

Cả nhà làm thêm bài này cho vui nhé

Cho x > 0. Thoả mãn: $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7$
Tính giá trị biểu thức: $A=x^{5}+\frac{1}{x^{5}}$

Ta có:
$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7$
$x^2+2.x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=7+2=9$
$\left ( x+\frac{1}{x} \right )^2=9$
Mà $x>0$ nên:
$x+\frac{1}{x}=3$
Ta có:
$x^3+\frac{1}{x^3}=\left ( x+\frac{1}{x} \right )\left ( x^2-1+\frac{1}{x^2} \right )=3.(7-1)=18.$
Dễ thấy:
$x^5+\frac{1}{x^5}=\left ( x^2+\frac{1}{x^2} \right )\left ( x^3+\frac{1}{x^3} \right )-\left ( x+\frac{1}{x} \right )=7.18-3=123$
Vậy $x^5+\frac{1}{x^5}=123.$

[Kwon Simonster]

Bài 1:Tính giá trị biểu thức sau: $A=cos$ $x-2sin$ $x-cos$ $2x$

Bài 2:Tìm x, y
a) $2\sqrt{2x-3y}+\sqrt{5-x+y}=7$
b) $3\sqrt{5-x+y}-\sqrt{2x-y-3}=1$

[NguyenVanDien]

Cho $\left (x+\sqrt{x+3} \right ).\left ( y+\sqrt{y+3} \right )=3$
Tính x + y = ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenVanDien: 16-01-2013 - 22:19

[Oral1020]

Cho $ \left ( x+\sqrt{x+3} \right ).\left ( y+\sqrt{y+3} \right )=3$
$x + y = ?$

Màba5no ơi.Theo những bài toàn mình được gặp thì $(x+\sqrt{x^2+3})(y+\sqrt{y^2+3})=3$ Chứ nhỉ
-----
$\LaTeX$ kẹp giữ $$ nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 16-01-2013 - 22:25

[Zaraki]

Đang chán nên đành vớt cái topic này lên bằng mấy bài toán vậy
Bài 1. Cho $\dfrac{a}{{x + y}} = \dfrac{{13}}{{x + z}}$ và $\dfrac{{169}}{{{{(x + z)}^2}}} = \dfrac{{ - 27}}{{(z - y)(2x + y + z)}}$
Tính: \[A = \frac{{2{a^3} - 12{a^2} + 17a - 2}}{{a - 2}}\]
Bài 2. Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn: $x+y+z=0$ và $x^2+y^2+z^2=14$.
Tính giá trị biểu thức: $A=1+x^4+y^4+z^4$
Bài 3. Tính: $A=\sqrt {224\underbrace {99...9}_{2010}1\underbrace {00...0}_{2012}9}$

[DarkBlood]

Bài 2. Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn: $x+y+z=0$ và $x^2+y^2+z^2=14$.
Tính giá trị biểu thức: $A=1+x^4+y^4+z^4$

Ta có:
$a+b+c=0$
$\Rightarrow$ $a^2+b^2+c^2=-2(ab+ac+bc)$
$\Rightarrow$ $-2(ab+ac+bc)=14$
$\Rightarrow$ $ab+ac+bc=-7$

Ta có:
$a^2+b^2+c^2=14$
$\Rightarrow$ $a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)=196$
$\Rightarrow$ $a^4+b^4+c^4=196-2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)$
$\Rightarrow$ $a^4+b^4+c^4=196-2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+abc(a+b+c)$ (vì $a+b+c=0$)
$\Rightarrow$ $a^4+b^4+c^4=196-2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+a^2bc+ab^2c+abc^2)$
$\Rightarrow$ $a^4+b^4+c^4=196-2(ab+ac+bc)^2$
$\Rightarrow$ $a^4+b^4+c^4=196-2(-7)^2$
$\Rightarrow$ $a^4+b^4+c^4=98$

Vậy $1+a^4+b^4+c^4=98+1=99.$

Đang chán nên đành vớt cái topic này lên bằng mấy bài toán vậy
Bài 1. Cho $\dfrac{a}{{x + y}} = \dfrac{{13}}{{x + z}}$ và $\dfrac{{169}}{{{{(x + z)}^2}}} = \dfrac{{ - 27}}{{(z - y)(2x + y + z)}}$
Tính: \[A = \frac{{2{a^3} - 12{a^2} + 17a - 2}}{{a - 2}}\]

Ta có:
$\dfrac{a}{{x + y}} = \dfrac{{13}}{{x + z}}$
$\Rightarrow \dfrac{a^2}{(x + y)^2} = \dfrac{{169}}{(x + z)^2}$
$\Rightarrow \dfrac{a^2}{(x + y)^2} = \dfrac{{169}}{(x + z)^2}=\frac{169-a^2}{(x+z)^2-(x+y)^2}=\frac{169-a^2}{(z-y)(2x+y+z)}$
Mà $\dfrac{{169}}{{{{(x + z)}^2}}} = \dfrac{{ - 27}}{{(z - y)(2x + y + z)}}$
Nên $\frac{169-a^2}{(z-y)(2x+y+z)}= \dfrac{{ - 27}}{{(z - y)(2x + y + z)}}$
Do đó: $169-a^2=-27$
$\Leftrightarrow a^2=169+27=196$
$\Leftrightarrow a=\pm 14$
Ta có:
$A = \frac{{2{a^3} - 12{a^2} + 17a - 2}}{{a - 2}}=2 a^2-8 a+1$
Với $a=14$ thì $A=281$
Với $a=-14$ thì $A=505$

Spoiler

Đáp án có thể sai nha bài 1 mình tính tay @@ máy tính mẹ cầm rồi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 04-02-2013 - 18:03

[eatchuoi19999]

Đang chán nên đành vớt cái topic này lên bằng mấy bài toán vậy
Bài 3. Tính: $A=\sqrt {224\underbrace {99...9}_{2010}1\underbrace {00...0}_{2012}9}$

Đề bài bài 3 A chữ số cuối cùng phải là 0 chứ

@Toàn: Ai nói bạn thế ?? Đề cho vậy mà.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 15-02-2013 - 18:50

[nguyencuong123]

Tìm 2 số nguyên dương x,y thoả mãn:
$\left ( x^{2}-3 \right )\vdots \left ( xy+3 \right )$

[Oral1020]

Tìm 2 số nguyên dương x,y thoả mãn:
$\left ( x^{2}-3 \right )\vdots \left ( xy+3 \right )$

http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/91445-tim-xy-nguyen-d%C6%B0%C6%A1ng-d%E1%BB%83-x2-2-chia-h%E1%BA%BFt-cho-xy2/
Chắc tương tự bài đó.
---
Bạn không đăng bài hình học vào topic này nhé !! (đã xóa)

[nguyencuong123]

Giả sử $x_{1},x_{2}$ là nghiệm của phương trình : $x^{2}+2kx+4=0$.
Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức $\left ( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right )^{2}+\left ( \frac{x_{2}}{x_{1}} \right )^{2}\geq 3$

[Tienanh tx]

Cho xyz = 4, x,y,z>0
Tính $P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+2+2\sqrt{z}}$

$\oplus$ Đặt : $(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}) \longrightarrow (a,b,c)$ $\Longrightarrow$ $abc=2$
$\oplus$ Ta có:
$P=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+2}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\dfrac{2\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+2+2\sqrt{z}}$
$\Longleftrightarrow$ $P=\dfrac{a}{ab+a+2}+\dfrac{b}{bc+b+1} + \dfrac{2c}{ac+2+2c}$
$\Longleftrightarrow$ $P=\dfrac{a}{ab+a+2} + \dfrac{ab}{ab+a+2} + \dfrac{2}{ab+a+2}$
$\Longleftrightarrow$ $P=\dfrac{a+ab+2}{a+ab+2}$
$\Longrightarrow$ $P=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tienanh tx: 10-03-2013 - 15:09

[ledinhmanh2202]

Mình làm bài này nhé.

Đặt $\dfrac{a}{A} = \dfrac{b}{B} = \dfrac{c}{C} = \dfrac{d}{D} = \dfrac{{a + b + c + d}}{{A + B + C + D}} = k$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a = k.A;b = k.B;c = k.C;d = k.D\\a + b + c + d = k(A + B + C + D)\end{array} \right.$

Do đó: $VT = \sqrt {aA} + \sqrt {bB} + \sqrt {cC} + \sqrt {dD} = \sqrt k (A + B + C + D)$

$VP = \sqrt {(a + b + c + d)(A + B + C + D)} = \sqrt k .(A + B + C + D)$

Suy ra $VT=VP$.

Vậy ta có điều phải chứng minh

Sao không thử dùng BĐT Cauchy-schwarz dấu bằng của BĐT thức này xảy ra và ta được ĐPCM.

[Jayce Tran]

ledinhmenh thử giải BĐT caychy

[iloveyoud16]

em xin gop 1 bai nhu sau:

Cho 1/x+1/y+1/z=0 tinh

yz/(x²+2yz)+xy/(z²+2xy)+xz/(y²+2xz)

[LukaTTK]

em xin gop 1 bai nhu sau:

Cho 1/x+1/y+1/z=0 tinh

yz/(x²+2yz)+xy/(z²+2xy)+xz/(y²+2xz)

Bài này dễ phết:
Gọi biểu thức là A
Do $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \doteq 0$ $\Rightarrow \frac{xy + yz + zx}{xyz} \doteq 0 \Rightarrow xy + yz + zx = 0$
Do đó  $yz\doteq -(xy+zx) \Rightarrow x^{2} + 2yz = x^{2} + yz - xy - xz = (x - y)(x - z)$
$\Rightarrow A= \frac{yz}{(x-y)(x-z)}+\frac{zx}{(y-x)(y-z)}+\frac{xy}{(z-x)(z-y)} =\frac{yz(z-y)+zx(x-z)+xy(y-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=$
Phân tích đa thức thành nhân tử được A=1

[hieuht2012]

Tìm 2 số nguyên dương x,y thoả mãn:
$\left ( x^{2}-3 \right )\vdots \left ( xy+3 \right )$

$x^2-3\vdots xy+3$

 

$(x^2+3x)-(3x+3)\vdots xy+3$

 

$3x+3\vdots xy+3$

 

$3x+3=z(xy+3)$ (z nguyên dương do $x, y$ nguyên dương)

 

Nếu $z\geqslant 3$

 

$3x+3\geqslant 3(xy+3)$

 

$3x-3xy\geqslant 9-3$

 

$x(1-y)\geqslant 2$

 

Mà $x,y>0$ suy ra $x,y\geqslant 1$ (Do x,y nguyên dương) $x(1-y)\leqslant 0$ Trái với Đk trên

 

Suy ra $z< 3$

 

Suy ra $z=1$hoặc $z=2$ (đến đây các bạn tự tìm $x,y$ nhé!)

 

http://diendantoanho...ia-hết-cho-xy2/
Chắc tương tự bài đó.
---
Bạn không đăng bài hình học vào topic này nhé !! (đã xóa)

Mình không hiểu lời giải ở http://diendantoanho...ia-hết-cho-xy2/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieuht2012: 25-03-2013 - 22:36